115461 (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), страница 5

Для этого возведем равенства , в четвертую степень и заметим, что .

Итак, надо решить систему уравнений

она имеет два (действительных) решения: , ; , . Остается решить систему двух уравнений с одним неизвестным

и систему

первая из них дает , вторая дает .

Ответ. , .

Не всегда после введения новых переменных удается исключить неизвестную x, как это было в рассмотренных Примерах 15, 16. Однако, как можно убедиться из следующего примера, переход от уравнения к системе может помочь и в таком случае. [17]

Пример 17. Решить уравнение

.

Решение. Введем новые переменные

и .

По стандартной схеме получим следующую систему уравнений:

откуда следует, что

.

Так как , то u и v должны удовлетворять системе

из которой после несложных преобразований получаем уравнение

.

Заметим, что это уравнение имеет корень . Тогда, разделив многочлен на , получаем разложение левой части уравнения на множители

.

Отсюда следует, что - единственное решение этого уравнения. После проверки записываем это решение в ответ.

Ответ.

3. Тригонометрическая замена.

Иногда подходящей заменой неизвестной иррациональное уравнение можно свести к тригонометрическому уравнению. При этом полезными могут оказаться следующие замены переменной. [17]

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , .

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену tg t, или ctg t, .

Если в уравнение входит радикал , то можно сделать замену , или , .

Проиллюстрируем использование этих замен на следующих примерах.

Пример 18. Решить уравнение .

Решение. В данное уравнение входит выражение , поэтому в соответствии с пунктом 2, сделаем замену

tg t, где .

Тогда выражение , входящее в уравнение, можно преобразовать

и исходное уравнение можно записать в виде

.

Поскольку не равен нулю при рассматриваемых значениях t, то полученное уравнение равносильно уравнению

.

Решая это уравнение, находим два возможных значения

и .

Из всех корней этих уравнений промежутку принадлежит единственное значение .

Поэтому соответствующее значение x равно

.

Ответ. .

Пример 19. Решить уравнение .

Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка , что приводит к мысли совершить замену

, где .

В результате такой замены приходим к уравнению

.

Учтем, что и , получим уравнение .

В силу ограничения выполнено , поэтому приходим к уравнению , которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду

.

Решая последнее уравнение, находим

или , .

Условию удовлетворяют лишь три значения

, , . Поэтому

, , .

Ответ. , , .

4. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений. [6]

Пример 20. Решить уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию . Выражение называется сопряженным для выражения . Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению

.

Оно имеет единственный корень , так как уравнение решений не имеет.

Подстановка в исходное уравнение показывает, что - корень.

Ответ. .

Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.

Пример 21. Решить уравнение . [9]

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию . После преобразований получим уравнение

.

Оно имеет два корня: . Проверка показывает, что - посторонний корень (нетрудно видеть, - корень функции ). Таким образом, уравнение имеет единственный корень .

Ответ. .

Методика решения иррациональных неравенств

Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >, , <, , то получим иррациональное неравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня. [16]

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться. [8]

Например, возведя в квадрат:

верное неравенство , мы получим верное неравенство ;

верное неравенство , мы получим неверное неравенство ;

неверное неравенство , мы получим верное неравенство ;

неверное неравенство , мы получим неверное неравенство .

Вы видите, что возможны все комбинации верных и неверных неравенств. [8]

Однако верно основное используемое здесь утверждение: если обе части неравенства возводят в четную степень, то получится неравенство, равносильное исходному только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны. [16]

Поэтому основным методом решения иррациональных неравенств является сведение исходного неравенства к равносильной системе или совокупности систем рациональных неравенств. [17]

Наиболее простые иррациональные неравенства имеют вид: [16], [17]

(или );

(или );

(или ).

Иррациональное неравенство (или ) равносильно системе неравенств

или . {1}

Первое неравенство в системе {1} является результатом возведения исходного неравенства в степень, второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, а третье неравенство системы выражает условие, при котором это неравенство можно возводить в квадрат.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно совокупности двух систем неравенств

или . {2}

Обратимся к первой системе схемы {2}. Первое неравенство этой системы является результатом возведения исходного неравенства в квадрат, второе - условие, при котором это можно делать.

Вторая система схемы {2} соответствует случаю, когда правая часть отрицательна, и возводить в квадрат нельзя. Но в этом и нет необходимости: левая часть исходного неравенства - арифметический корень - неотрицательна при всех x, при которых она определена. Поэтому исходное неравенство выполняется при всех x, при которых существует левая часть. Первое неравенство второй системы и есть условие существования левой части.

Иррациональное неравенство (или ) равносильно системе неравенств

или . {3}

Поскольку обе части исходного неравенства неотрицательны при всех x, при которых они определены, поэтому его можно возвести в квадрат. Первое неравенство в системе {3} является результатом возведения исходного неравенства в степень. Второе неравенство представляет собой условие существования корня в исходном неравенстве, понятно, что неравенство выполняется при этом автоматически.

Схемы {1}-{3} - наш основной инструмент при решении иррациональных неравенств, к ним сводится решение практически любой задачи. Разберем несколько примеров. [8]

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Заметим, что правая часто этого неравенства отрицательна, в то время как левая часть неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Поэтому неравенство решений не имеет.

Ответ. Решений нет.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Как и в предыдущем примере, заметим, что правая часть данного неравенства отрицательна, следовательно, возводить это неравенство в квадрат нельзя. И не надо, поскольку левая часть исходного неравенства неотрицательна при всех значениях x, при которых она определена. Это означает, что левая часть больше правой части при всех значениях x, удовлетворяющих условию .

Ответ. .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. В соответствии со схемой {1} решения неравенств этого типа, запишем равносильную ему систему рациональных неравенств

Условие выполнено при всех x, и нет необходимости добавлять его к выписанной системе.

Ответ. .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство решается при помощи схемы {2}. В данном случае , поэтому можно сразу записать неравенство, равносильное исходному . Ответ. .

Пример 5. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство может быть решено при помощи схемы {1}. Система, равносильная исходному неравенству, имеет вид

Ответ. .

Пример 6. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство можно решать с помощью схемы {2}. Оно равносильно совокупности двух систем

Ответ. .

Пример 7. Решить неравенство .

Решение. Согласно схеме {3}, данное неравенство равносильно системе

Ответ.

Более сложно решение иррациональных неравенств вида

.

Поскольку , , то должны выполнятся условия , , (соответственно ). На множестве, где эти условия выполняются, данное неравенство равносильно неравенству .

(соответственно неравенству ), которое сводится к разобранным выше типам неравенств. [4]

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств:

Последнее неравенство этой системы приводится к виду , откуда находим, что . Решение исходного неравенства является общей частью решений всех неравенств системы, т.е. имеет вид .

Ответ. .

Для решения иррациональных неравенств, так же как и для решения иррациональных уравнений, с успехом может применяться способ подстановки или введения новой переменной.

Весьма эффективны так называемые рационализирующие подстановки. Применение рационализирующих подстановок позволяет привести функцию, иррациональную относительно исходной переменной, к рациональной функции относительно новой переменной. [17]

Пример 9. Решить неравенство .

Решение. Введем новую переменную t с помощью рационализирующей подстановки , .

Тогда и для переменной t получаем рациональное неравенство

, где .

Ответ. .

Заключение

В данной курсовой работе сделана попытка разработать методику обучения решению иррациональных уравнений и неравенств в школе.

В ходе работы были решены следующие задачи:

Проанализированы действующие учебники алгебры и начала математического анализа для выявления представленной в них методики решения иррациональных уравнений и неравенств. Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

теория методов изложена не достаточно строго;

в одном учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В остальных учебниках рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных преобразований;

очень мало материала по методам решения иррациональных неравенств;

среди предлагаемых заданий много однотипных;

Изучены стандарты образования по данной теме;

Изучена учебно-методическая литература по данной теме;

Рассмотрены ситуации, связанные с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения, показано, как их распознавать и как с ними можно бороться;

Подобраны примеры решения иррациональных уравнений и неравенств для демонстрации излагаемого теоретического материала;

Показано, что общие методы решения уравнений применимы для решения иррациональных уравнений и неравенств.

Список библиографии

1. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1993. - 254 с.

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.

3. Болтянский В.Г. Математика: лекции, задачи, решения. - Литва: Альфа, 1996. - 637 с.

4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1998. - 288 с.

5. Галицкий М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. - М.: Просвещение, 1999. - 271с.

6. Григорьев А.М. Иррациональные уравнения. // Квант, №1, 1972, с.46-49.

7. Денищева Л.О. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. - М.: Дрофа, 2004. - 120 с.

8. Егоров А. Иррациональные неравенства. // Математика. Первое сентября, №15, 2002. - с.13-14.

9. Егоров А. Иррациональные уравнения. // Математика. Первое сентября, №5, 2002. - с.9-13.

10. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

11. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

12. Мордкович А.Г. Кто-то теряет, кто-то находит. // Квант, №5, 1970, с.48-51.

13. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.

14. Кузнецова Г.М. Программа для общеобразоват. школ, гимназий, лицеев: Математика.5-11 кл. - М.: Дрофа, 2004, 320 с.

15. Потапов М. Как решать уравнения без ОДЗ. // Математика. Первое сентября, №21, 2003. - с.42-43.

16. Соболь Б.В. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену и централизованному тестированию по математике. - Ростов на Дону: Феникс, 2003. - 352 с.

17. Черкасов О.Ю. Математика: Справочник для старшеклассников и поступающих в вузы. - М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. - 576 с.

18. Шабунин М. Лекции для абитуриентов. Лекция 1. // Математика. Первое сентября, №24, 1996. - с.24.

19. Шувалова Э.З. Повторим математику. Учеб пособ. для поступающих в вузы. - М.: Высшая школа, 1974. - 519 с.