85495 (Алгебра октав), страница 2

(v₁ u₂ - v₂ ū₁) u₂ + v₂ ) = (u₂u₁ u₂ - u_{2 1}v₂ – v₂ - u_{1 2}v₂; v₁u₂u₂ + v₂ ū₁ u₂ + v₂ - v_{2 2}v₁) = (u₂u₁ u₂ - u₁ |v₂|² - (u₂ + ū₂) ₁v₂; v₁u₂u₂ + v₂ ū₁(u₂ + ū₂) - |v₂|² v₁).

Преобразовав правую сторону этого равенства, получаем:

((u₂; v₂) (u₂; v₂)) (u₁; v₁) = (u₂ u₂ - ₂v₂; v₂ u₂ + v₂ ū₂) (u₁; v₁) = ((u₂ u₂ - ₂v₂) u₁ - ₁(v₂ u₂ + v₂ ū₂);

v₁(u₂ u₂ - ₂v₂) + (v₂ u₂ + v₂ ū₂) ū₁) = (u₂ u₂ u₁- ₂v₂ u₁ - ₁v₂ u₂ - ₁v₂ ū₂; v₁u₂ u₂ - v_{1 2}v₂ + v₂ u₂ ū₁ + v₂ ) = u₂ u₂ u₁ - ₁v₂(u₂ + ū₂) - |v₂|²u₁; v₁u₂ u₂ - v₁ |v₂|²+ v₂ ū₁ (u₂+ ū₂).

Сравнивая правые части полученных равенств, убеждаемся, что они совпадают с точностью до порядка слагаемых. Следовательно, равенство 9 справедливо.

Из равенств 8) и 9) следует, что умножение в альтернативно.

10) Для определения правого нейтрального элемента (единицы) относительно операции умножения в решим уравнение:

(u; v) (x; y) = (u; v),

в котором и и v одновременно не равны 0, так как (0; 0) = 0_и и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть u ≠ 0. Тогда:

(u; v) (х; у) = (u; v) (хu - y; уи + v ) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1= ,откуда:

(u^-1 u) x = u^-1 v+ u^-1u x = v =1+ уи.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v(1+ уи) + уи = v v+ v уи+ уи = v уи+уи=0 ( +1)уи=0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0. Тогда = 0 и из первого уравнения системы

их = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является правым единичным элементом в .

В случае, если и = 0, v ≠ 0, второе уравнение .системы имеет вид v = v, откуда сразу х = 1, а из первого уравнения системы у = 0, т.е. приходим к тому же решению.

Для определения левого нейтрального элемента (единицы) относиnельно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (u; v),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0, так как (0; 0) = 0_U и это уравнение будет иметь любое решение. Пусть опять u ≠ 0. Тогда:

(х; у) (и; v) = (и: v) (хи - y; vх - уū) = (и; v)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1= , откуда:

x(u u^-1) = y + u*u^-1 x = 1+ ₂ yū,

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v(1+ ₂ yū) + уū= v v + ₂ v yū + уū= v yū+ уū= 0 ( + 1)уū =0,

откуда при u ≠ 0 следует, что у = 0 и из первого уравнения системы хu = и следует, что х = 1. Итак, пара (х; у) = (1; 0) является и левым единичным элементом в . Обозначим (1; 0) = 1_U,

11) Для определения правого симметричного для (u; v) элемента решим уравнение:

(u; v) (х: у) = (1; 0) (их - v; уи+ v ) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы слева на u^-1= ₂, откуда:

(u^-1 u) x = u^-1 v + u^-1 x = ₂+ ₂ v = ₂ + ₂ yu.

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

v + + уи= 0 ₂ + ₂ v yu + уи= 0 (|u|² + |v|²) yu = - vu (|u|² + |v|²) y = - v,

откуда

у = - .

Тогда из второго уравнения системы

v - u =0 v - =0 = x= .

Итак, пара

(x; y) = ; -

является правым обратным элементом для элемента (u; v) в .

Для определения левого симметричного элемента для элемента (u; v) относительно операции умножения в решим уравнение:

(х; у) (u; v) = (1; 0),

в котором опять и и v одновременно не считаем равными 0. Пусть опять и ≠ 0. Тогда:

(х; у) (u; v) = (1; 0) (xu - y; vx + yū) = (1; 0)

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u^-1= ₂ откуда:

x (u u^-1) = y ₂ + ₂ x = ₂ ( yū + ū).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v ₂( yū + + ū) + yū = 0 (|u|² + |v|²) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - = .

Умножим это равенство справа на u^-1= , тогда

x = * =

Итак, пара

(x; y) = ; -

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)^-1.

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .

Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U₁ = {(u; 0)| u K}. Ясно, что U₁ K x K.

Покажем, что множество U₁ замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u₁, 0) + (u₂, 0) = (u₁ + u₂: 0 + 0) = (u₁ + u₂: 0) U₁;

(u₁, 0) (u₂, 0) = (u₁ u₂ – 0; 0 u₁ + 0 ū₂) = (u₁ u₂: 0) U₁.

Далее:

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U₁;

(u; 0)^-1 = = U_1,

откуда следует, что есть под тело алгебры , .

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U₁ → K такое, что ( (u; 0) є U₁) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u₁; 0) + (u₂; 0)) = f ((u₁ + u₂: 0)) = u₁ + u₂ = f ((u₁; 0)) + f ((u₂; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u₁; 0) (u₂; 0)) = f ((u₁ u₂: 0)) = u₁ u₂ = f ((u₁; 0)) f ((u₂; 0));

f ((u; 0)^-1) = f (( ; 0)) = ; 0 = u^-1 = f ((u; 0)) ^-1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u₁; 0)) = f ((u₂; 0)) u₁ = u₂ (и₁; 0) = (и₂; 0) и f (U₁) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .

Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:

(0; 1)² = (0; 1) (0; 1) = (0 0 - 1; 1 0+1 ) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k.

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, v є К и е² = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0) + (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U^/ К х К. Если мы покажем, что К х K U^/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е² = - 1, то u + vj U^/, так как и, v К U^/, e U^/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U^/, откуда U^/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i 0 - 0; 1 i + 0 ) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j 0 - 0; 1 j + 0 ) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k 0 - 0; 1 k + 0 ) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)² = (je)² = (ke)² = -1. Действительно,

(ie)² = (i; 0) (i; 0) = (i i - 0; 0 i + 0 ī) = (-1; 0) = -1;

(je)² = (j; 0) (j; 0) = (j j - 0; 0 j + 0 ī) = (-1; 0) = -1;

(ke)² = (k; 0) (k; 0) = (k k - 0; 0 k + 0 ī) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична.

Пусть (U, +, ., e) и (U₁, , , e₁ ) - две модели алгебры октав и e² = -1, e²₁ = Ө1.

Рассмотрим отображение Ф : U → U такое, что

Ф (u+ve) = u v e₁, u,v К.

Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.

Пусть w₁ = u₁+v₁e и w₂ = u₂+v₂e. Тогда:

Ф(w₁+ w₂) = Ф((u₁+v₁e) + (u₂+v₂e)) = Ф((u₁+u₂)+(v₁+v₂)e) = (u₁+u₂) (v₁+v₂) e₁ = (u₁ v₁ e₁ ) (u₂ v₂ e₁) = Ф(u₁+v₁e) Ф(u₂+v₂e) = Ф(w₁) Ф(w₂);

Ф(w₁ w₂) = Ф((u₁+v₁e) (u₂+v₂e)) = Ф((u₁u₂ - ₂v₁)+(v₂u₁ + v₁ū₂)e) = (u₁u₂ - ₂v₁) (v₂u₁ + v₁ ū₂) e) =(u₁ u₂ Ө ₂ v₁) (v₂u₁ v₁ ū₂) e) =(u₁ v₁ e₁) ( u₂ v₂ e₁) = Ф(u₁+v₁e) Ф(u₂+v₂e) = Ф(w₁) Ф(w₂);

Ф(-w) = Ф (-(u+ve)) = Ф (-u -ve) = ӨuӨv e₁ = Ө(u v e₁) = ӨФ(u+ve)= ӨФ(w);

Ф(w^-1)=Ф((u+ve)^-1)=Ф( Ө e)= ( Ө e) = Ө e = (u v e₁)^-1 = (Ф(u+ve)^Ө1) = (Ф(w)) ^Ө1.

Следовательно, отображение Ф есть гомоморфное отображение алгебры в (U₁, , , e₁ ).

Покажем, что отображение Ф инъективно: