86407 (Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам), страница 3

Лемма 1.10. Пусть - разрешимая группа. Тогда:

(1) ;

(2) .

Лемма 1.11. (1) Если - разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы с нильпотентными факторами не меньше, чем .

(2) Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.

Proof. (1) Применим индукцию по порядку группы . Пусть

нормальный ряд группы с нильпотентными факторами. Так как - нормальная нильпотентная подгруппа группы , то и . Здесь . Факторгруппа имеет порядок меньше, чем порядок группы и обладает рядом

где . Ясно, что это нормальный ряд, его длина и его факторы

нильпотентны. По индукции и .

(2) следует из (1).

Лемма 1.12. Пусть - разрешимая группа. Тогда:

(1) если , то ;

(2) если , то ;

(3) если и , то

в частности, если и - разрешимые группы,то

(4) .

Proof. Пусть и . Тогда

(1) Пусть . Тогда ряд

будет нормальным рядом подгруппы с нильпотентными факторами

По лемме 1.11 .

(2) Пусть и . Тогда ряд

будет нормальным рядом группы с нильпотентными факторами

По лемме 1.10 .

(3) Ясно, что . Обозначим . Тогда по лемме 1.10, а по индукции

Поэтому . Так как по (1), то имеем

(4) Положим . По лемме 1.2 для неединичной разрешимой группы имеем и

Поэтому .

Следующая теорема принадлежит К. Дёрку.

Теорема 1.13. Если - максимальная подгруппа разрешимой группы , то , где .

Пример. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть - минимальная нормальная подгруппа группы . Если , то и , где . Поэтому можно предположить, что все минимальные нормальные подгруппы группы содержатся в . Если группа содержит две различные минимальные нормальные подгруппы, то и по индукции

Поскольку

то теорема справедлива. Следовательно, можно считать, что группа содержит в точности одну минимальную нормальную подгруппу. Если , то по лемме 1.12 и опять

Поскольку

то опять теорема справедлива.

Итак, можно считать, что и по следствию 1.6. По индукции

Если , то утверждение справедливо. Пусть , т.е. . Считаем, что - -группа. Тогда - -группа. Пусть . Если , то и , поэтому

и теорема справедлива.

Остается случай, когда . Так как - -подгруппа, то

причем - -группа. Противоречие.

Пример 1.14.

Все три значения в теореме 1.13 имеют место. Значение выполняется на любой нильпотентной неединичной группе. Значение выполняется на группе с максимальной подгруппой . Значение выполняется на группе , у которой силовская -подгруппа максимальна.

Если факторгруппа нильпотентна, то группу называют метанильпотентной.

Теорема 1.15. (1) В разрешимой неединичной группе подгруппа Фраттини совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

(2) В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Обозначим через пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы и характеристические в группе и

(1) В факторгруппе подгруппа Фиттинга

по лемме 1.2, поэтому

Предположим, что и пусть - минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа нормальна в группе и факторгруппа нильпотентна, то по теореме 4.3, с. 35, подгруппа нильпотентна и . Но теперь

противоречие. Поэтому допущение неверно и , т.е. .

(2) Пусть - разрешимая ненильпотентная группа. Ясно, что и

Поэтому подгруппа метанильпотентна.

Пример 1.16. В неразрешимой группе центр, подгруппа Фраттини и подгруппа Фиттинга совпадают и имеют порядок . Поэтому в группе нет максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

Следовательно, утверждение (1) теоремы 1.15 в неразрешимых группах нарушается.

2 -ДЛИНА -РАЗРЕШИМОЙ ГРУППЫ

Пусть - простое число. Назовем группу -группой, если ее порядок не делится на и, как обычно, -группой, если её порядок равен степени числа . Конечную группу будем называть -разрешимой, если каждый из её композиционных факторов является либо -группой, либо -группой. Таким образом, группа разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она -разрешима для всех простых . Ясно, что группа -разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа является либо -группой, либо -группой. Поэтому для такой группы мы можем индуктивно определить верхний -ряд.

потребовав, чтобы была наибольшей нормальной -подгруппой в , а - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Наименьшее целое число , для которого , мы назовем -длинной группы и обозначим его , или, если необходимо, .

-длину -разрешимой группы можно также определить как наименьшее число -факторов, встречающихся в каком либо ряде вида (2.1), поскольку минимум достигается для верхнего -ряда (2.2). Подгруппы и , очевидно, характеристичны в , и содержит все нормальные подгруппы группы с -длинной, не превосходящей числа . Заметим также, что

для

Подгруппы и факторгруппы -разрешимой группы также -разрешимы, и их длина не превышает . Если группы и обе -разрешимы, то таково же их прямое произведение и

Пусть - -разрешимая группа и - ее силовская -подгруппа. Разумно предположить, что чем больше -длинна группы , тем большей должна быть сложность силовской подгруппы . Придадим точный смысл этому утверждению и докажем его несколькими способами, избирая различные критерии сложности . Наиболее естественные из этих критериев, силовские -инварианты группы , таковы:

(i) где - порядок ,

(ii) - класс нильпотентности , т.е. длина (верхнего или) нижнего центрального ряда ,

(iii) - длина ряда коммутантов ,

(iv) где - экспонента , т.е.

наибольший из порядков элементов . Экспонента самой группы , т.е. наименьшее общее кратное порядков ее элементов, равна поэтому . Очевидно, равенство нулю любого из инвариантов или равносильно тому, что является -группой.

В основных теоремах ограничимся случаем нечетных простых чисел , и даже тогда результаты будут несколько различнми, в зависимости от того, является ли простым числом Ферма вида или нет.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1. Если - -разрешимая группа, где - нечетное простое число, то

(i)

(ii) если не является простым числом Ферма, и , если - простое число Ферма. Кроме того, эти оценки нельзя улучшить.

Мы установим также неравенства, связывающие c и с , но здесь наши результаты будут неулучшаемы только для простых чисел, не являющихся простыми числами Ферма. Все эти результаты тривиальны для , и мы докажем их индукцией по . Предположим, что и что , как всегда обладает верхним -рядом (2.2). Пусть подгруппа Фраттини -группы . Всякий элемент группы индуцирует внутренний автоморфизм группы и, следовательно, группы . Но, как извесно, является элементарной абелевой -группой; поэтому ее можно отождествить с аддитивной группой векторного пространства над простым полем характеристики , а ее автоморфизм - с линейными преобразованиями этого пространства. Автоморфизмы группы , индуцированные элементами , образуют поэтому линейную группу над полем характеристики . Эта группа, очевидно, является гомоморфным образом группы , и мы покажем, что в действительности она изоморфна группе , и поэтому является -разрешимой группой, не содержащей нормальной подгруппы, отличной от единицы.

Теорема 2.2. Пусть - разрешимая линейная группа над полем характеристики , не содержащая неединичную нормальную -подгруппу. Пусть - элемент порядка в . Тогда минимальное уравнение для имеет вид .

Число удовлетворяет следующему условию. Пусть наименьшее целое число (если оно существует), для которого является степенью простого числа со свойством . Если не существует, то ; в противном случае

Этот результат, дополненный более детальными сведениями об элементах , для которых , будет ключом к доказательству теоремы А. Надо заметить, что неравенство может выполняться только тогда, когда или когда - простое число Ферма. Теорема В и подобные ей теоремы доказываются в основном прямым определением наименьшей группы, удовлетворяющей этим условиям, и прямым вычислением. При этом играет важную роль следующая теорема, интересная сама по себе.