Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

K_a=x/xWa /x,aA a-образующий элемент класса.

свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:

a-образующий элемент класса.

Классы эквивалентности обладают свойствами:

1. aA попадает в какой-либо класс, что означает, что K_a . Это утверждение следует из введенного определения класса.

1. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,c_a , b c.

c,bK_a a c, c a , c b

a b a b

Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.

3. Классы не пересекаются, т.е. КаКb=

Пусть КаКbсКаКbсКа,сКbсWа,cWbаWс,сWbаWbКа=Кb.

Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A,W-эквивалентности Ka ,Kb ,...

a) классы-подмножества A;

b) классы-неизвестного подмножества;

c) классы-не пересекающиеся;

d) Ka =A , аА

Имеет место и обратное утверждение.

Теорема 3.Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .

Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.

Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: "принадлежность одному подмножеству", то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.

Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством. Итак, A/w= { Ka /a A } .

Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:

1. Hа множестве дробей {a/b, аZ, bN} зададим отношение "=": а/b=с/dad=bс.

Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.

2. Z, “”: ab(mod m)(a-b)m, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.

3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.

Вопрос 5 . Элементы теории групп.

Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.

Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств ,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.

Опр. 2. Пусть дано множество A . Алгебраическая операция “ ” на множестве А называется отображение f: АА, т.е. для a,bA, () cA:ab=c

Опр. 3. Группой называется алгебра с одной алгебраической операцией “ ”,

удовлетворяющей свойствам (аксиомам):

1.a,b,cG, a(bc)=(ab)c,

2.eG,aG: ea=ae=a.

3.aG, aG:aa=aa=e.

e-нейтральный элемент относительно операции;

а-симметричный относительно операции для а.

Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:

группа

e – нулевой,

а = (-а) противоположный

аддитивный,

операции “+”.

мультипликатив-ый, операции “*”.

e – единичный,

а=а^-1 обратный.

коммутативный

некоммутативный

Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.

Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.

1. Пусть для еG, e₁,e₂-нейтральный (единственный), рассмотрим

(1):e₁e=ee₁=e.

(2): e₂e=ee₂, откуда получим:

e₁=e₁e=e₁ee₂=ee₂=e₂, т.е. e₁=e_2.

2. Пусть для aG, a₁^-1, a₂^-1-обратный для а.

Рассмотрим (1): a₁^-1a=aa₁^-1=e

(2): a₂^-1a=aa₂^-1=e , откуда получим:

a₁^-1aa₂^-1=ea₂^-1=a₂^-1,

a₁^-1aa₂^-1=a₁^-1e=a₁^-1 a₂^-1=a₁^-1.

3 . ax=b; aGa^-1: aa^-1=a^-1a=e. Домножим уравнение на a^-1:

a^-1ax=a^-1bex=a^-1bx=a^-1b.

Пусть уравнение имеет два решения x₁, x₂:

ax₁=b, ax₂=b-равенства, домножим на а^-1:

x₁=a^-1b, x₂=a^-1b.

В силу алгебраичности операции x₁=x₂, что и требовалось доказать.

Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.

Опр. 5. Подмножество К группы называется подгруппой, если оно само является группой .

Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:

1.a,bK, ab,baK.

2.aK, a^-1K.

G-группа, K G. Пусть K G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1,2 выполнены.

G-группа, K G, 1, 2. Покажем, что K G, т. е. К-группа.

Для доказательства необходимо проверить четыре условия:

1. Замкнутость К относительно групповой операции.

2. Ассоциативность этой операции.

3. Существование нейтрального элемента.

4. Существование для каждого элемента обратного.

Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КG. Проверим 3:

Т. к. aK, a^-1K ,условие 1, то аa^-1 К. Но аa^-1= е, следовательно, еК, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).

Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.

Пусть G-группа, K G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:

ab(mod K) ab^-1 K. Проверим, что отношение “”-является эквивалентностью.

1).]aG a^-1G, aa^-1=e, eK aa^-1K aa(mod K) ””-рефлексивно.

2).]ab(mod K)ab^-1K, (a-b^-1)^-1Kba^-1Kba(mod K)””-симметрично.

3).]ab(mod K), bc(mod K)ab^-1K, bc^-1K (ab^-1)(bc^-1)K ac^-1K

ac(mod K) ””-транзитивно.

Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.

Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g G, g¯ и покажем, что g¯=Kg={hg| hK, gG}

Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.

{Kg| gG}=G/””-фактор-множество.

Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:

“ab(mod K)b^-1aK”.

Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем Кg=G и gK=G, a {Kg/gG} и {gK/gG}-образуют фактор-множества.

Возможен случай, когда для gG, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.

Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg₁Hg₂=Hg₁g₂ . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если

a, a'Hg₁, b,b'Hg₂, то aba'b'(mod H), т.е. ab, a'b'Hg₁g_2.

ab=(h₁g₁)(h₂g₂)=h₁h₂g₁g₂=hg₁g₂abHg₁g₂;

a'b'=(h₁'g₁)(h₂'g₂)=h₁'h₂'g1g2=h'g₁g₂a'b'Hg₁g₂, следовательно

ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.

Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.

Т. к. G, H G-нормальная, {Hg/g G}=G/”” . Зададим операцию: Hg₁Hg₂=Hg₁g₂. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.

1.Hg₁(Hg₂Hg₃)=Hg₁(Hg₂g₃)=Hg₁(g₂g₃)=H(g₁g₂)g₃=Hg₁g₂Hg₃=(Hg₁Hg₂)Hg₃операция ассоциативная.

2. Hg=He=H Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.

3.Hg, Hg^-1: HgHg^-1=Hgg^-1=He=H;

Hg^-1Hg=Hg^-1g=He=H, семейство класса Hg^-1 выполняет роль обратного для Hg,

т.е. (Hg)^-1=Hg^-1.

так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.

Вопрос 6 Элементы теории колец.

В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.

Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где А 0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Кольцом называется алгебра < K,+, > с двумя бинарными операциями, которые

удовлетворяют следующим свойствам:

1. - аддитивная абелева группа,

2. “ ,, - ассоциативно,

1. Имеет место два дистрибутивных закона, то есть а,в,с К , а(в+с)=ва+са.

Кольцо как алгебра допускает классификацию, представим её схемой:

Кольцо

С единицей, т.е.		Без единицы
Коммутативны т.е.		Не коммутативны

С делителями нуля, т.е.		Без делителей нуля.

Замечание: Определение всех классов колец предоставляется сформулировать читателю.

Опр.3

Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называеться областью

целостности.