115461 (Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики), страница 3

В ОДЗ уравнения (4) это уравнение равносильно совокупности уравнений (5).

Справедливо более общее утверждение: если функция определена при всех x таких, что , а функция определена при всех x таких, что , то уравнение (4) равносильно совокупности уравнений (5). [18]

Наиболее важные приемы преобразования уравнений

Все преобразования уравнений можно разделить на два типа:

равносильные, то есть преобразования, после применения любых из которых получится уравнение, равносильное исходному.

Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней. [15]

Рассмотрим некоторые преобразования уравнений и выясним, к каким типам они относятся.

Перенос членов уравнения из одной части в другую, то есть переход от уравнения

(1)

к уравнению

. (2)

Указанное преобразование приводит к равносильному уравнению, то есть (1) (2).

В частности, .

Заметим, что здесь речь идет только о переносе членов уравнения из одной его части в другую без последующего приведения подобных членов (если таковые имеются). [18]

Приведение подобных членов, то есть переход от уравнения

(3)

к уравнению

. (4)

Справедливо следующее утверждение: для любых функций , , уравнение (4) является следствием уравнения (3), то есть (3) (4).

Переход от уравнения (3) к уравнению (4) является допустимым преобразованием, при котором потеря корней не возможна, но могут появиться посторонние корни.

Таким образом, при приведении подобных членов, а также при отбрасывании одинаковых слагаемых в левой и правой частях уравнения получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения. [18]

Например, если в уравнении

вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение

,

являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое - единственный корень .

Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.

Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению

. (5)

Справедливы следующие утверждения:

если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием уравнения (4);

если функция определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны. [18]

Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: это может привести к потере корней.

При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением

,

затем находят все корни уравнений

и

и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению (5).]

Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения

(6)

к уравнению

. (7)

Справедливы следующие утверждения:

при любом уравнение (7) является следствием уравнения (6);

если (n - нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;

если (n - четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению

, (8)

а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений

. (9)

В частности, уравнение

(10)

равносильно совокупности уравнений (9). [18]

Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.

Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

Применение формулы при является равносильным преобразованием, при - неравносильным. [15], [18]

Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.

Методика решения иррациональных уравнений

В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:

Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:

Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.

Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее "освобождение" от радикалов по формуле . [6]

Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному. [6]

При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.

Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-то промежуточные.

Рассмотрим применение данного метода решения иррациональных уравнений. [7]

Пример 1. Решите уравнение .

Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что или .

Проверка. : . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.

: . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.

Ответ. .

Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни - "хорошие" числа, а для "громоздких" корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен уметь решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17] Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе

Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки. [17]

Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство . Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие автоматически выполняется для корней уравнения , в правой части которого стоит неотрицательное выражение. [9]

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и .

Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.

Ответ. .

При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень "уединить радикал", то есть представить уравнение в виде .

Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет. [4]

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, получим корни и , но условие выполняется только для .

Ответ. .

Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений . Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни области определения исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще. [9]

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и .

Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

Теперь можно перейти к решению иррациональных уравнений, не относящихся к простейшим.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на .

В результате получим уравнение

, (1)

являющееся следствием исходного.

Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение

,

которое приводится к виду