85034 (Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика – Алгебра)

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

П одстановка = 1 2 … n называется взаимно-однозначное

(1) (2) …(n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn( ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) = (единичная)-четная; 2) sgn (^--1 ) = sgn ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn ( )

где -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=sgn()a_{1 (1)} a_{2 (2)} …a_{n (n) ,} A=(a_ij)_n*n

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1. |A|=|A^t|,где А^t -трансионированная;

2. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a₁+...a_k b1+...b_k c₁+....c_k),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента a_ij (M_ij) и его алгебраического дополнения (A_ij) .

Минором M_ij элемента a_ij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента a_ij называется число (-1)^i+j М_ij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a_1jA_1j +a_2jA_2j +....+a_njA_nj или

|A|=a_i1A_i1 +a_i2A_i2 +...+a_in A_in .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a₁₁…a_1n

|A|= a₂₁…a_2n = a_nn M_nn

………

0……a_nn

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=sgn()a_{1 (1)} a_{2 (2)}…a _{n-1, (n-1)} a _{n (n)}

Так как в n-ой строке все элементы кроме a_nn нули, то все слагаемые в определителе кроме a_nn равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn() a_{1 (1)} a _{2 (2)}....a _{n-1, (n-1)} a _{n n} =a _{n n} ( sgn(’) a ₁₍₁₎ a _{2 (2)} ...a _n-1,(n-1)),где

= 1 2 ... n-1 n ’ = 1 2 ... n-1

_{(1) (2)} ... _{(n-1) (n)} , _{(1) (2)} ... _(n) , т.к

= 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

_{(1) (2)} ... _{(n-1) (n ) (1) (2)} ... _(n) ,то sgn () =sgn(’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=a_nnM_nn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a ₁₁ ... a _1j .. a _1n

|A|= ................................. = a _ij A _ij

0 ... a _ij ... 0

..................................

a _n1 ... a _nj ... a _nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A_{11 ...} a_1j ... a_1n a₁₁ .. a_1j ..a_1n a₁₁ .. a_1n .. a_1j

A = ....................... = ^n-i .................... = ^{n-i n-j} .................... =

0 .. a_ij ... 0 a_n1 .. a_nj ..a_nn a_n1 .. a_nn ..a_nj

a_{n1 ..} a_nj ... a_nn 0 .. a_ij .. 0 0 .. 0 .. a_ij

= ^2n- M_ij*a_ij= ^i+ja_ijM_ij=a_ijA_ij

Случай 3. |A|=a_1iA_1i +a_2iA_2i +....+a_niA_ni.

A_{11 ..} a_1j .. a_nn ... a_1j+0+..+0 ... .. a_1j .. .. 0 .. ... 0

A₂₁ .. a_2j .. a_2n ... 0 +a_2j+..+0 .. .. 0 .. .. a_2j .. ... 0

A = ..................... = ......................... = ......... + .......... +..+ ....... =

a_n1 .. a_nj .. a_nn ... 0+0+..+a_nj ... .. 0 .. .. 0 .. ...a_nj

= a_1jA_1j+a_2jA_2j+..+a_njA_nj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система a_ijx_j=b_i, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле:

x_i= , где = A ,

x_i-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) a_ijx_j=b_j, i=j=1,n, |A| 0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

X₁ b₁

X= X₂ , b = b₂

.. ..

x_n b_n

Е сли |A| 0 А^-1 А^-1АХ=А^-1b X=A^-1 b. Известна теорема утверждающая, что A^-1 = A^* , где A^* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A₁₁ A₂₁ .. A_n1 b₁ b₁A₁₁+b₂A₂₂+..+b_nA_n1

X= A^* b = A₁₂ A₂₂ .. A_n2 b₂ = b₁A₁₂+b₂A₂₂+..+b_nA_n2 =

........................ ... ...................................

A_1n A_2n .. A_nn b_n b₁A_1n+b₂A_2n+..+b_nA_nn

x₁

= x₂ ,

......

x_n

ч то и позволит получить формулу: X_i= , где = A , i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aA, bB}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W=a,b /,a,bA; aWb, a,bA; a,bW,где a,bA

Например, бинарные отношения являются:

1. ""на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: aA, aWa;

2) симметричность: a,bA, aWbbWa;

3) транзитивность: a,b,c A,aWb и bWcaWc

4) связность: a,bA,aWbbWa;

5) антирефлексивность: aA,a,aW;

6) антисимметричность: a,bA,aWb,bWaa=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

к лассификацию, которую представим схемой:

Бинарное

отношение

ф ункциональность эквивалентность: порядок:

xA, ! yA: рефлексивность, антисимметричность,

f:xy cимметричность, транзитивность

транзитивность

строгий порядок: нестрогий порядок:

антирефлексивность рефлексивность

частичный порядок: полный порядок:

не обладает свойством обладает связностью

связности

Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WA*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A0 разбиение.