85034 (Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика – Алгебра), страница 5

1. f(x)+(g(x)+h(x))=(f(x)+g(x))+h(x)

f(x)+g(x)=g(x)+f(x)

f(x)(g(x)h(x))=(f(x)g(x))h(x)

f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)

Ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и дистрибутивные законы непосредственно вытекают из введенных нами операций над многочленами.

2. - называют нулевым многочленом, легко проверить, что , т.е. - выполняет роль нулевого элемента в алгебре K[x].

1. f(x)=(-a_n)xⁿ+...+(-a₁)x+(-a₀)=-f(x) – называют противоположным многочленом для многочлена f(x), он выполняет роль противоположного элемента в алгебре. Так как все аксиомы кольца выполняются, то - кольцо, которое обозначают K[x] и называют кольцом многочленов над кольцом K.

Теорема 7. Если K область целостности, то K[x] тоже область целостности.

Для доказательства этой теоремы введем понятие степени многочлена.

Степенью многочлена f(x) называется максимальный показатель степени x с коэффициентом отличным от нуля. Обозначение: deg f(x)=n, где a_n0.

Степень многочлена обладает свойствами:

deg (f + g) max (deg f, deg g); deg (fg) = deg f + deg g, если K – область целостности. Доказательство свойств степени многочлена осуществляется на основе двух аргументов: во-первых, на основании выполнения операций; во-вторых, на основании целостности K.

Приступим к доказательству теоремы. Требуется проверить выполнимость: (1) коммутативности умножения и (2) отсутствие делителей нуля.

1. коммутативность умножения следует из определения умножения многочленов над областью целостности, где умножение элементов коммутативно.

2. f(x) , deg f(x)=n0, g(x) , deg g(x)=m0,

deg (f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)= n+m 0 deg (fg) = n+m 0 c_n+m 0 (fg) , это и доказывает отсутствие делителей нуля в K[x], где K – область целостности.

Пусть возникла ситуация, где требуется многочлен f(x) = a_nxⁿ+...+a₁x+a₀ разделить на двучлен (x-a). Это можно сделать с помощью алгоритма, который принято в математике называть схемой Горнера. Построим этот алгоритм.

f(x) = (x-a)g(x)+r(x), где f(x) = a_nxⁿ+...+a₁x+a₀, g(x)= b_nxⁿ+...+b₁x+b₀ .

Воспользуемся свойством степени, получим:

deg f(x) deg [(x-a)g(x)+r(x)] max[deg (x-a)g(x), deg r(x)]

deg (x-a)g(x)=deg (x-a)+deg g(x). Из этих равенств можно сделать вывод, что m=n-1, deg r(x)=0, т.е. r(x) – число, т.е. a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀=(x- -a)b_nxⁿ+...+b₁x+b₀+r. Раскроем скобки справа и приравняем коэффициенты многочленов. Для удобства одновременно воспользуемся схемой.

a_nxⁿ=b_n-1xⁿ b_n-1=a_n

a_n-1x^n-1=b_n-1xⁿ(-a)+b_n-2x^n-1 a_n-1=b_n-1(-a)+b_n-2 b_n-2=a_n-1+ab_n-1

b₁=ab₂+a₂, b₀=ab₁+a, r=ab₀+a₀.

Введем понятие корня многочлена.

Определение 8. Число x=a называется корнем многочлена f(x), если значение многочлена f(a) равно нулю.

Рассмотрим теорему Безу о делении многочлена на двучлен (x-a).

Теорема 9. (Безу) Остаток от деления многочлена f(x) на двучлен (x-a) равен f(a).

f(x), (x-a). Поделим, f(x)=(x-a)g(x)+r, мы установили, что r – число. Подставим x=a в равенство, получим f(a)=0g(a)+r, откуда вытекает утверждение теоремы f(a) = r.

Из теоремы вытекает следствие: f(x)(x-a) x=a корень уравнения.

f(x) (x-a) f(x)=(x-a)g(x)+f(a) (по теореме Безу), f(a)=0 x=a корень f(x)

Пусть x=a корень многочлена, т.е. f(a)=0 f(x)=(x-a)g(x) (по теореме Безу), т.е. f(x) (x-a).

Вопрос 11. Кольцо многочленов над полем комплексных чисел.

В алгебре многочленов имеют место две взаимно пересекающиеся, взаимно дополняющие линии. Это вопросы существования и количества корней многочлена и разложение многочлена на неприводимые множители.

В вопросе представлено решение этих аспектов для кольца многочленов над полем комплексных чисел, т.е. для кольца C[x], где C – поле комплексных чисел.

Итак, пусть P – поле.

Определение 1. Поле P называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени имеет в этом поле корень. Алгебраической замкнутостью обладает поле C, это решается основной теоремой алгебры.

Теорема 2. Любой многочлен положительной степени из кольца C[x] обладает по крайней мере одним корнем. Примем эту теорему без доказательства в силу того, что она требует предварительного доказательства ряда теорем из математического анализа.

Из основной теоремы алгебры вытекает ряд следствий, их и рассмотрим.

Следствие 3. Неприводимым над полем C многочленом является многочлен только первой степени.

Для доказательства этого утверждения введем определения приводимого и неприводимого многочлена. Многочлен f(x)P[x] называется приводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени. В противном случае многочлен называется неприводимым.

Приступим к доказательству следствия 3.

Пусть дан f(x)C[x]. Пусть он приводим. Покажем, что

1. рассмотрим f(x)=a₁x+a₀, degf(x)=1. Предположим, что f(x) – приводим. Тогда по определению приводимого многочлена f(x)=f₁(x)f₂(x), где degf₁(x)>0, degf₂(x)>0. Однако по условию degf(x)=1=1+0=0+1, то есть degf₁(x)=0degf₂(x)=0, что противоречит свойству степеней. Полученное противоречие и доказывает неприводимость многочлена (а₁х+а₀).

Пусть deg f(x)>1, тогда по основной теореме алгебры он обладает корнем. Пусть таким корнем будет х=а. По следствию из теоремы Безу: f(x)=(x-a)f₁(x). Так как deg(x-a)=1, degf(x)>1, deg(x-a)f₁(x)=deg(x-a)+degf₁(x), то degf(x)>0; то есть f(x) – приводим, что противоречит условию. Таким образом, неприводимым над полем С является только многочлен первой степени.

Следствие 4. Если f(x)C[x], degf(x)=n1, то его можно представить в виде:

с(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n), (*)

где a_i – корни его, а сС.

Пусть f(x)=c₁x+c₀=c₁ =c₁(x-a₁), где ,то есть для многочлена f(x) утверждение верно: он представляется в виде (*) и а₁– корень его, а с₁– старший коэффициент.

Далее, проведем доказательство методом математической индукции. Пусть теорема верна для многочлена степени меньшей или равной (n-1), то есть

f(x)=c(x-a₁)...(x-a_n-1), где a₁, a₂, ..., a_n-1– его корни, а с – старший коэффициент.

Пусть f(x) – неприводим, а это возможно только для n=1, для этого случая теорема верна. Либо f(x) – приводим, тогда f(x)=g(x)h(x), где степени g(x) и h(x) меньше n, для них теорема верна. В силу свойства степени f(x)=c(x-a₁)...(x-a_n), то есть множителей будет ровно n. По следствию из теоремы Безу а_i – корни f(x), если расткрыть скобки в правой части и воспользоваться равенством многочленов, то с – старший коэффициент f(x). Теорема доказана.

Из этого в следствии с необходимостью вытекает еще два.

Следствие 5. Количество комплексных коней многочлена f(x)C[x] совпадает с его степенью.

Следствие 6. Любой многочлен f(x)C[x] положительной степени n можно представить в виде:

f(x)=c(x-a₁)₁(x-a₂)₂...(x-a_k)_k, где ₁+...+_k=n, a_i – его корни. Такое представление носит название канонического. Возможность такого представления вытекает из следствия (4) и допустимости повторяющихся корней, то есть кратных корней многочлена.

В теории многочленов над С имеет место теорема, устанавливающая связь между корнями многочлена и его коэффициентами.

Теорема 7. Пусть f(x)C[x], degf(x)=n, a_n=1 (то есть f(x) – нормирован), тогда как известно, f(x)=(x-a₁)(x-a₂)...(x-a_n), где имеет место соотношение:

а₀ = (-1)ⁿ a₁ a₂ ... a_n;

a¹= (-1)^n-1 (a₁a₂ ... a_n-1+ ... + a₂a₃ ... a_n);

. . . . . . . . .

a^n-2= a₁a₂+ a₁a₃+ ... + a_n-1a_n ;

a^n-1= -(a₁+ a₂+ ... +a_n);

эти соотношения называются формулами Виета. Однако, справедливости ради, надо отметить, что Виет нашел эту зависимость только для случая положительных корней, в общем виде эта теорема установлена А. Жирарое.

Вопрос 12 Кольцо многочленов над полем действительных чисел (R).

В алгебре имеет место теория многочленов. Многочлен введен по определению как выражение f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀, где a_iK – кольцо, x⁰=1, 1·x= x. Введение операций “+” и “” многочленов позволило построить алгебру многочленов, которой является кольцо многочленов над кольцом К и обозначается К[x]. Особый интерес представляет теория многочленов, когда вместо кольца К взято поле. Такими числовыми полями являются C, R, Q.

В силу существования операции деления в поле, стало возможным рассматривать два взаимосвязанных вопроса в теории многочленов: корни многочлена и разложение многочлена на неприводимые многочлены.

Рассмотрим решение этой проблемы для кольца многочленов над R.

Теорема 1. Комплексные корни f(x)К[x], то есть с действительными коэффициентами попарно сопряженными.

Пусть f(x)К[x], и пусть z=a+bi; a,bR комплексное число, являющееся корнем f(x), причем degf(x)2 в противном случае f(x) комплексных корней иметь не может. Покажем, что =a–bi, b0 тоже является корнем f(x).

f( )=a_n ⁿ+a_n-1 ^n-1+...+a₁ +a₀= (воспользуемся свойством сопряжения) = = , то есть является корнем f(x), что и требовалось доказать.

Рассмотренная выше теорема позволяет доказать теорему о неприводимом многочлене из R[x]. Напомним определение приводимого и неприводимого многочленов.

f(x) называется неприводимым, если его можно представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени и неприводимым, если этого сделать нельзя.

Рассмотрим f(x)= a₁x+a₀, a_iR. его нельзя представить в виде произведения двух многочленов меньшей положительной степени в силу того, что 1=1+0=0+1.

Решать будем вопрос о приводимости и неприводимости многочлена f(x)R[x] степени большей или равной 2.

Теорема 2. Неприводимый многочлен f(x)R[x], degf(x)=n2 ассоциирован с многочленами (x-a)²+b²,где x=a+bi комплексный его корень.

Пусть f(x)R[x], degf(x)=n2, пусть x=a+bi, b0 – корень f(x), он неприводим.