86407 (Нильпотентная длина конечных групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам), страница 4

Теорема 2.3. Пусть - некоторая -группа, на которую действует -группа , причем некоторый элемент группы действует нетривиально на , но тривиально на каждую истинную -инвариантную подгруппу группы . Тогда существует такое простое число , что является либо элементарной абелевой -группой, либо -группой класса нильпотентности 2, у которой центр и коммутант совпадают, факторгруппа по коммутанту - элементарная абелева группа и представление на неприводимо.

Следует отметить, что если - разрешимая группа, то ограничитель влечет ограниченность длины ряда коммутантов группы .

Пусть означает следующее утверждение:

: для каждого положительного целого числа существует такое целое число , что всякая разрешимая группа экспоненты , порождаемая элементами, имеет порядок не больше .

Теорема 2.4. истинно, если истинно для всех степеней простых чисел , делящих .

В частности, так как известно, что , и истинны, то истинны и . В этих случаях, как и всегда, когда делится только на два простых числа, мы можем слово "разрешимая" заменить в формулировке словом "конечная". Если - число, свободное от квадратов, мы даже можем вычислить , когда извесны для всех простых , делящих , и всех . Так, порядок наибольшей конечной -порожденной группы экспоненты 6 дается формулой

где и

Пусть требуется доказать индукцией по порядку группы неравенство

Здесь и - числовые инварианты, определеннные для некоторого класса конечных групп, который мы предпологаем замкнутым. Мы предпологаем, что (2.3) выполняется для достаточно малых , следовательно и для , и, кроме того, что:

(I) если - подгруппа , то ;

(II) ;

(III) если - факторгруппа , то .

Тогда справедлива

Лемма 2.5. В доказательстве неравенства (2.3) индукцией по порядку группы можно предположить, что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой.

В самом деле, если обладает двумя минимальными нормальными подгруппами и , мы получим, что , так что изоморфна подгруппе прямого произведения . Т.к. - инвариант, имеющий одинаковые значения для изоморфных групп, последние (I) и (II) дают

В силу предположения индукции и в силу условия (III) . Таким образом, , и точно также , так что , что и требовалось.

Заметим, что все силовские -инварианты, упомянутые раньше, кроме , заведамо удовлетворяют условиям (I), (II) и (III). То же верно и для инварианта разрешимой группы и инварианта -разрешимой группы; удовлетворяет условию (III). Таким образом, если удовлетворяет условиям (I) и (II), то этим же условиям удовлетворяет любая неубывающая функция , а если удовлетворяют условию (III), то этому же условию удовлетворяет любая функция , не убывающая по любому из аргументов. Так как все наши неравенства тривиальны для достаточно малых групп , то легко видеть, что утверждение последней леммы можно применять каждый раз, когда это необходимо.

Теорема 2.6. Если - разрешимая группа, то .

Доказывая теорему индукцией по порядку , можно предположить, что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Так как разрешима, эта подгруппа будет -группой для некоторого простого числа . Тогда в верхнем -ряде (2.2) группы подгруппа . Отсюда

Но и -1, в то время как при инварианты и имеют одинаковые значения для и .

Пусть предложение индукции, применённое к группе , даёт

Отсюда следует теорема.

Нам понадобиться далее важное свойство верхнего -ряда -разрешимой группы, которое удобно вывести в немного более общем контексте. Пусть - некоторое множество простых чисел, а - дополнительное к множество. -группа - это конечная группа, порядок которой делится только на простые числа, входящие в . Конечная группа -разрешима, если каждый её композиционный фактор является либо -группой, либо -группой. Такая группа обладает верхним -рядом, для которого мы используем те же обозначения, что и в случае, когда содержит одно простое число . Таким образом, мы пишем

для ряда нормальных подгрупп, требуя, чтобы факторгруппа была наибольшей нормальной -подгруппой в , а факторгруппа - наибольшей нормальной -подгруппой в .

Лемма 2.7. Если -разрешимая группа не содержит неединичную -подгруппу, так что , то группа содержит свой централизатор в группе .

Пусть - централизатор группы . Если лемма не верна и , то мы можем выбрать нормальную подгруппу группы , такую, что и минимальную при этом условии. Так как группа -разрешима, факторгруппа оказывается или -группой, или -группой, а по определению группы она не может быть -группой. Следовательно, факторгруппа есть -группа и порядки групп и взаимно просты. По теореме Шура, группа обладает дополнением в группе . Так как , трансформирование группы элементом из индуцирует ее внутренний автоморфизм, а т.к. порядки и взаимно просты, этот автоморфизм может быть только тождественным. Тогда - прямое произведение и . Поэтому является характеристической подгруппой в , а следовательно, нормальной подгруппой в , в потиворечие с предположением, что . Это противоречие доказывает лемму. Заметим, что предположение на самом деле излишне, так как в общем случае мы можем применить лемму к факторгруппе .

Следствие 2.8. Пусть - некоторая подгруппа , индекс которой не делится ни на какое простое число из , тогда центр группы содержится в центре группы .

Действительно, подгруппа должна содержать нормальную -подгруппу группы .

Следствие 2.9. Пусть - некоторая подгруппа группы , содержащая , тогда не обладает неединичной нормальной -подгруппой.

Действительно, нормальная -подгруппа группы должна содержаться в центролизаторе группы .

Под -подгруппой конечной группы мы подразумеваем такую подгруппу, порядок и индекс которой взаимно просты. Если группа разрешима и ее порядок равен , где , то группа обладает -подгруппами порядка и любые две из них сопряжены, а поэтому изоморфны.

Теорема 2.10. Если - разрешимая группа порядка , где при , и если подгруппа группы порядка имеет класс нильпотентности то

В частности, для любой конечной разрешимой группы . -подгруппа некоторой факторгруппы , порядок которой делит , имеет класс нильпотентности, не превышающий , так что мы можем применить утверждение леммы 2.5 и получить результат индукцией по порядку группы , допустив что обладает только одной минимальной нормальной подгруппой. Это будет -группа для некоторого простого числа , и мы можем поэтому предполодить, что ее порядок делит . Тогда, если мы возьмем в качестве множество простых долителей числа , окажется выполненной предпосылка леммы 2.5. Если - наибольшая нормальная -подгруппа группы и - ее центр, то по следствию леммы 2.5 содержит центр -подгруппы группы , имеющей порядок . Порядок -подгруппы группы делит , поэтому класс нильпотентности ее не более . Для -подгруппы групп и порядка изоморфны, так что в силу предположения индукции, примененной к , получим

Так как , то доказательство по индукции проведено.

Прежде чем применять лемму 2.5 к доказательству неравенства для , удобно уточнить её для случая, при котором состоит из одного простого числа . Пусть есть -разрешимая группа с верхним -рядом (2.2) . Тогда лемма 2.5, применённая к группе , показывает, что если - элемент группы , не входящий в , то трансформирование элементом индуцирует в нетождественный автоморфизм. Необходимое уточнение состоит в замене группы группой , где - подгруппа Фраттини группы . Теперь - -группа, и таким образом - элементарная абелева -группа. Ясно поэтому, что автоморфизм группы , индуцированный группы , тождественный. Таким образом, множество элементов группы , которое тождественно трансформирует , является нормальной подгруппой группы , такой, что . По определению фактор группа не может быть -группой, отличной от 1, так что если , то группа должна содержать элемент , не входящий в и порядка, взаимно простого . Тогда индуцирует автоморфизм группы порядка, взаимно простого с . Но автоморфизм -группы, тождественоой по модулю подгруппе Фраттини, имеет порядок, равный степени числа . Таким образом, индуцирует в нетождественный автоморфизм, что противоречит определению группы . Значит, , что и требовалось. Таким образом:

Лемма 2.11. Если есть -разрешимая группа с верхним -рядом (2.2) и если - подгруппа Фраттини группы , то автоморфизмы группы , которые индуцированы трансформированиями элементами группы , представляют точно.

Следствие 2.12. .