86407 (Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам), страница 2

Работа состоит из трех глав.

В первой главе "Подгруппа Фиттинга и ее свойства" изучены свойства подгруппы Фиттинга.

Определение. Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через .

Определение. Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы обозначают через .

На основе подгруппы Фиттинга вводится следующая

Теорема А. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.

Также рассматривается доказательство теоремы К. Дёрка.

Теорема B. Если - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .

Доказана теорема Монахова В.С.

Определение. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой, если не содержится ни в какой другой подгруппе, отличной от .

Определение. Подгруппой Фраттини группы называется пересечение всех ее максимальных подгрупп. Подгруппа Фраттини группы обозначается через .

Теорема C. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Во второй главе " -длина -разрешимой группы" даны следующие определения.

Определение. Пусть - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа является либо -группой, либо -группой.

Определение. Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда

Доказывается

Теорема D. Если - -разрешимая группа, где - нечетное простое число, то

(i)

(ii) если не является простым числом Ферма, и , если - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.

В главе "Группа с нильпотентными добавлениями к подгруппам" доказана важная теорема.

Определение. Группа называется -сверхразрешимой, если ее главные факторы либо -группы, либо имеют простые порядки. -Сверхразрешимой называют группу, у которой факторы главного ряда либо имеют порядок , либо являются -группами. Группа, у которой все факторы главного ряда имеют простые порядки, называется сверхразрешимой.

Теорема E. Конечная неразрешимая группа с нильпотентными добавлениями к несверхразрешимым подгруппам изоморфна или , где - нильпотентная группа, а и - простые числа.

Также доказано следствие из этой теоремы.

Следствие. Конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна или , где - -группа, либо , где - -группа.

1 ПОДГРУППА ФИТТИНГА И ЕЁ СВОЙСТВА

Произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы называют подгруппой Фиттинга группы и обозначают через . Множество простых делителей порядка группы обозначается через а наибольшую нормальную -подгруппу группы - через .

Лемма 1.1. (1) - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы ;

(2) ;

(3) .

Proof. (1) Пусть и - нильпотентные нормальные подгруппы группы и пусть и - силовские -подгруппы из и . Так как , а , то по лемме 4.1, с. 35. Аналогично, , поэтому . Ясно, - -группа. Покажем, что она силовская в . Для этого вычислим ее индекс:

Так как числитель не делится на , то - силовская -подгруппа группы . Итак, произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп есть нормальная нильпотентная подгруппа. Поэтому - наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы .

(2) Ясно, что для всех , поэтому

Обратно, если - силовская -подгруппа группы , то и нормальна в , поэтому и

(3) Если , то и нильпотентна, поэтому по (1) и .

Лемма 1.2. (1) ; если разрешима и , то ;

(2)

(3) если , то ; если, кроме того, абелева, то

Proof. (1) Поскольку подгруппа Фраттини - нильпотентная нормальная подгруппа группы , то . Пусть - разрешимая неединичная группа. Тогда разрешима и неединична. Пусть

Так как - -группа для некоторого простого , то по следствию 4.2, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Следовательно, .

(2) Если , то - нильпотентная нормальная в подгруппа по теореме 4.3, с. 35, поэтому и

Обратное включение следует из определения подгруппы Фиттинга.

(3) Для минимальной нормальной подгруппы либо , либо . Если , то

Если , то - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как , то . С другой стороны, по теореме 4.4, с. 35, поэтому .

Теорема 1.3. для любого . В частности, если разрешима, то

Proof. Пусть , . Так как по лемме 4.5, с. 35, то . Предположим, что для некоторого и пусть

Ясно, что и Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как

-группа, то , а поскольку , то и . Теперь, - нильпотентная нормальная подгруппа группы и . Таким образом, и первое утверждение доказано. Если разрешима, то разрешима, поэтому и .

Говорят, что подгруппа группы дополняема в , если существует такая подгруппа , что и . В этом случае подгруппу называют дополнением к подгруппе в группе

Теорема 1.4. Если - нильпотентная нормальная подгруппа группы и , то дополняема в .

Proof. По условию а по теореме 4.6, с. 35, коммутант . По теореме 4.7, с. 35, подгруппа Фраттини а по условию Поэтому и абелева. Пусть - добавление к в . По лемме 4.8, с. 35, Поскольку и то и по теореме 4.7, с. 35,

Следовательно, и - дополнение к в .

Теорема 1.5. Факторгруппа есть прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы .

Proof. Предположим вначале, что и обозначим через подгруппу Фиттинга По теореме 4.6 коммутант Но значит по теореме 4.7, с. 35. Поэтому и абелева. Пусть - прямое произведение абелевых минимальных нормальных подгрупп группы наибольшего порядка. Тогда и по теореме 1.4 существует подгруппа такая, что По тождеству Дедекинда Но абелева, поэтому а так как , то По выбору пересечение и

Пусть теперь и По лемме 1.2(2) Так как то для утверждение уже доказано.

Следствие 1.6. В разрешимой группе с единичной подгруппой Фраттини подгруппа Фиттинга есть прямое произведение минимальных нормальных подгрупп.

Теорема 1.7. Подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением централизаторов главных факторов группы.

Proof. Пусть

По следствию 4.9, с. 35, подгруппа нормальна в . Если

главный ряд группы , то

нормальный ряд группы . Так как подгруппа содержится в каждой подгруппе , то

для . По теореме 4.10, с. 35, подгруппа нильпотентна, поэтому .

Проверим обратное включение. Пусть - главный фактор группы . Так как

то по лемме 4.11, с. 35, либо

либо

В первом случае , поэтому

Во втором случае из нильпотентности подгруппы по лемме 1.2 получаем, что

Снова . Таким образом, и .

Лемма 1.8. .

Proof. Пусть . Ясно, что и . Так как

то и изоморфна нормальной нильпотентной подгруппе группы . Поэтому

и .

Пусть - группа и пусть

Ясно, что

В разрешимой неединичной группе подгруппа Фиттинга отлична от единичной подгруппы по лемме 1.2. Поэтому для разрешимой группы существует натуральное такое, что .

Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее , для которого . Нильпотентную длину разрешимой группы обозначают через . Таким образом, если группа разрешима и , то

где

Поэтому построенный ряд нормальный и его факторы нильпотентны.

Ясно, что тогда и только тогда, когда группа нильпотентна.

Пример 1.9. .

Непосредсвенно из определения нильпотентной длины вытекает