85034 (Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика – Алгебра), страница 3

Примером области челосности является кольцо Z , колцо многочленов от одной переменной K , где К- область челостности.

Так как кольцо это алгебра, а алгебра это множество, то есть смысл говорить о его

подмножествах, среди которых особый интерес представляют подкольца.

Опр.4

Подмножество I кольца К называется его подкольцом, если оно само является

кольцом относительно операции кольца К .

Для проверки является ли рассматриваемое подмножество кольца К его подкольцом удобно пользоваться критерием подкольца.

Теорема 5.

(критерий подкольца) Подмножество I кольца К является подкольцом

тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если (1)

(2)

• Пусть (где “ ,,- “ быть подкольцом ,,) .Покажем что (1) и (2) имеют место.

Так как , то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для , поэтому следовательно (1) выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.

• Пусть , (1),(2) – выполнены. Покажем, что I – подкольцо, т.е. что I – кольцо.

Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I – замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что .

Рассмотрим условие (1). Пусть ,но , , ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I, следовательно, I – кольцо. Так как , то это подкольцо.

Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введём это понятие.

Опр. 6

Подкольцо I кольца K называется идеалом если для

В кольце с существует особый идеал: Такой идеал называется главным идеалом. Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным

Пусть К является областью целостности. Зададим на нём отношение “сравнения по идеалу I ”.

Опр.7

. Легко проверить, что “ “ – отношение эквивалентности:

1⁰.т.к.а-а=0I, то отношение рефлексивно

2⁰. Если а вmod I а-вI в-аI в аmod I) отношение симметрично

3⁰.Если а вmod I, в cmod I) а-в I, в-с I (а-в)+(в-с)= а-с I

а cmod I) отношение транзитивно.

Как известно, отношение эквивалентности задаёт разбиение.

К_а - класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е.

1. классы эквивалентности не пустые,

2. классы не пересекаются,

3. классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением

4. каждый элемент из K входит в один из классов

5. объединение классов вычетов совпадает с кольцом.

Множество классов вычетов {К_а /а К} называется фактор-множество.

Имеет место теорема о фактор-множестве.

Теорема 8

Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов

является кольцом.

Для доказательства выполним следующие процедуры:

1. зададим операции и проверим их корректность;

2. операции подчиняются аксиоматике кольца.

1).К_а+К_в=К_а+в , К_аК_в=К_ав

К_а , К_в покажем, что а+в

К_а , а+в К_а+в , К_{в ав}

Покажем, что К_{а+в ,} К_ав

Если и

_а+в

_ав

что доказывает, что введённые операции корректны, т.е. являются алгебраическими.

2).К_а+(К_в+К_с)=К_а+К_в+с=К_а+(в+с)=К_(а+в)+с=К_(а+в)+К_с=(К_а+К_в)+К_с сложение ссоциативно

К_а+К_в=К_а+в=К_в+а=К_в+К_а сложение коммутативно;

К_а+К₀=К_а+0=К_а К₀=I идеал выполняет роль нулевого элемента относительно сложения;

К_а+К_(-а) = К_а+(-а)= К₀= I К_(-а)= -К_а –противоположные классы

К_а^.(К_в^.К_с) = К_а^.К_вс=К_а(вс)=К_(ав)с=К_ав^.К_с= (К_а^.К_в)^.К_с

К_а ^.(К_в+К_с) = К_аК_в+с= К_а(в+с)= К_ав+ас = К_ав+К_ас

Всё рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому - кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I.

Кроме отношения сравнения по идеалу I в кольце рассматривается ещё отношение-

“ отношение делимости “. Рассмотрим его.

Опр. 7

Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует

такое , что а=вс. а –называется делимое, в –делитель, с–частное. И обозначается “ ,,

Отношение делимости позволит ввести ещё одно отношение – ассоциативности элементов - “ ~ ,, а ~в а в / в а.

Элемент называется обратимым в К если для него существует такое, что

ав=1. Элементы а и в называют так же делителями единицы.

Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е.

1⁰ “ ,, - рефлексивно : а 0, а а.

2⁰ “ ,, - антисимметрично : а в, в а а = в.

3⁰ “ ,, - транзитивно : а в, в с, то а с.

4⁰ а,в с а+в с, ав с.

5⁰ а₁,а₂, .... ,а_n , a_I c а₁,а₂, ... ,а_n с. и ряд других свойств.

Отношение “ ~ “ является отношением эквивалентности.

1⁰ а а ~ а.

2⁰ а ~в а в, в а в ~а.

3 ⁰ а ~в, в~с а в, в с а с c~a a ~c

в a, с в с в ,в а с а

Вопрос 7 Гомоморфизм колец

В вопросе ставиться проблема взаимосвязи алгебр на примере колец, которые описываются гомоморфизмом. Предлогаеться решить проблему взаимосвязи кольца, фактор-кольца с другим кольцом, которая задаётся теоремой об эпиморфизме колец. Предварительно введём ряд понятий. Прежде всего, сформулируем определение алгебры и гомоморфизма алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств , где А 0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Гомоморфизмом алгебр называется отображение одной из них в другое, сохра -

няющее операции, т.е. если А , В – алгебры , с U, W – множествами опреаций, f – гомоморфизм А в В , то ▲ U, существует ■ W.

Гомоморфизм алгебр допускает классификацию:

Свойства f	Гомоморфизм	Мономорфизм	Эпиморфизм	Изоморфизм
1 .Сохранение операций
2.x1 y1 f(x1) f(y1)
В се св-ва 1 - 3

Сформулировать определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма предоставляется читателю.

Рассмотрим гомоморфизм колец.

Опр.3

Гомоморфизмом кольца > в < > называют отображение f:

Сохраняющее операции, т.е. f(а+в)=f(а) f(в) ; f(ав)=f(а) f(в).

Опр.4

Ядром гомоморфизма f: называется множество элементов из К, образы

которых равны нулю кольца К, т.е. Ker f =

Теорема 5

Ker f кольца К в является идеалом К

• а,в Ker f f(a)=0 K, f(в)=0K ; кK

f(a-в)=f(а+(-в))=f(а)+f(-в)=f(а)-f(в)=0- 0=0 K а-в Ker f

f(ак)=f(а) f(к)=0 f(к)=0 К ак Ker f

f(ка)=f(к) f(а)= f(к) 0=0 К ка Ker f ,что и доказывает, что Ker f кольцо К в К является идеалом К

Имея К и идеал его I , можно задать отношение сравнения по идеалу. Известно, что это отношение является эквивалентностью поэтому задано разбиение, а следовательно, фоктор - кольца. Рассмотрим отображение Е : К К /I, где Е(x)=K_x

Покажем что Е – гомоморфизм ( эпиморфизм ).

E(x+y)=K_x+y=K_x+K_y=E(x)+E(y); E(xy)=K_xy=K_xK_y=E(x)E(y).

K_x K / I ; x K, E(x)=K_{x .} Это позволяет утверждать что Е - эпиморфизм _.

Теорема 6

Если f: K K эпиморфизм, то существует изоморфизм K / Ker f на K такой,

что эпиморфизм f равен композиции Е и изоморфизма.

• Для доказательства теоремы предварительно рассмотрим и зафиксируем условие теоремы.

К, К - кольца , f: KK, f(x)=x-эпиморфизм, тогда f обладает ядром Kerf, которое является идеалом K. Становиться возможным К фиксировать по Ker f = I, получаем фактор –кольцо К / Ker f. Рассмотрим Е: К Ker f, где E(x)=Kx –эпиморфизм. Теперь можно приступать к доказательству теоремы, которое предполагает выполнение процедур по плану:

1. покажем что для x,yK_x , f(x)=f(y),

2. зададим отображение : K/Ker f K так :(K_x)=f(x),

3. проверим, что - гомоморфизм,

- эпиморфизм,

- мономорфизм.

1. f = E.

Итак, покажем, что для x,yK_x, f(x)=f(y). Пусть f(x)f(y) f(x)-f(y)0 f(x-y)0 x-y Ker f x y(mod Ker f) xK_x yK_y ,что противоречит