85495 (Алгебра октав)

Оглавление

Введение

§1.Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

§2. Дополнительные сведения об октавах

2.1 Действия над октавами

2.2 Сопряженные октавы и их свойства

2.3.Некоторые тождества для октав

§3. Теорема Гурвица

3.1 Нормированные линейные алгебры

3.2 Теорема Гурвица

§4. Обобщенная теорема Фробениуса

Список литературы

Введение

Одному известному английскому философу-материалисту Д. Гартли принадлежало высказывание- "Поскольку слова могут быть сравнены с буквами, употребляемыми в алгебре, сам язык можно назвать одним из видов алгебры, и наоборот, алгебра есть не что иное, как язык, который особым образом приспособлен к объяснению величин всех родов… И вот, если все относящееся к языку имеет что-либо аналогичное в алгебре, то можно надеяться объяснить трудности, возникающие в теории языка, при посредстве соответствующих конкретных положений алгебры, в которой все ясно и признано всеми, кто сделал ее предметом своего изучения".

Предметом моего изучения является один из разделов не ассоциативной алгебры - алгебра октав.

Цель данной исследовательской работы- выявить сущность алгебры октав, а так же выявить, каким образом производятся действия над упорядоченной восьмеркой чисел, т.е. над (1, i, j, k, E, I, J, K).Не ассоциативные алгебры в настоящее время покрыты мифами экзотики. На самом деле ничего особенного, кроме потери ассоциативности, в них нет. Впрочем, эта потеря существенна. Если можно выразиться образно, то в космосе алгебр за ассоциативными уже ничего "живого" нет. Среди не ассоциативных алгебр наиболее известной является простейшая из них - алгебра октав. Или, иначе, четвертая алгебра Фробениуса, она же алгебра Кэли-Диксона.

Рассмотрим алгебраическое определение октавы.

Октавой - называется число гиперкомплексной алгебры, полученной некоммутативным удвоением по Кэли алгебры кватернионов:

Здесь обозначены:

O - октава,

Q - кватернионы,

E - мнимая единица. .

Октавы во многих случаях уместно рассматривать как существенное расширение кватернионов. Так же как и кватернионы, октавы не имеют делителей нуля, и квадрат модуля так же выражается простой квадратичной формой. Для них, так же как и для кватернионов, можно определить условное скалярное произведение. Которое и использовалось Фробениусом.

Объектом данной дипломной работы являются гиперкомплексные числа.

Для октав, как и для других гиперкомплексных чисел, определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Операции сложения и вычитания определены покомпонентно. Умножение октав определено таблицей произведения их мнимых единиц. Для выполнения деления производится замена операции деления на операцию умножения.

При использовании гиперкомплексных чисел и их исследовании часто встречается операция сопряжения.

Для октав определены две операции сопряжения - алгебраическое и векторное. Два других сопряжения - дуальное и скалярное не применимы в силу отсутствия в строении октав скалярной и дуальной мнимых единиц. При этом векторное и алгебраическое сопряжения совпадают. Октава, сопряженная заданной, образуется сменой знаков у компонент при всех мнимых единицах. Или, если ,обозначить октаву покомпонентно как

,

то сопряженная ей октава будет иметь вид:

.

§1. Система аксиом алгебры октав, ее непротиворечивость и категоричность

Определение. Алгеброй октав называется алгебра , если:

I. Алгебра - альтернативная линейная алгебра;

II. Тело кватернионов есть подтело алгебры ;

III. е² = -1 и е ≠ i, е ≠ j, е ≠ k;

IV.Всякая подалгебра альтернативной линейной алгебры , содержащая тело кватернионов и элемент е, совпадает с алгеброй .

1.1 Непротиворечивость системы аксиом алгебры октав

Теорема 1. Система аксиом алгебры октав непротиворечива. Для доказательства непротиворечивости сформулированной выше системы аксиом построим следующую модель. Составим декартово произведение K x K = {(u,v)|u K v K}, где К - множество кватернионов. По определению, (u₁;v₁) = (u₂;v₂) u₁ = u₂ v₁ = v_2.

Во множестве К х K определим операции сложения и умножения по правилам:

(u₁;v₁) + (u₂;v₂) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂);

(u₁;v₁) * (u₂;v₂) = (u₁u₂ - v₂v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂)_.

Перейдем к проверке выполнения аксиом на построенной модели. Покажем, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра.

Сначала покажем, что (К x К, +) есть абелева группа.

1) ((u₁;v₁) + (u₂;v₂)) + (u₃;v₃) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂) + (u₃; v₃) = ((u₁ + u₂) + u₃; (v₁ + v₂) + v₃) = (u₁ +( u₂ + u₃); v₁ + (v₂ + v₃)) = ((u₁; v₁) + (u₂+ u₃; v₂+ v₃) = (u₁; v₁) + ((u₂; v₂) + (u₃; v₃)),

т.е. сложение в (К х K, +) ассоциативно.

2) (u₁; v₁) + (u₂; v₂) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂) = (u₂ + u₁; v₂ + v₁) = (u₂; v₂) + (u₁; v₁),

т.е. сложение в (К х K, +) коммутативно.

3) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (u; v);

(u+ x; v+ y) = (u; v) u+ x = u^ v+ y= v ; x = 0, y = 0 ,т.е. (x; у) = (0;0).

Следовательно, нейтральным элементом в (К х K, +) является пара (0; 0). Обозначим (0; 0) = 0_U.

4) Решим уравнение

(u; v) + (x; y) = (0; 0):

(u+ x; v+ y) = (0; 0) u+ x = 0^ v+ y= 0 x = - u ^ y = - v, т.е. (x; у) = (- u; - v) или -(u; v) = (- u; - v).

Из 1) ,4) следует, что алгебра (К х K, +) есть абелева группа. Покажем, что алгебра (К х K, +, .) есть кольцо, но не ассоциативное и не коммутативное.

5) Покажем, что умножение в дистрибутивно относительно сложения как слева, так и справа.

С одной стороны:

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁ + u₂ ; v₁ + v₂) (u₃; v₃) = ((u₁ + u₂) u₃ - ₃(v₁ + v₂); v₃(u₁+u₂)+ (v₁ + v₂)ū₃) = (u₁ u₃ + u₂ u₃ - ₃v₁ - ₃v₂; v₃u₁+ v₃u₂+ v₁ ū₃ + v₂ū₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃) = (u₁u₃ - ₃v₁; v₃u₁ + v₁ū₃)+(u₂ u₃ - ₃v₂; v₃u₂+ v₂ū₃)=(u₁ u₃ - ₃v₁ + u₂ u₃ - ₃v₂; v₃u₁ + v₁ū₃ + v₃u₂+ v₂ū₃).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁; v₁) (u₃; v₃) + (u₂; v₂) (u₃; v₃),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂; v₂)) = (u₃; v₃) (u₂; v₂) + (u₃; v₃) (u₁; v₁).

Действительно, с одной стороны:

(u₃; v₃) ((u₁; v₁) + (u₂;v₂)) = (u₃; v₃) v (u₂+ u₁ ; v₁ + v₂) = (u₃ (u₁ + u₂); ( )v₃;

(v₁+ v₂)u₃+ v₃( ))= (u₃ u₁ + u₃u₂ - ₁v₃ - ₂v₃; v₁ u₃ + u₂ u₃+ v₃ū₁+ v₃ū₂);

с другой стороны:

(u₃; v₃) (u₁; v₁) +(u₃; v₃) (u₂; v₂) = (u₃ u₁ - ₁v₃; v₁ u₃ + v₃ū₁)+ (u₃ u₂ - ₂v₃; v₂ u₃ + v₃ū₂)= (u₃ u₁ - ₁v₁ + u₃ u₂ - ₂v₃; v₁ u₃ + v₃ū₁ + v₂ u₃ + v₃ū₂).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₃; v₃) = (u₁ u₂ - ₂v₁; v₂ u₁ + v₁ ū₂) (u₃; v₃) = ((u₁ u₂ - ₂v₁)u₃ - ₃(v₂ u₁ + v₁ū₂);

v₃(u₁ u₂ - ₂v₁) - (v₂ u₁ + v₁ū₂) ū₃) = (u₁ u₂ u₃ - ₂v₁u₃ - ₃v₂ u₁ - ₃v₁ū₂; v₃u₁u₂ - v_{3 2}v₁ - v₂ u₁ ū₃ - v₁ū₂ ū₃).

С другой стороны:

(u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃)) = (u₁; v₁) (u₂u₃ - ₃v₂; v₃u₂ + v₂ū₃) = (u₁ (u₂u₃ - ₃v₂) – v₁;

v₁ + (v₃u₂ + v₂ū₃) u₁) = (u₁u₂u₃ - u_{1 3}v₂ – v₁ - u_{3 2}v₁; v₁ - v_{1 2}v₃ + v₃u₂ u₁ + v₂ū₃ u₁).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₃; v₃) ≠ (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₃; v₃))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u₁;v₁) (u₂;v₂) = (u₁u₂ - ₂v₁ ; v₂ u₁ + v₁ ū₂);

(u₂;v₂) (u₁;v₁) =(u₂u₁ - ₁v₂ ; v₁ u₂ + v₂ ū₁).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u₁;v₁) (u₂;v₂) ≠ (u₂;v₂) (u₁;v₁)

т.е. умножение в не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u₁; v₁) (u₂; v₂)) (u₂; v₂) = (u₁ u₂ - ₂v₁; v₂ u₁ + v₁ ū₂) (u₂; v₂) = ((u₁ u₂ - ₂v₁)u₂ - ₂(v₂ u₁ + v₁ū₂);

v₂(u₁ u₂ - ₂v₁) - (v₂ u₁ + v₁ū₂) ū₂) = (u₁ u₂ u₂ - ₂v₁u₂ - ₂v₂ u₁ - ₂v₁ū₂; v₂u₁u₂ - v_{2 2}v₁ - v₂ u₁ ū₂ - v₁ ) = (u₁ u₂ u₂ - ₂v₁ (u_{2 +} ū₂) – |v₂|² u₁; v₂u₁ (u₂ + ū₂) - v₁ - |v₂|²v₁) .

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

(u₁; v₁) ((u₂; v₂) (u₂; v₂)) = (u₁; v₁) (u₂ u₂ - ₂v₂; v₂ u₂ + v₂ ū₂) = (u₁(u₂ u₂ - ₂v₂) –( )v₁;

v₁ ( ) + (v₂ u₂ + v₂ ū₂) u₁) = (u₁u₂ u₂ - u_{1 2}v₂ – v₁ – u_{2 2}v₁;

v₁ - v_{1 2}v₂ + v₂ u₂ u₁+ v₂ ū₂ u₁) = (u₁ u₂ u₂ - (u₂ + ū₂) ₂v₁ – u₁|v₂|²; (u₂ + ū₂) v₂u₁ + v₁ - v₁|v₂|²).

Здесь следует учитывать, что ₂v₂ = v_{2 2} = |v₂|² и u₂ + ū₂ - действительные числа. Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 8) справедливо.

9) Покажем, что имеет место равенство

(u₂; v₂) ((u₂; v₂) (u₁; v₁)) = ((u₂; v₂) (u₂; v₂)) (u₁; v₁).

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

(u₂; v₂) ((u₂; v₂) (u₁; v₁)) = (u₂; v₂) (u₂u₁ - ₁v₂; v₁ u₂ + v₂ ū₁) = (u₂(u₁ u₂ - ₂v₁) – v₂;