86407 (Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам), страница 5

По лемме группа не обладает неединичной нормальной -подгруппой, и последующие члены её верхнего -ряда представляют собой фактор группы по соответствующих членов верхнего -ряда группы .

Теорема 2.13. Для любой -разрешимой группы

(I)

(II)

Мы можем использовать индукцию по порядку группы и предположить, что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой . Очевидно, мы можем также предположить, что , откуда последствию из леммы 2.11 , а, следовотельно, , и - элементарная абелева -группа. Теперь, полагая , мы получим, что , так что по предположению индукции заключаем, что . Если - группа порядка , то порядок её группы автоморфизмов равен

так что . Согласно лемме 2.11, группа изоморфна некоторой подгруппе группы , так что , откуда . Таким образом,

что и требовалось.

С другой стороны согласно следствию 1 леммы 2.7, содержит центр силовской -подгруппы группы , так что . Так как , то индукция для (II) проводится сразу.

Неравенства, полученные сдесь, отнюдь не являются наилучшими. Для нечетных их значительно можно усилить. Однако при теорему 2.13 улучшить нельзя.

Последнюю теорему можно применить для короткого доказательства утверждений и .

3 ГРУППА С НИЛЬПОТЕНТНЫМИ ДОБАВЛЕНИЯМИ К ПОДГРУППАМ

В настоящем главе описаны неразрешимые конечные группы с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. К этому классу групп относятся, в частности, и конечные группы с примарными индексами несверхразрешимых групп. Доказывается

Теорема 3.1. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Следствие 3.2. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна или , где - -группа, либо , где - -группа.

Отметим, что конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса изучены С. С. Левищенко [13]. Среди них нет неразрешимых групп.

Рассматриваются только конечные группы. Все встречающиеся обозначения и определения стандартны, их можно найти в [2,14].

Нам понадобится следующая

Лемма 3.3. Пусть в конечной группе каждая несверхразрешимая группа обладает нильпотентным добавлением. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы каждая несверхразрешимая подгруппа обладает нильпотентным добавлением.

Proof. Пусть - произвольная подгруппа конечной группы , и пусть - несверхразрешимая подгруппа из . В группе существует нильпотентное добавление к подгруппе . Поэтому , а . Теперь - нильпотентна, и к vможно взять нильпотентное добавление в подгруппе .

Пусть - нормальная в подгруппа, и - несверхразрешимая в подгруппа. Тогда несверхразрешима, и существует нильпотентная подгруппа такая, что . Теперь нильпотентна и , т. е. к подгруппе можно найти в нильпотентное добавление.

Докажем теорему.

Пример. Путь - конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам. Так как не -нильпотентна, то в существует -замкнутая подгруппа Шмидта , где - нормальная в силовская 2-подгруппа, подгруппа - циклическая [14,c. 434]. Поскольку не является сверхразрешимой, то существует нильпотентная подгруппа такая, что . С учётом чётности порядка из теоремы 2.8 [15] заключаем, что фактор-группа изоморфна или , где - некоторое простое число, а - наибольшая разрешимая нормальная в подгруппа. Кроме того,

а

Здесь и - 'элементарная абелева и циклическая подгруппы порядка . Из теоремы 2.10 [15] получаем, что - простое число.

В случае, когда и - простые числа в простой группе , каждая несверхразрешимая подгруппа изоморфна группе . Последняя подгруппа имеет в циклическое дополнение . Поэтому группа в случае, когда и - простые числа, удовлетворяет условию теоремы.

Проверим, что группа не удовлетворяют условию теоремы. Пусть

Известно, что - нормальная в подгруппа, а - циклическая группа порядка . Для силовской -подгруппы из имеем

Теперь

Поскольку и - простые числа, то в существует подгруппа порядка . Для подгруппа -замкнута, и внешний автоморфизм не централизует силовскую -подгруппу, поэтому несверхразрешима. Так как в нет нильпотентной подгруппы порядка , то не удовлетворяет условию теоремы при . Если , то в для подгруппы Шмидта, изоморфной знакопеременной группе степени , должна найтись нильпотентная подгруппа порядка, делящегося на . Но такой нильпотентной подгруппы в нет.

Итак, если , то изоморфна , где и - простые числа.

Пусть теперь . Предположим, что не является минимальной нормальной в подгруппой, и пусть - минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в . По индукции, , где - нильпотентна, а изоморфна или . Так как , то - собственная в подгруппа, и для её прообраза в группе по индукции получаем, что , где или . Подгруппа характеристична в , а нормальна в , поэтому нормальна в . Так как

то

Поскольку для несверхразрешимой подгруппы из существует нильпотентная подгруппа такая, что , то

будет нильпотентной подгруппой.

Теперь рассмотрим случай, когда - минимальная нормальная в подгруппа. Предположим, что коммутант - собственная в подгруппа. Так как

то

Из минимальности получаем, что

Так как

где и - простые числа, то в этом случае теорема доказана.

Итак, пусть . Если - собственная подгруппа в своём централизаторе, то из простоты следует, что содержится в центре . Теперь группа изоморфна или по теореме VI.25.7 [14].

Пусть самоцентрализуема. Поскольку разрешима, то - -группа для некоторого простого . Допусти, что существует простое , делящее порядок , и пусть - силовская -подгруппа из . Если подгруппа сверхразрешима, то нильпотентна и не самоцентрализуема. Если не сверхразрешима, то по условию теоремы существует нильпотентная подгруппа такая, что . Но теперь

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп, противоречие. Итак, - наибольшее простое число, делящее порядок .

Допустим, что не содержится в . Тогда - собственная в подгруппа и . Так как , и - -группа, то - группа нечётного порядка. Подгруппа имеет порядок и - простое число. Поэтому и теперь , а фактор-группа

будет разрешимой как произведение двух нильпотентных подгрупп. Противоречие.

Следовательно, содержится в и из самоцентрализуемости и нильпотентности получаем, что - -группа для наибольшего простого , делящего порядок . Из теоремы 2.1 [15] получаем, что , а . Но теперь - подгруппа непримарного индекса. Поэтому она сверхразрешима, а так как её порядок равен , то нильпотентна, и опять не самоцентрализуема. Противоречие.

Теорема доказана полностью.

Рассмотрим доказательство следствия.

Proof. Пусть - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Если - несверхразрешимая в подгруппа, то , где - простое число. Теперь для силовской -подгруппы из , т. е. группа удовлетворяет условию теоремы. Поэтому

или

где - нильпотентная группа. Если

то в имеется несверхразрешимая подгруппа индекса . Так как этот индекс должен быть примарен, то или , поэтому или , а - либо -группа, либо -группа. Если

то в имеется несверхразрешимая подгруппа Шмидта порядка , а её индекс равен и должен быть примарен, т. е. должна быть -группой. Следствие доказано.

4 ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Лемма 4.1. Пусть . Тогда:

(1) если , , то ;

(2) если , , то .

Следствие 4.2. Если нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 4.3. Пусть , и . Если нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр неединичной нильпотентной группы отличен от единицы и .

(2) В нильпотентной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.

(3) В нильпотентной группе пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы и .

Лемма 4.5. Пусть - нормальная подгруппа группы . Тогда:

(1) если , то и ;

(2) если , то и ;

(3) ;

(4) .

Теорема 4.6. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда её коммутант содержится в подгруппе Фраттини.

Теорема 4.7. Пусть . Тогда:

(1) ;

(2) ;

(3) если , то ;

(4) если и , то .

Лемма 4.8. Тогда и только тогда подгруппа является добавлением к нормальной подгруппе в группе , когда и .

Следствие 4.9. (1) Если - главный фактор конечной группы , то и

(2) Если - главный фактор порядка конечной группы , то - циклическая группа порядка, делящего .

Теорема 4.10. (1) Если существует натуральное число такое, что , то группа нильпотентна.

(2) Ступень нильпотентности нильпотентной группы есть наименьшее натуральное число , для которого

Лемма 4.11. Пусть . Тогда: