Билеты by eyescream, страница 3

Теорема. Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны. Доказательство:

1. Пусть b — предел функции y в точке а по Коши. Пусть {x_n} — любая сходящаяся к точке а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. Фиксируем ε и по нему соответствующее δ. В силу сходимости последовательности {x_n} к а найдется такой номер N, что для n > N справедливо 0 < | x_n – a | < δ, и, по определению Коши, также верно неравенство | f(x_n) – b | < ε, что означает, что последовательность значений сходится к b.

2. Пусть теперь число b — предел функции по Гейне. Предположим, что оно не является пределом функции по Коши. Тогда для некоторого положительного ε и сколь угодно малого положительного δ найдется хотя бы одно х такое, что 0 < | x_n – a | < δ и | f(x_n) – b | > ε. Возьмем вместо δ последовательность {1 / n}. Тогда по предположению для каждого ее элемента найдется хотя бы одно значение аргумента такое, что 0 < | x_n – a | < 1 / n и | f(x_n) – – b | > ε. Из первого неравенства следует, что последовательность {x_n} сходится к а и состоит из элементов, не равных а. Тогда по определению по Гейне соответствующая последовательность {f(x_n)} должна сходиться к b, а этому противоречит второе неравенство.

Будем говорить, что ф-ия у удовлетворяет в т. а условию Коши, если для любого положительного числа ε найдется соответствующее число δ такое, что для любых двух значений аргумента х′ и х″, удовлетворяющих условиям 0 < | x′ – a | < δ и 0 < | x′′ – a | < δ, справедливо | f(x′) – f(x″) | < ε.

Критерий Коши для функций. Для того, чтобы ф-ия имела предел в точке, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла критерию Коши в этой точке. Доказательство:

1. Необходимость. Пусть существует предел b функции в данной точке. Фиксируем ε. Применяем определение по Коши предела ф-ии в точке для ε / 2 в точках х′ и х″. Складываем неравенства для значения функции и получаем условие Коши.

2. Достаточность. Пусть ф-ия удовлетворяет в точке а условию Коши. Пусть {x_n} — любая сходящаяся к точке а последовательность значений аргумента, все элементы которой отличны от а. Нужно доказать, что последовательность значений ф-ии сходится к b, и что это число b не зависит от выбора последовательности.

• Докажем сначала, что последовательность значений сходится. Фиксируем ε и соответствующее δ (по условию Коши). Найдется такой номер N, что для всех последующих n верно 0 < | x_n – a | < δ. Можно заменить n на n + p. Применяем условие Коши и получаем фундаментальную последовательность, которая сходится по критерию Коши для последовательностей.

• Теперь докажем что значение предела не зависит от выбора последовательности значений аргумента. Предположим, что это не так, и в результате мы получили два разных предела b и b′. Рассмотрим последовательность вида x₁, x₁′, x₂, x₂′,… Она также сходится к а и состоит из отличных от а элементов. Значит соответствующая последовательность значений функции должна сходиться к некоторому пределу b″. Но тогда и любая ее подпоследовательность должна сходиться к тому же пределу. Отсюда b = b′ = b″.

Теорема. Пусть две функции f и g заданы на одном и том же множестве и имеют в точке а пределы b и с соответственно. Тогда ф-ии f + g, f – g, fg, f / g имеют в этой точке пределы, соответственно равные b + c, b – c, bc, b / c. Доказательство: рассмотрим произвольную сходящуюся к а последовательность значений аргумента, отличных от а. Тогда соответствующие последовательности значений ф-ий сходятся к b и c (для f и g соответственно). Но тогда последовательности {f(x_n) + g(x_n)} и т. д. сходятся к указанным выше пределам. В силу произвольности выбора последовательности значений аргумента и в силу определения по Гейне получили, что хотели.

Функция называется бесконечно малой в точке а, если ее предел в этой точке равен 0.

Функция называется бесконечно большой в точке а справа, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента, все элементы которой строго больше а, соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой, причем все элементы, начиная с некоторого номера, либо положительны, либо отрицательны.

Если ф-ия f(x) имеет предел b в точке а, то можно представить ее в виде f(x) = b + α(x), где α(x) — бесконечно малая в точке а ф-ия.

Пусть α и β — две бесконечно малых в точке а функции. Тогда α является бесконечно малой более высокого порядка, чем β, если предел их отношения в этой точке равен 0 (запись α = о(β)). Если этот предел равен отличному от нуля конечному числу, то эти функции имеют одинаковый порядок малости в точке а. Бесконечно малые эквивалентны, если предел равен 1.

Свойства символа «о малое»:

• о(β) + о(β) = о(β);

• о(β) + о(о(β)) = о(β);

• αβ = о(α) = о(β).

Аналогично для бесконечно больших функций. Функция А имеет более высокий порядок роста в точке а справа, чем функция В, если отношение их является бесконечно большой функцией в данной точке справа; и одинаковый порядок роста, если предел этого отношения равен конечному числу, отличному от 0.

Функция f называется непрерывной в точке а, если она имеет в этой точке предел и этот предел равен значению ф-ии в этой точке. Функция f называется непрерывной в точке а справа, если правый предел в этой точке существует и равен значению ф-ии в этой точке. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва. Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема. Пусть на одном и том же множестве заданы ф-ии f и g, непрерывные в точке а. Тогда функции, получаемые в результате арифметических операций, непрерывны в точке а. Доказательство: считаем значения пределов и значения самих ф-ий, убеждаемся в том, что они равны.

Точки разрыва делятся на три класса: точки разрыва первого рода (в случае, когда односторонние пределы в точке не совпадают), точки разрыва второго рода (в случае, когда предел в точке не существует) и точки устранимого разрыва (в случае, когда односторонние пределы равны).

Пусть ф-ия φ(t) задана на множестве {t} и {x} — множество ее значений. Пусть на множестве {x} задана ф-ия y = f(x).

Теорема. Пусть ф-ия f задана на мн-ве {x}, непрерывна в точке а и ее значение f(a) положительно. Тогда существует такое положительное δ, что ф-ия f является положительной всюду на δ-окрестности точки а (в пересечении с {x}). Доказательство: по определению по Коши для любого ε найдется соответствующее ему δ такое, что для всех значений аргумента из δ-окрестности справедливо | f(x) – f(a) | < ε. Если в качестве ε взять | f(a) | / 2 и развернуть модуль, то крайние числа будут положительны при f(a) > 0 и отрицательны при f(a) < 0. Это то, что надо.

Теорема. Пусть ф-ия f задана на множестве {x} и непрерывна в точке а этого множества справа и ее значение f(a) отлично от 0. Тогда найдется такое положительное δ, что ф-ия f(x) не обращается в 0 и имеет тот же знак, что и в точке а, для всех значений из мн-ва {x}, принадлежащих правой δ-полуокрестности точки а. Доказательство: аналогично предыдущей теореме.

ЕЩЕ ТУТ ЕСТЬ ОДНА ТЕОРЕМА

Теорема. Пусть ф-ия φ непрерывна в точке а, а ф-ия f — в точке b = φ(a). Тогда сложная ф-ия F = f(φ(t)) непрерывна в точке а. Доказательство: рассмотрим произвольную последовательность значений аргумента t, сходящуюся к а. Так как φ непрерывна в точке а, то этой последовательности соответствует последовательность значений функции, сходящаяся к b. Далее, эта последовательность является последовательностью значений аргумента для ф-ии f, тогда по определению она сходится к F(a). Это и есть непрерывность в дуэте с определением по Гейне.

Пусть ф-ия у = f(х) определена на сегменте [a, b] и пусть сегмент [α, β] является множеством значений этой функции. Пусть также каждому у из этого сегмента соответствует ровно одно значение х из сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте существует обратная f функция x = f ^–1(y).

Лемма. Если ф-ия f(x) является монотонной на сегменте [a, b], то у нее существуют правый и левый пределы в каждой внутренней точке сегмента, левый предел в т. b и правый предел в т. a. Доказательство: ограничимся тем, что докажем существование правого предела в любой точке с полуинтервала [a, b), и рассмотрим неубывающую функцию. Рассмотрим множество всех значений функции для рассматриваемых точек. Оно непустое и ограниченное снизу, значит у него есть точная нижняя грань m. Докажем, что это число и является правым пределом в точке с. Фиксируем ε, по определению точной нижней грани найдется такое δ, что f(c + b) < m + ε. Но тогда для всех х из интервала (с, с + δ) выполняется неравенство m < f(x) < m + ε. Тогда | m – f(x) | < ε. А это и значит, что число m является правым пределом в точке с.

Теорема. Пусть ф-ия y(x) возрастает на сегменте [a, b] и пусть α = f(a), β = f(b). Если множеством значений функции на этом отрезке является сегмент [α, β], то на нем определена обратная ф-ия х(у), также возрастающая. Доказательство: очевидно.

Теорема. Пусть ф-ия y(x) возрастает на сегменте [a, b] и пусть α = f(a), β = f(b). Тогда условием непрерывности ф-ии на сегменте будет то, что любое число γ, заключенное между α и β, было значением этой ф-ии. Доказательство:

1. Необходимость. Пусть {x} — множество всех значений х из рассматриваемого сегмента, для которых f(x) < γ. Это множество непустое и ограниченное сверху. Тогда у него существует точная верхняя грань с. Осталось доказать, что f(c) = γ. Если x < c, то найдется х′ из полуинтервала (x, c], принадлежащее {x}, то есть f(x′) < γ. Тогда из возрастания ф-ии будет следовать, что f(x) < γ. Любое х, лежащее правее с, не входит в {х}, поэтому для него f(x) > γ. Теперь докажем, что с — внутренняя точка сегмента. Пусть c = b. Возьмем сходящуюся к с последовательность точек сегмента. Так как все ее элементы лежат левее с, то они не больше γ, а поэтому и предел этой последовательности не больше γ. Но ф-ия непрерывна в точке с = b, а значит этот предел равен β. Тем самым получим нер-во β < γ, что противоречит выбору γ. Отсюда c < b. Аналогично можно показать, что a < c. Таким образом, с — внутренняя точка сегмента [a, b]. Теперь рассмотрим две сходящиеся к c с разных сторон последовательности — возрастающую {x_n′} и убывающую {x_n″}. Предел каждой из них равен f(c). С другой стороны, т. к. последовательности сходятся с разных сторон, f(c) < γ и одновременно f(c) > γ. Отсюда единственным образом следует f(c) = γ.

2. Достаточность. Достаточно доказать, что f(x) непрерывна справа в любой точке полуинтервала [a, b) и слева в любой точке полуинтервала (a, b]. Ограничимся доказательством первого факта. Пусть ф-ия не непрерывна справа в некоторой точке с, лежащей на полуинтервале. Тогда ее правый предел, который существует в силу доказанной выше леммы, не равен значению f(c). Тогда α = f(a) < f(c) < f(c + 0) < f(x) < f(b) = β. Это значит, что в интервале (f(c), f(c + 0)) не содержится значений ф-ии, а это противоречит условию.

Теорема. Пусть ф-ия y(x) возрастает и непрерывна на сегменте [a, b] и пусть α = f(a), β = f(b). Тогда на сегменте [α, β] определена обратная ф-ия x(y), которая возрастает и непрерывна на этом сегменте. Доказательство: по предыдущей теореме мн-вом значений ф-ии является отрезок [α, β], по еще более предыдущей теореме на этом сегменте определена обратная ф-ия. Остается доказать, что обратная ф-ия непрерывна на сегменте. Для этого достаточно применить к ней предыдущую теорему.

Простейшие элементарные ф-ии: степенная, показательная, логарифмическая, синус, косинус, тангенс, котангенс, арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

НЕНУНАХ

Теорема. Пусть в некоторой проколотой δ-окрестности точки а заданы три ф-ии f(x), g(x), h(x), из которых f и g имеют в т. а одинаковый предел, равный b. Тогда, если в указанной окрестности всюду справедливо f(x) < h(x) < g(x), ф-ия h имеет пределом в т. а то же значение b. Доказательство: рассмотрим произвольную сходящуюся к а последовательность значений аргумента, элементы которой отличны от а. Тогда, с одной стороны, соответствующие последовательности значений ф-ии сходятся к b, а с другой стороны справедливо f(x_n) < h(x_n) < g(x_n). Тогда по теореме «о двух милиционерах» соответствующая последовательность для h также сходится к b, что и доказывает теорему.