Билеты by eyescream, страница 4

Теорема. Предел ф-ии sinx / x в точке 0 существует и равен 1. Доказательство: Неравенство 0 < sinx < x < tgx (при 0 < x < π / 2) разделим на положительное sinx и получим 1 < x / sinx < 1 / cosx. Перевернем дроби и расширим интервал до (–π / 2, π / 2), т. к. все ф-ии четные. Обе боковые ф-ии имеют в точке 0 предел, равный 1, а значит и у центральной (sinx / x) предел тоже равен 1.

Теорема. Предел ф-ии (1 + x)^{1 / x} в точке 0 существует и равен числу е. Доказательство: рассмотрим односторонние пределы, докажем, что они существуют и равны е.

1. Правый предел. Требуется доказать, что для любого ε найдется такое δ, что для любого х из интервала (0, δ) справедливо | f(x) – e | < ε. Фиксируем ε и рассматриваем две последовательности: a_n = [1 + 1 / (1 + n)]ⁿ и b_n = (1 + 1 / n)^{n + 1}. Обе эти последовательности сходятся к е, значит, найдется такой номер N, начиная с которого одновременно справедливы нер-ва
   | a_n – e | < ε и | b_n – e | < ε. Теперь убедимся в том, что если взять δ = 1 / N, то для любого х из интервала (0, δ) будет справедливо неравенство | f(x) – e | < ε. Пусть n = [ 1 / x ]. Тогда n < 1 / x < n + 1. Отсюда 1 + 1 / (n + 1) < 1 + x < 1 + 1 / n. Тогда a_n – e < (1 + x)^{1 / x} – e < b_n – e.

2. Левый предел. Рассмотрим произвольную бесконечно малую последовательность отрицательных чисел, причем, начиная с того номера, с которого ее элементы по модулю меньше 1. Пусть y_n = – [x_n / (1 + x_n)], тогда x_n = –[y_n / (1 + y_n)]. Тогда y_n — БМП из положительных чисел. Тогда lim f(x_n) = lim (1 + y_n)^{1 / y}_n lim (1 + y_n).

Теорема. Предел ф-ии ln (1 + x) / x = 1 в т. 0. Доказательство: lim ln (1 + x) / x = lim ln (1 + x)^{1 / x} = lim ln e = 1.

Теорема. Пусть ф-ия непрерывна на сегменте [a, b], и пусть значения этой ф-ии на концах сегмента — числа разных знаков. Тогда внутри сегмента найдется такая точка ξ, значение ф-ии в которой равно 0. Доказательство: пусть f(a) < 0, f(b) > 0, а {x} — мн-во всех значений аргумента из рассматриваемого сегмента, для которых f(x) < 0. Это множество непустое и ограниченное сверху, тогда у него есть точная верхняя грань ξ. Эта точка — внутренняя точка сегмента (так как неподалеку от границ знак сохраняется согласно локальным свойствам непрерывной ф-ии). Докажем теперь, что f(ξ) = 0. Если это не так, то существует δ-окрестность этой точки, где ф-ия имеет определенный знак. А это невозможно по определению точной верхней грани. Теорема доказана.

Теорема. Пусть ф-ия непрерывна на сегменте [a, b], причем f(a) = α, f(b) = β. Пусть, далее, γ — любое число, заключенное между α и β. Тогда на сегменте [a, b] найдется точка ξ такая, что f(ξ) = γ. Доказательство: пусть α , β и γ — разные числа. Тогда α < γ < β. Рассмотрим ф-ию φ(x) = f(x) – γ. Эта ф-ия непрерывна на [a, b] и имеет на его концах значения разных знаков. Тогда внутри сегмента есть такая точка ξ, что f(ξ) – γ = 0, а значит f(ξ) = γ.

Первая теорема Вейерштрасса. Если ф-ия непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте. Доказательство: докажем ограниченность сверху. Пусть ф-ия не ограничена сверху. Тогда для любого натурального п найдется хотя бы одна точка х_n из [a, b] такая, что f(x_n) > n. Таким образом соответствующая последовательность значений ф-ии будет бесконечно большой. По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности значений аргумента можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке ξ. Эта точка будет принадлежать сегменту [a, b]. В силу непрерывности ф-ии последовательность значений ф-ии также должна сходиться (к числу f(ξ)). Однако любая подпоследовательность бесконечно большой ф-ии — ББП. Полученное противоречие доказывает теорему.

Число М называется точной верхней гранью ф-ии на данном множестве, если во-первых, для каждого значения х из этого множества справедливо неравенство f(x) < M, и, во-вторых, для любого положительного числа ε существует значение х из этого мн-ва такое, что для соответствующего значения f(x) справедливо f(x) > M – ε.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если ф-ия непрерывна на сегменте [a, b], то она достигает на этом сегменте свои точную верхнюю и нижнюю грань. Доказательство: по первой теореме Вейерштрасса ф-ия ограничена на данном сегменте, поэтому у нее существует точная верхняя грань М и точная нижняя грань m. Остановимся на доказательстве достижимости М. Пусть точная верхняя грань недостижима, тогда можно рассмотреть ф-ию F(x) = 1 / (M – f(x)). Эта функция непрерывная и строго положительная на сегменте [a, b]. Тогда по первой теореме Вейерштрасса она ограничена некоторым числом A на этом сегменте, то есть f(x) < M – 1 / A. А это противоречит второй половине определения точной верхней грани.

Функция называется равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого положительного ε найдется соответствующее δ такое, что для всех х′ и х″ из мн-ва {x}, удовлетворяющих условию | х′ – х″ | < δ выполняется нер-во | f(x′) – f(x″) | < ε.

Теорема Кантора. Если ф-ия непрерывна на сегменте [a, b], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте. Доказательство: предположим, что ф-ия не является равномерно непрерывной на данном сегменте. Тогда для некоторого ε и любого δ (сколь угодно малого) найдутся две точки сегмента х′ и х″ такие, что | х′ – х″ | < δ, но | f(x′) – f(x″) | > ε. Возьмем бесконечно малую последовательность δ_n = 1 / n. Тогда для данного ε и любого n найдутся две точки х_n′ и х_n″ такие, что | х_n′ – х_n″ | < δ, но | f(x_n′) – f(x_n″) | > ε. Последовательность {x_n′} ограничена, поэтому по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Предел ее обозначим ξ, он будет принадлежать сегменту [a, b]. Последовательность {x_n′} будет также сходиться к ξ. Ф-ия непрерывна в каждой точке сегмента, а значит и в точке ξ. Тогда в силу определения по Гейне обе подпоследовательности соответствующих значений ф-ий обязаны сходиться к f(ξ), то есть разность этих подпоследовательностей есть БМП. Это противоречит правому из последних неравенств. Теорема доказана.

Пусть ф-ия ограничена на данном сегменте [a, b]. Назовем колебанием ф-ии на этом сегменте разность ω = М – т между точной верхней и точной нижней гранью ф-ии на этом сегменте.

Следствие. Если ф-ия непрерывна на данном сегменте, то для любого положительного ε найдется соответствующее δ такое, что колебание ф-ии на любом сегменте (содержащемся в рассматриваемом) длины, меньшей δ, будет меньше числа ε.

Рассмотрим функцию, заданную на интервале (a, b). Пусть х — любая фиксированная точка этого интервала, а Δх — произвольное число, настолько малое, что значение х + Δх также находится на этом интервале. Это число Δх называют приращением аргумента. Приращением функции в точке х называют число Δу = f(x + Δx) – f(x). Отношение Δу / Δх будем называть разностным отношением.

Производной функции в данной точке х называют предел при Δх стремящемся к 0 разностного отношения (при условии, что этот предел существует).

Функция называется дифференцируемой в точке х, если приращение Δу этой функции в точке х, соответствующее приращению Δх, может быть представлено в виде Δу = АΔх + α(Δх)Δх, где А — некоторое независимое от Δх число, а α(Δх) — бесконечно малая в точке 0 функция.

Теорема. Для того, чтобы ф-ия была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Доказательство:

1. Необходимость. Поделим выражение на Δх. В точке Δх = 0 правая (и левая) части имеют равный А предел. А предел левой части по определению равен значению производной в точке.

2. Достаточность. Обозначим как α(Δх) разность разностного отношения и f ′(x). Эта ф-ия будет иметь при Δх, стремящемся к нулю, предел, равный 0. Умножим соотношение на Δх и получим Δу = f ′(x) Δx + α(Δх) Δх, что и требовалось доказать.

Теорема. Пусть ф-ия φ(t) дифф-ма в точке t, а ф-ия f(x) – в точке x = φ(t). Тогда сложная ф-ия y = f(φ(t)) дифференцируема в точке t, причем ее производная в этой точке равна f ′(φ(t))φ′(t). Доказательство: придадим аргументу t приращение Δt. Ему будет соответствовать Δх = φ(t + Δt) – φ(t), а этому приращению, в свою очередь, — приращение Δy = f(x + Δx) – f(x). Это можно представить в виде Δy = f ′(х) Δx + α(Δх) Δх. Поделим все на Δt и докажем, что правая часть имеет предел. Отношение Δх / Δt имеет предел, равный φ′(t), a α(Δх) — предел, равный 0. Все.

Теорема. Пусть ф-ия f возрастает и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть также она дифф-ма в этой точке и ее производная отлична от 0. Тогда в некоторой окрестности определена обратная функция, причем она дифференцируема в точке y = f(x) и ее производная в этой точке равна 1 / f ′(х). Доказательство: в силу условий обратная ф-ия будет определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки у. Придадим ей некоторое приращение Δу, отличное от 0. Тогда Δx / Δу = 1 / (Δу / Δx). Если приращение Δу стремится к 0. Тогда и приращение Δx тоже стремится к 0. Расписываем Δу и получаем результат.

Теорема. Правила дифф-я суммы, произведения и частного верны. Доказательство: в лоб.

Производная y = sinx. Расписать разность синусов.

Производная y = cosx. Формула приведения.

Производная у = tgx. Производная частного.

Производная у = ctgx. Производная частного.

Производная у = log_ax. Расписать, домножить и поделить на х, далее — второй ЗП.

Производная у = а^х. Расписать как для обратной ф-ии.

Производная y = arcsinx. Обратная ф-ия.

Производная y = arccosx. Обратная ф-ия.

Производная y = arctgx. Обратная ф-ия.

Производная y = arcctgx. Обратная ф-ия.

Производная степенной ф-ии. Расписать в логарифмической форме и как сложную ф-ию.

Производная ф-ии f, дифференцируемой на интервале [a, b], сама определена на том же интервале и, возможно, дифференцируема в некоторых его точках. Если в какой-то точке интервала такая производная существует, то ее называют производной второго порядка. Далее аналогично можно ввести понятие третьей производной и т. д.

Легко вычислимы n-ые производные степенной ф-ии, показательной ф-ии (в частности и для основания, равного е). Путем применения форум приведения можно вычислить также производные sinx, cosx.

Для дробно-линейной ф-ии (ax + b) / (cx + d) будем иметь n-ой производной (ad – bc)(–1)^{n – 1} n!(cx + d)^{–(n + 1)} c^{n – 1}.

Выражение для первого дифференциала: dy = f’(x)dx. Предположим, что величина в правой части есть функция, дифференцируемая в данной точке х. Для этого нужно потребовать, чтобы f была дважды дифф-ма в точке х, а х был независимой переменной или представлял собой дважды дифференцируемую ф-ию некоторой независимой переменной. Тогда δ(dy) = δ[f’(x)dx]. Значение δ(dy) дифференциала от первого дифференциала, взятое при δх = dx, называется вторым дифференциалом и обозначается d²y. Аналогично вводится дифференциал dⁿy n-го порядка.

Справедливо равенство dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ для случая, когда х — независимая переменная. Во втором случае dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)dⁿx.