115461 (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "педагогика" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "педагогика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "115461"
Текст 2 страницы из документа "115461"
Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.
В начале параграфа "Степень с рациональным показателем" помещен справочный материал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям и неравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как:
возведение обеих частей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденных корней;
переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в четную степень.
При решении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенство системой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.
В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида :
переход к равносильной системе;
введение новой переменной;
использование свойства монотонности функций.
Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117 необходимо доказать, что уравнение не имеет решения, в №№118-119 - ответить на вопрос: равносильны ли уравнения. №№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений, №№145-155 - для решения неравенств описанными выше способами.
"Алгебра и математический анализ, 11", авт.Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд [4].
Данное учебное пособие представляет собой продолжение книги "Алгебра и начала анализа" для 10 класса и предназначено как для общеобразовательной школы, так и классов и школ с углубленным изучением курса математики.
Иррациональные уравнения и неравенства изучаются в параграфе "Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства" VIII главы "Показательная, логарифмическая и степенные функции".
Пункт "Иррациональные уравнения" начинается с определения иррационального уравнения и примеров таких уравнений. Далее сформулирована и доказана теорема о равносильных уравнениях, на которой основано решение иррациональных уравнений. Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни. Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденные корни в данное уравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильном переходе от уравнений вида и к системам, состоящим из уравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравнений демонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень "уединить радикал", то есть представить уравнение в виде . Далее данный метод применяется для решения иррациональных уравнений
После данного пункта помещены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения описанными выше методами - №216. В №215 необходимо доказать, что данные иррациональные уравнения не имеют решений.
В следующем пункте "Иррациональные неравенства" сформулированы приемы решения иррациональных неравенств вида и с помощью равносильного перехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств - во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида с помощью равносильного перехода к неравенству . Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.
После данного пункта помещены упражнения для закрепления умения решать иррациональные неравенства с помощью равносильных переходов, описанных выше - №217.
Все утверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений - метод "уединения радикала". Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности
Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:
В учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В учебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольно строгий. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебниках [2] и [10].
В каждом учебнике рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных переходов к системе, состоящей из уравнения и неравенства. В учебниках [2] и [10] рассмотрены такие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод
В учебниках [1] и [13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств. В учебнике [2] материал по решению иррациональных неравенств скудный, изложение не достаточно строгое. В учебниках [4] и [10] теория по способам решения иррациональных неравенств вида , рассмотрена подробно, изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решение иррационального неравенства вида .
Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений не много, но они разнообразны.
Основные понятия, относящиеся к уравнениям
Равенство вида
, (1)
где и - некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x.
Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при и равенство является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций и и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.
Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого уравнения.
В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым (с точки зрения нахождения корней).
Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: нельзя выполнять преобразования, которые могут привести к потере корней.
Назовем преобразование уравнения (1) допустимым, если при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение
, (2)
которое либо имеет те же корни, что и уравнение (1), либо, кроме всех корней уравнения (1), имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения (1), посторонний для уравнения (1) корень. В связи с этим используют следующие понятия.
Уравнение (2) называется следствием уравнения (1), если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2).
Уравнения (1) и (2) называются равносильными (эквивалентными), если каждое из этих уравнений является следствием другого. Иными словами, уравнения (1) и (2) равносильны, если каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2) и наоборот, каждый корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными.
Если уравнения (1) и (2) равносильны, то пишут или (1) (2), а если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то пишут или (1) (2).
Отметим, что если исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным ему следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной.
Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна (не следует путать проверку с контролем вычислений).
Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений , (3) если выполнены следующие условия: каждый корень уравнения (1) является корнем, по крайней мере, одного из уравнений (3); любой корень каждого из уравнений (3) является корнем уравнении я (1).
Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения (1) является объединением множеств корней уравнений (3).
Если уравнение записано в виде
, (4)
то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений
(5)
Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений (5) есть корень уравнения (4).
Например, если , то - корень уравнения , но число 3 не является корнем уравнения (4), так как функция не определена при .
Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5).
Чтобы решить уравнение (4), достаточно найти корни уравнений и , а затем отбросить те, которые не входят в ОДЗ уравнения (4), то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции и .