85034 (Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика – Алгебра), страница 6
Описание файла
Документ из архива "Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика – Алгебра", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85034"
Текст 6 страницы из документа "85034"
Прежде всего отметим, что у такого многочлена нет действительных корней, иначе бы f(x)=(x-a) f1(x) (следствие из теоремы Безу), что противоречило бы его неприводимости.
По теореме о сопряженности мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами f(x) обладает еще одним корнем x2=a–bi, где x2=
.
Рассмотрим (x-x1)(x-x2)=(x-a)2+b2. (*)
Разделим f(x) на многочлен (*), получим:
-
f(x)=[(x-a)2+b2]g(x)+r(x).
Так как степень делителя равна 2, то degr(x)<2, то есть r(x)=cx+d. Подставим в (1) x1=a=bi и x2=a-bi, мы получим: 
Так как b0 , то c=0, тогда d=0, то есть r(x)=
.
Это означает, что f(x) (*). Но f(x) – неприводим, потом deg g(x)=0, то есть g(x)R. Что и подтверждает ассоциированность f(x) и (*).
Теорема 3. Рассмотренная выше теорема позволит сделать ряд выводов:
-
Неприводимыми многочленами над R могут быть многочлены не выше второй степени.
-
Многочлен f(x)R[x], degf(x)1 может быть представлен в виде:
, где 
если среди корней есть кратные, то можно представить и в виде (*):
, где Si – кратности корней, а tj – кратности сопряженных мнимых его корней. Представление (*) называется каноническим представлением f(x).
Теорема 4. Теоремы (1), (3) позволяют сделать с очевидностью вывод о том, что четность действительных корней совпадает с четностью его степени.
Вопрос 13. Кольцо многочленов над полем рациональных чисел (Q).
Теория многочленов утверждает, что множество многочленов f(x) = an xn + …+ a1 x + a0,
где ai ∈K – кольцо, x0=1, x∈K, 1∙x=x с операциями сложения и умножения образуют кольцо многочленов над кольцом K и обозначают K[x].
Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца K рассматривается поле P. В силу того, что в поле P есть операция деления, становится возможным построить теорию корня многочленов и теорию приводимых и неприводимых многочленов. Рассмотрим, как решается эта проблема в Q[x].
Напомним, что корнем f(x) называется такое число x=a, что f(a)=0.
f(x) называется неприводимым, если его нельзя представить в виде двух многочленов меньшей положительной степени, в противном случае его называют приводимым.
Итак, пусть Q[x], f(x)∈ Q[x], где f(x) = an xn + …+ a1 x + a0 …(1), сформулируем и докажем теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Если многочлен имеет рациональные коэффициенты, то он легко преобразуется к ему ассоциированному с целыми коэффициентами. Поэтому теорию существования и нахождения корней f(x)∈ Q[x] рассматривают именно для такого варианта, т.е. f(x)∈ Q[x], а ai ∈Z.
Теорема 1: Если 
∈Q, где (p,q)=1, является корнем многочлена (1)… f(x) = an xn + …+ + a1 x + a0, ai ∈Z, то p является делителем свободного члена, а q-делителем старшего коэффициента an.
■ Если ∈Q корень f(x), то f 
=0. Подставим в (1) вместо x, получим
0= an 
+ …+ a1 + a0, приведём к общему знаменателю, получим
0= an pn + an-1 pn-1 q+…+ a1 p qn-1 + a0 qn …(2).
Преобразуем (2):
2.1: 0 = an pn + q(an-1 pn-1 +…+ a1 p qn-2 + a0 qn-1) ⇒ an pn + q Q∶q, qQ∶q
⇒ an pn ∶q, (p,q)′→ an∶q, т.е. q-делитель старшего коэффициента;
2.2: 0 = p(an pn-1 +…+ a1 qn-1 ) + a0 qn) ⇒ pQ + a0 qn∶ p, pQ∶ p, ⇒ a0 qn∶ p, (q,p)=1 ⇒ a0 ∶ p, т.е. p-делитель свободного члена, что и доказывает теорему.
Следствие 2: Если f(x)∈ Q[x], а ai ∈Z, an=1, то он обладает только целыми корнями, которые находятся среди делителей свободного члена.
Истинность этого утверждения очевидна в силу того, что an=1, а делители 1 являются только ±1, следовательно, q=±1 и ∈Z. Т.к. = ± p∈Z находятся среди делителей, то утверждение верно.
Решим проблему неприводимости многочлена из Q[x], вернее о степени такого многочлена.
Решение этой проблемы предложено Эйзенштейном и носит название критерий Эйзенштейна о неприводимости многочлена в Q[x]. Заметим, что решение этой проблемы тоже есть смысл рассматривать для f(x)∈ Z[x], поскольку Q является полем частных области целостности Z.
Теорема 3: Пусть f(x)= cn xn + …+ c1 x + c0, ci ∈Z. Пусть все коэффициенты f(x), кроме старшего, делятся на p2. Тогда f(x) неприводим в Z[x].
■ Доказательство проведём методом от противного.
Пусть f(x)∈ Q[x] или f(x)∈ Z[x] приводим, т.е. существуют такие g(x), h(x)∈ Z[x], что
f(x) = (a0 +…+ak xk )(b0 +…+ bm xm) = g(x)·h(x), (ak ≠ 0, bm ≠ 0, k + m = n, причем 1≤ k, m<n).
Тогда c0 = a0·b0, cn = ak·bm. Так как c0∶p, c0 не∶p2, c0 = a0·b0 ⇒ a0 не∶p Λ b0 не∶p; пусть a0∶p,
b0 не∶p. Так как cn не∶p, то ak не∶p, bm не∶p, тогда у g(x) есть коэффициент делящийся на p и неделящийся на p. Пусть as коэффициент g(x) с наименьшим s таким, что as не∶p, т.е. a0, a1, …, as-1∶p, а as не∶p.
Найдем cs = as bs + (as-1 b1 + a0 bs) (s
Следствие 4: Если p – простое число и n – любое целое положительное число, то многочлен xn-p неприводим в Q[x].
Теорема 3 и следствие 4 позволяют сделать вывод о том, что в Q[x] существуют неприводимые многочлены любой степени. Поэтому решение проблемы нахождения корней f(x) и разложения его на неприводимые многочлены затрудненно и требует в каждом конкретном случае особого подхода.
Вопрос 14. Простое алгебраическое расширение поля.
Пусть дано поле P. P[x]- кольцо многочленов от одной переменной над полем P. Обратимся к понятию алгебраической замкнутости поля P. Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен f(x)P[x] обладает хлтя бы одним корнем. Введем такое понятие: элемент Р называется алгебраическим над полем Р, если существует f(x)P[x], для которого является корнем.
Пусть дано поле Р и Р, F – поле.
Определение 1. Простым расширением поля Р с помощью элемента называется наименьшее подмножество поля F, содержащее Р и . Простое расширение поля Р с помощью F обозначается Р().
В вопросе решается проблема о строении Р() и возможности применения этой теории для освобождения знаменателя дроби от алгебраической иррациональности. Для решения обозначенной проблемы рассмотрим Р[]={f()/f(x)P[x]}, где Р[]={a0+a1+...+ann/aiP, nN}.
Легко проверить, что Р[] подкольцо поля Р().
Теорема 2. Пусть Р[x] – кольцо над Р, Р() – простое расширение Р с помощью элемента . Пусть : Р[х] на Р[] – отображение такое, что (f(x))=f(). Тогда:
10. aP, (a)=;
20. (x)=;
30. – гомоморфизм и эпиморфизм;
40. Ker ={f(x) Р[x]/ f()=0 Р[]};
50. Фактор-кольцо Р[х]/Ker изоморфно кольцу Р[].
10 и 20 следуют из определения .
30: (f(x)+g(x))= f()+g(), (fg)=f()g(), (1)=1, это проверяется непосредственно, поэтому – гомоморфизм; f()Р[], f(x) Р[x], (f(x))=f() – эпиморфизм.
40: следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения .
Рассмотрим 50. Так как Ker – идеал Р[х], то становится возможным Р[х] факторизовать, получить Р[х]/Ker , тогда по основной теореме об эпиморфизме колец Р[х]/Ker Р[].
: Р[x] Р[x]/Ker, (f(x))=Kf(x).
: Р[x]/Ker Р[], где
(Kf(x))=f() – изоморфизм.
Следствие 3. Если - трансцендентный элемент над полем Р, то Р[х] Р[].
В силу трансцендентности над Р, Ker={0} и Р[x]/{0} Р[], кроме того – изоморфизм, то есть Р[x]/{0} Р[x] следовательно, Р[x] Р[].
Определение 4. Пусть Р[х] – кольцо многочленов над полем Р. Пусть – алгебраический элемент над полем Р. Минимальным многочленом * над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого является корнем.
Обозначим минимальный многочлен для над Р через g(x), deg g(x)=n называют степенью алгебраического элемента над Р.
Легко показать:
-
g(x) существует для каждого алгебраического элемента;
-
g(х) – неприводимый многочлен в Р[х] над Р;
-
g(x) для определяется однозначно.
-
– вытекает из определения алгебраического элемента.
-
– из определения минимальности g(x).
-
– из предположения, что существует два многочлена * g и h и их неприводимости, они ассоциированы, а так как они неприводимы, то g(x)=h(x).
Теорема 5. Пусть алгебраический элемент степени n над Р (Р) и g(x) – его минимальный многочлен степени n, тогда имеют место:
10. Если f()=0, где f(x) Р[х], то f(x) g(x);
20. Р[х]/(g(f)) Р[х];
30. Р[х]/(g(f)) – поле;
40. Р[]=Р().
Пусть корень f(x), то есть f()=0, известно, что g()=0, тогда (f,g) либо 1, либо нет. Первое невозможно, так как по известной теореме f(x) (x-) и
g(x)(x-). Следовательно, (f,g)1, то есть они не являются взаимно простыми, поэтому f(x) делится на g(x).
Зададим гомоморфизм : Р[х] Р[], (f(x))=f()Ker ={f(x),f()=0} состоит из многочленов, делящихся на g(x), поэтому Ker =J=(g(x)) – идеал Р[х] Р[х]/(g(x)) Р[] (*), так как Р[]Р(), то Р[] – область целостности Р[х]/(g(x)) в силу (*) тоже область целостности. Покажем, что любой элемент из Р[х]/(g(x)) ненулевой обратимый.
Пусть 
смежный класс, 
, то f()=0, тогда f(x) не делится на g(x)(f(x),g(x))=1
, но 
, что и требовалось доказать, то есть Р[х]/(g(x)) – поле, а так как эта алгебра изоморфна Р[], то Р[] тоже поле являющееся подполем поля Р(). Но Р() минимальное подполе поля F, следовательно, Р() Р[], откуда получаем, что Р[]=Р().
Эта теорема позволяет установить строение простого алгебраического расширения Р().
Пусть - алгебраический элемент над P, а Р() – простое алгебраическое расширение P, пусть степень равна n>0. Тогда
Теорема 6. Любой элемент поля Р() однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1,,...,n-1 с коэффициентами из P.
Вопрос 15. Простые и составные числа.
Рассмотрим N – натуральные числа. Введем понятие простого и составного числа.
Опр.1 N а называется делящимся на число в, в 0, если существует такое число с, что а = вс, при этом а – делимое, в – делитель, с – частное.
В
се натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются на группы: 0, 1, р1, р2,…,…, а1, а2,…, где 1 обладает только один делитель, рi – двумя, а для аi существует более двух.
О
пр.2 Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два различных делителей. (1 и само число р), составным, если имеет более двух делителей.
Введенное определение позволит выражать числа натуральные через простые. Это описывается теоремой, которую называют основной теоремой арифметики.
Теорема. 3 Любое n , n > 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел с точностью до перестановки сомножителя.
В теореме содержится две теоремы: о существовании разложения и его единственности.
(
7) Пусть n , n > 1. Для доказательства исследуем метод математической индукции.
n = 2, 2 – простое число, следовательно n = 2 и есть его разложение.
Предположим, что для любого натурального числа, меньшего n, теорема верна и докажем для n.
Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n = вс, где в,с и меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого n , n > 1.
(!) Докажем единственность разложения на простые множетели методом математической индукции.
n = 2, 2 = 2. Разложение единственное.
Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два: n = p1p2 pк = q1q2 … qs (1). Из равенства (1) видно, что “правая часть” делится на p1. А т.к. в “правой части числа простые”, то
-
существует число qi, которое делится на p1;
-
(
![]()
![]()
p1, qi) = 1. Следовательно, p1 = qi. Пусть qi = q1, разделим обе части равенства (1) на p1, получим, что и “левая часть” и “правая часть” числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n = p1p2 pк – разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать.
Если среди простых множителей окажутся равные, то их объединяют в степень и получают представление n в виде: 
, которое называют каноническим разложением натурального числа.
В теории натуральных чисел имеет место теорема, решающая вопрос о количестве простых чисел во множестве .
Теорема 4. (Евклида) Множество простых чисел в бесконечно.
Проведем доказательство методо от противного.
П усть простых чисел конечное число: p1p2 pк. Рассмотрим = p1p2 pк+1. Исследуем полученное число:
1
) 1 оно простое или составное; pi, i = 1, к ;
2
) N 
pi, , i = 1, к , т.к. при делении на pi получен остаток 1;
-
![]()
– составное. Если составное, то ему надлежит делиться на 1, и еще на какое-нибуть простое число (см. ниже), но это не так, поэтому не является составным. Полученное противоречие и доказывает теорему.
Т еорема 5. Наименьший, отличный от 1 делитель составного числа, является простым числом.
Пусть n имеет делители, отличные от 1. Обозначим тот делитель, который будет наименьшим среди всех делителей. Пусть это натуральное число к, т.е. n = к . m; к, m , к > 1. Исследуем к.
Если к = p – простое число, то теорема верна.
Е
сли к – составное число, то к = к1 m1, тогда n = к1 (m1 m), n к1, к1 < к, что противоречит выбранному наименьшему значению. Это и доказывает теорему.
Д
остаточно часто в математике приходитс для числа а выяснять, является оно простым или составным. Для решения подобных задач предложен способ, носящий название “решето Эратосфена…” или способа отсеивания чисел кратных 2,3,…,p,… .
Опишем этот способ.
Если даны числа натурального ряда: 1,2,3,4,5,…,n, то для установления какими они являются: простыми или составными, поступают так: вычеркивают 1,2 и каждое второе, ибо каждое второе начинается от 3, делится на 2, поэтому является составным. Затем повторяем эту процедуру для 3. 3 вычеркивается и каждое третье, ибо 6 – третье по счету за 3, делится на 3. названную процедуру повторяют до простого числа с не превосходящего 
. Оставшиеся числа являются простыми.
Т
акой алгоритм можно использовать и для установления чисел в промежутке от n1 до n2.
Опишем его спецификацию . Если надо установить какие числа в промежутке от n1 до n2 являются простыми, то поступим так:
-
выясним простое или составное является число n1:
-
Проверим его делимость на 2,3,5,…p ≤
![]()
. Если оно не делится на эти простые числа, то оно простое; -
Если оно делится хотя бы на одно из этих чисел, то оно составное.
. Если оно не делится на эти простые числа, то оно простое;-
при выяснении простого числа n, одновременно поступаем так:
2.1 если n1 2, то вычеркивают его и каждый второй (как в первом случае); и переходим к (n1 + 1);
2
.2 если n1 2, то к числу добавляем 1 и вычеркиваем n1 + 1 и любое второе за ним;
2.3 если было 2.1, то переходим к (n1 + 1) и проверяется делим его на 3, повторяем процедуру решета Эратосфена переходит к (n1 + 2);
2.4 Если было 2.2, то проверяют делимость на 3;
2.4.1. если n1 3, то проверяю решето Эратосфена и переходят следующему.
не вычеркнутому числу и исследуют его делимое на 5;
2.4.2. если n1 = 3q + r, то в зависимости от r = 1 или r = 2, добавляем 1 или 2 и
n1 + 1, n1 + 2.
И любое третье по счету и т.д.
2.5 Если n1 оказалось простым, то все не вычеркнутые числа тоже простые. Если n1 оказалось составным, а ni – простое, то все стоящие за ni числа остальные простые.
