115461 (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), страница 4

.

Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ. , .

Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений

При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, - могут приобретаться или теряться решения. [17]

Обсудим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и посмотрим, как их распознать и как можно с ними бороться.

I. Пример 6. Решить уравнение .

Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью "преобразования" .

Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что .

Необходимо запомнить формулу . Уравнение теперь легко решается

.

Ответ. .

Теперь посмотрим "обратное" преобразование.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Сейчас настало время задуматься о безопасности формулы

.

Нетрудно видеть, что ее левая и правая части имеют разные области определения и что это равенство верно лишь при условии . Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Ответ. .

II. Следующее преобразование, которое должно явиться предметом заботы для каждого, кто решает иррациональные уравнения, определяется формулой

.

Если пользоваться этой формулой слева направо, расширяется ОДЗ и можно приобрести посторонние решения. Действительно, в левой части обе функции и должны быть неотрицательны; а в правой неотрицательным должно быть их произведение. [17]

Замечание. При возведении уравнения в квадрат учащиеся нередко в уравнении типа (1) из Примера 5 производят перемножение подкоренных выражений, т.е. вместо такого уравнения пишут уравнение

.

Такое "склеивание" не приводит к ошибкам, поскольку такое уравнение является следствием уравнения (1). Следует, однако, иметь в виду, что в общем случае такое перемножение подкоренных выражений дает неравносильные уравнения. Поэтому в рассмотренном выше примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения, т.е. уединить один радикал. Тогда в левой части уравнения останется один радикал, и после возведения обеих частей уравнения в квадрат в левой части уравнения получится рациональное выражение. [3]

Пример 8. Решить уравнение

.

Решение. Уединив первый радикал, получаем уравнение

,

равносильное исходному.

Возводя обе части этого уравнения в квадрат, получаем уравнение

,

равносильное уравнению

. (2)

Уравнение (2) является следствием исходного уравнения. Возводя обе части этого уравнения в квадрат, приходим к уравнению

, или .

Это уравнение является следствием уравнения (2) (а значит, и исходного уравнения) и имеет корни , .

Первый корень удовлетворяет исходному уравнения, а второй - не удовлетворяет.

Ответ. .

Рассмотрим пример, где реализуется проблема с "расклеиванием" корней, то есть использование формулы . [13]

Пример 9. Решить уравнение .

Решение. Попробуем решить это уравнение разложением на множители

.

Заметим, что при этом действии оказалось потерянным решение . Посмотрите, оно подходит к исходному уравнению и уже не подходит к полученному: не имеет смысла при . Поэтому это уравнение лучше решать обычным возведением в квадрат

Ответ. , .

Вывод. Есть два пути. Или аккуратно возводить уравнение в квадрат, или безошибочно определять, какие решения могли быть потеряны, и проверить, не случилось ли этого на самом деле.

III. Существует еще более опасное действие - сокращение на общий множитель. [17]

Пример 10. Решить уравнение .

"Решение". Сократим обе части уравнения на , получим

.

Нет ничего более опасного и неправильного, чем это действие. Во-первых, подходящее решение исходного уравнения было потеряно; во-вторых, было приобретено два посторонних решения . Получается, что новое уравнение не имеет ничего общего с исходным! Вот правильное решение.

Решение. Перенесем все члены в левую часть уравнения и разложим ее на множители

.

Это уравнение равносильно системе

которая имеет единственное решение .

Ответ. .

Применение общих методов для решения иррациональных уравнений

1. Метод разложения на множители.

Суть этого метода заключается в следующем: уравнение можно заменить совокупностью уравнений:

; ; .

Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние. Приведем пример применения метода разложения на множители при решении иррациональных уравнений. [10]

Пример 11. Решите уравнение .

Решение. Для решения таких уравнений следует пользоваться правилом расщепления:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. [17]

Первый множитель равен нулю при , но тогда второй множитель потеряет смысл, так как при он равен . Значит, решением данного уравнения быть не может.

Второй множитель равен нулю при или . Первый множитель определен для всех действительных чисел, значит, и могут быть решениями данного уравнения. Ответ. ,

2. Метод введения новой переменной.

Мощным средством решения иррациональных уравнений является метод введения новой переменной, или "метод замены". Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную. В ряде случаев удачно введенные новые неизвестные иногда позволяют получить решение быстрее и проще; иногда же без замены решить задачу вообще невозможно. [6], [17]

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. Положив , получим существенно более простое иррациональное уравнение . Возведем обе части уравнения в квадрат:

.

Далее последовательно получаем:

;

;

;

;

, .

Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение показывает, что - корень уравнения, а - посторонний корень.

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем уравнение , т.е. квадратное уравнение , решив которое находим два корня: , .

Ответ: , .

Замена особенно полезна, если в результате достигается новое качество, например, иррациональное уравнение превращается в квадратное.

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: .

Видно, что если ввести новую переменную , то уравнение примет вид , откуда , .

Теперь задача сводится к решению уравнения и уравнения . Первое из этих решений не имеет, а из второго получаем , .

Ответ. , .

Отметим, что "бездумное" применение в Примере 11 метода "уединения радикала" и возведение в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, решение которого представляет собой в общем случае чрезвычайно сложную задачу.

Пример 14. Решить уравнение

.

Введем новую переменную

, .

Исходное уравнение принимает вид

,

откуда учитывая ограничение , получаем . Тогда .

Ответ. .

Уравнения вида (здесь a, b, c, d - некоторые числа, m, n - натуральные числа, обычно не превосходящие 4) и ряд других уравнений часто удается решить при помощи введения двух вспомогательных неизвестных и последующего перехода к рациональной системе. [17]. Пример 15. Решить уравнение .

Решение. Введем новые переменные

и .

Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины a и b не являются независимыми переменными - они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через a и b

и .

Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между a и b

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных a и b

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа и . Корень посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим .

Ответ. .

Пример 16. Решить уравнение

. [6]

Решение. Возведение обеих частей этого уравнения в четвертую степень не обещает ничего хорошего. Если же положить , , то исходное уравнение переписывается так: . Поскольку мы ввели две новые неизвестные, надо найти еще одно уравнение, связывающее y и z.