Билеты by eyescream, страница 2

Теорема. Если все элементы БМП равны, то это 0. Доказательство: от противного.

Последовательность {x_n} называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x_n – a} является бесконечно малой. Число а называется пределом последовательности. Из определения следует, что удаление любого конечного числа элементов последовательности не влияет на ее сходимость и величину предела.

Представление в специальном виде: каждый элемент представляется в виде x_i = a + α_i, где a — предел последовательности, а α_i — БМП.

Теорема о единственности предела. СП имеет один предел. Доказательство: от противного (пусть существуют два предела — а и b), далее представляем в специальном виде и рассматриваем разность БМП из этого вида. Получим, что все элементы полученной БМП равны а – b и в то же время (по ранее доказанному) равны 0. Тогда а = b.

Теорема об ограниченности СП. Всякая СП ограниченна. Доказательство: фиксируем некоторое число ε, находим соответствующий ему номер N и выбираем в качестве грани наибольшее из чисел | a – ε |, | a + ε | и модулей предшествующих N-му элементов. Это и будет верхняя грань.

Теорема о сумме (разности) СП. Сумма (разность) двух СП сходится к сумме их пределов. Доказательство: переводим в специальный вид, рассматриваем сумму, далее по определению.

Теорема о произведении СП. Произведение двух СП сходится к произведению их пределов. Доказательство: перемножаем специальные представления, далее по определению.

Лемма. Если последовательность {y_n} сходится к ненулевому пределу а, то, начиная с некоторого номера, определено частное {1 / y_n}, являющееся ограниченной последовательностью. Доказательство: пусть ε = | a | / 2, тогда найдется номер N, начиная с которого все клево. Тогда | y_n | >
| a | / 2, начиная все с того же N. Переворачивая дроби, получим условие ограниченности.

Теорема о частном СП. Предел частного двух СП (предел второй отличен от 0) равен частному пределов. Доказательство: будем рассматривать частное начиная с номера N, определенного в лемме. Представляем в специальном виде и рассматриваем разность (x_n / y_n) – (a / b). Подставляем специальное представление и получаем в правой части БМП.

Теорема. Если все элементы СП {x_n} (возможно, начиная с некоторого номера) не меньше (не больше), чем b, то и предел этой последовательности a не меньше (не больше), чем b. Доказательство: обозначим номер, с которого начинает выполняться условие, как N*. Делаем предположение, что предел меньше b. Тогда для числа b – a в качестве ε найдется соответствующий номер N, причем выберем его большим, чем N*. Тогда | x_n – a | < b – а, откуда следует x_n – a < b – а или x_n < b. Пришли к противоречию, теорема доказана.

Замечание. Соответствующее утверждение для строгих знаков неверно, например для последовательности {1 / n} — любой элемент больше 0, а предел равен 0.

Следствие 1. Можно делать предельный переход в неравенствах с СП. Доказательство: перенести все в одну часть и применить теорему.

Следствие 2. Если все элементы СП заключены на отрезке [a, b], то и предел этой последовательности лежит на том же отрезке. Доказательство: очевидно даже мне.

Теорема «о двух милиционерах». Если две сходящиеся последовательности имеют общий предел а и элементы третьей последовательности (с некоторого номера) лежат между элементами этих двух, то она сходится к тому же пределу а. Доказательство: введем N* (так же, как раньше). Тогда x_n – a < z_n – a < y_n – a. Сравниваем модуль центра с наибольшим из модулей боков (он меньше или равен). Фиксируем ε и выбираем такое число N, чтобы начиная с него работал ε для обеих последовательностей и оно было больше N*. Подставим условия сходимости в неравенство с модулями и получим, что хотели.

Последовательность называется неубывающей, если каждый ее элемент, начиная со второго, не меньше предыдущего. Последовательность называется невозрастающей, если каждый ее элемент, начиная со второго, не больше предыдущего. Последовательность называется монотонной, если она либо неубывающая, либо невозрастающая.

Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится. Доказательство: у этой последовательности существует точная верхняя грань, равная М. Докажем, что М и есть предел этой последовательности. Во-первых, любой элемент не больше М (это раз). Фиксируем ε и замечаем, что по определению точной верхней грани найдется хотя бы один элемент, больший М – ε. Далее, вспомним, что последовательность неубывающая, значит, начиная с этого элемента все будут находиться на полуотрезке [M – ε, M] (это два). Из раз и два получается сходимость к точке M.

Замечание. Не всякая сходящаяся последовательность является монотонной. Пример: 1/2, –1/2, 1/3, –1/3,…

Теорема. Последовательность (1 + 1 / n)ⁿ сходится. Предел ее называют числом е. Доказательство: бином Ньютона (для двух последовательных членов) — доказательство монотонности. Дальше заменяем в биномиальном разложении все скобки (то есть все, кроме 1 / k!) на единицы, а каждый факториал — на соответствующую степень двойки. Получим, что любое число из этой последовательности меньше 3. Значит, она сходится.

Можно доказать (отбросив все члены, кроме первого в биномиальном разложении), что е заключено на интервале (2, 3).

Подпоследовательностью называется последовательность, составленная из некоторых упорядоченных по номеру элементов данной последовательности.

Теорема. Если последовательность сходится к а, то и любая ее подпоследовательность сходится к а. Доказательство: фиксируем ε и номер N, соответствующий этому ε. Выберем также соответствующий номер из подпоследовательности. Получим для всех последующих элементов определение.

Теорема. Если все подпоследовательности сходятся, то их предел одинаков и равен пределу всей последовательности. Доказательство: из предыдущего и определения.

Точка называется предельной точкой последовательности, если в ее ε-окрестности находится бесконечно элементов этой последовательности или если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к этой точке.

Наибольшая предельная точка последовательности называется ее верхним пределом, а наименьшая — нижним пределом.

Теорема. У всякой ограниченной последовательности существует верхний и нижний предел и, в частности, хотя бы одна предельная точка. Доказательство: будем доказывать существование верхнего предела и хотя бы одной предельной точки (т. к. доказательство существования нижнего предела симметрично). Пусть последовательность ограничена снизу числом m, а сверху — числом М. Рассмотрим множество {x} всех элементов последовательности таких, что правее каждого из них либо совсем нет других элементов, либо их конечное количество. Это множество ограничено (например, числами m и М), поэтому у него есть точная нижняя грань a. Докажем, что значение точной нижней грани совпадает со значением верхнего предела. Для этого утверждается следующее:

• найденное число является предельной точкой последовательности. Фиксируем ε. По определению точной нижней грани на интервале (x – ε, a) нет элементов множества {x}. Значит там есть бесконечно много элементов последовательности, а значит по определению а — предельная точка;

• не существует числа а′, большего а, являющегося предельной точкой. Пусть а′ — любое число, большее а. Введем ε = (а′ – а) / 2. Тогда интервалы ε-окрестностей точек а и а′ не будут пересекаться. Согласно описанию мн-ва {x}, правее a + ε лежит не более, чем конечное число элементов последовательности. Это значит, что и в ε-окрестности точки а′ лежит не более, чем конечное число элементов последовательности, а значит а′ не является предельной точкой.

Следствие 1. Все элементы ограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на интервале (a – ε, b + ε), где a — нижний, а b — верхний предел этой последовательности. Доказательство: честно рассмотреть эти окрестности для ε / 2.

Следствие 2. Пусть последовательность имеет своим нижним пределом число а, а верхним число b, кроме того, пусть вне интервала (x, y) находится не более, чем конечное число элементов последовательности. Тогда интервал (a, b) лежит внутри интервала (х, у). Доказательство: рассмотреть неравенства для границ.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Доказательство: из теоремы и определения предельной точки.

Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного ε найдется такой номер N, что для любых m > n > N справедливо неравенство | x_m – x_n | < ε.

Свойство 1. Для любого положительного ε найдется элемент фундаментальной последовательности такой, что в ε-окрестности этого элемента находятся все последующие элементы последовательности. Доказательство: фиксируем ε и, считая n константой, подставляем в определение.

Свойство 2. Фундаментальная последовательность ограничена. Доказательство: фиксируем ε, в силу свойства 1 для этого ε найдется такое N, что все последующие элементы будут находиться в ε-окрестности элемента х_N. Обозначим через М наибольший из модулей предшествующих N-му элементов, | x_N + ε | и | x_N – ε |. M ограничивает последовательность сверху.

Теорема. Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и ее верхний и нижний предел совпадали. Доказательство:

1. Необходимость. Пусть некоторая последовательность сходится. Тогда она ограничена и имеет единственную предельную точку. Это означает, что верхний и нижний пределы совпадают.

2. Достаточность. Пусть последовательность ограничена (а значит, имеет верхний и нижний пределы) и ее верхний и нижний пределы совпадают. Пусть они равны х. Согласно ранее доказанному, начиная с некоторого номера, все элементы лежат на интервале (х – ε, х + ε). А это и есть определение сходящейся к х последовательности.

Критерий Коши. Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство:

1. Необходимость. Пусть последовательность сходится к некоторому пределу х. При фиксированном ε найдется номер N, такой что для всех последующих номеров n: | x_n – x | < ε / 2. Далее n заменяется на n + p в предыдущем неравенстве и делается такое вот чудо:
   | x_{n + p} – x_n | = | (x_{n + p} – x) + (x – x_n) | < | x_{n + p} – х | + | x – x_n | < ε, что и означает фундаментальность последовательности.

2. Достаточность. Пусть последовательность фундаментальна. Для сходимости достаточно, чтобы последовательность была ограниченной и верхний предел совпадал с нижним. Ограниченность доказана выше (свойство 2). Фиксируем ε. Далее по свойству 1 и следствию 2 из теоремы о верхнем и нижнем пределе получим, что разность между ними не больше, чем 2ε, и неотрицательна. В силу произвольности выбора ε получим, что пределы совпадают.

Определение по Гейне. Число b называется пределом функции y(x) в точке а, если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к а, и состоящей из элементов, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b.

Определение по Коши. Число b называется пределом функции y(х) в точке а, если для любого положительного ε найдется такое δ(ε), что для всех значений аргумента х, лежащих в проколотой δ-окрестности точки а справедливо неравенство | f(x) – b | < ε.