85495 (Алгебра октав), страница 3

Ф(w₁)=Ф(w₂) Ф(u₁+v₁e) = Ф(u₂+v₂e) u₁ v₁ e₁ = u₂ v₂ e₁ u₁=u₂ v₁=v₂ u₁+v₁e= u₂+v₂e w₁= w₂.

Сюръективность отображения Ф очевидна, так как

( q U₁) ( u,v K)p= u v e₁ ( u+ve = w U) Ф(w) = p.

Итак, отображение Ф есть изоморфизм алгебры на алгебру (U₁, , ,e₁) и, следовательно, система аксиом алгебры октав категорична ввиду изоморфности произвольных ее моделей.

§2. Дополнительные сведения об октавах

В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы установили, что любую октаву можно представить в виде:

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R и i² = j² = k² = e²=I²= j² = k² = -1,

причем iе = I, je = J, ke = К по обозначению.

Через пары эти мнимые единицы выражались следующим образом:

i=(i; 0), j=(j; 0), k=(k; 0), e=(0; 1), I=(0; i), j=(0; j), k=(0; k).

Вычислим другие произведения мнимых единиц:

iI = (i; 0)(0; i) = (i 0 – ī 0; i i + 0 ) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;

iJ = (i; 0)(0; j) = (i 0 – 0; j i + 0 ) = (0; -k) = -(0; k) = - K;

iK = (i; 0)(0; k) = (i 0 – 0; k i + 0 ) = (0; j) = J;

I i = (0; i)(i; 0) = (0 i – i; 0 0; + i ī) = (0; 1) = e;

J i = (0; j)(i; 0) = (0 i – j; 0 0; + j ī) = (0; k) = K;

K i = (0; k)(i; 0) = (0 i – k; 0 0; + k ī) = (0; -j) = - (0; j) = -J;

jI = (j; 0)(0; i) = (j 0 – ī 0; i j + 0 ) = (0; k) = K;

jJ = (j; 0)(0; j) = (j 0 – 0; j j + 0 ) = (0; -1) = -(0; 1) = - e;

jK = (j; 0)(0; k) = (j 0 – 0; k j + 0 ) = (0; - i) = - (0; i) = -I;

I j = (0; i)(j; 0) = (0 j – i; 0 0 + i ) = (0; -k) = -(0; k) = - K;

J j = (0; j)(j; 0) = (0 j – j; 0 0; + j ) = (0; 1) = e;

K j = (0; k)(j; 0) = (0 j – k; 0 0; + k ) = (0; i) = I;

kI = (k; 0)(0; i) = (k 0 – ī 0; i k + 0 ) = (0; -j) = - (0; j) = -J;

kJ = (k; 0)(0; j) = (k 0 – 0; j k + 0 ) = (0; i) = I;

kK = (k; 0)(0; k) = (k 0 – 0; k k + 0 ) = (0; -1) = - (0; 1) = - e;

I k = (0; i)(k; 0) = (0 k – i; 0 0; + i ) = (0; j) = J;

J k = (0; j)(k; 0) = (0 k – j; 0 0; + j ) = (0; - i) = - (0; i) = -I;

K k = (0; k)(k; 0) = (0 k – k; 0 0; + k ) = (0; 1) = e;

e i = (0; 1)(i; 0) = (0 i – 1; 0 0; + 1 ī) = (0; - i) = - (0; i) = -I;

e j = (0; 1)(j; 0) = (0 j – 1; 0 0; + 1 ) = (0; -j) = - (0; j) = -J;

e k = (0; 1)(k; 0) = (0 k – 1; 0 0; + 1 ) = (0; -k) = - (0; k) = - K;

I e = (0; i)(0; 1) = (0 0 – i; 1 0; + i ) = (-i; 0) = - (i; 0) = - i;

J e = (0; j) (0; 1) = (0 0 – j; 1 0; + j ) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j;

K e = (0; k) (0; 1) = (0 0 – k; 1 0; + k ) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k;

e I = (0; 1)(0; i) = (0 0 –ī 1; i 0; + 1 ) = (i; 0) = i;

e J = (0; 1)(0; j) = (0 0 – 1; j 0; + 1 ) = (j; 0) = j;

e K = (0; 1)(0; k) = (0 0 – 1; k 0; + 1 ) = (k; 0) = k;

I J = (0; i)(0; j) = (0 0 – i; j 0 + i ) = (- k; 0) = - (k; 0) = - k;

I K = (0; i)(0; k) = (0 0 – i; k 0 + i ) = (j; 0) = j;

J K = (0; j)(0; k) = (0 0 – j; k 0 + j ) = (- i; 0) = - (i; 0) = - i;

J I = (0; j)(0; i) = (0 0 –ī j; i 0 + j ) = (k; 0) = k;

K I = (0; k)(0; i) = (0 0 –ī k ; i 0+ k ) = (- j; 0) = - (j; 0) = - j;

K J = (0; k)(0; j) = (0 0 – k ; j 0 + k ) = (i; 0) = i.

При умножении на мнимые единицы кватернионов образуются дополнительно три несоставных мнимых единицы. Правило произведения мнимых единиц (1,i,j,k,E,I,J,K) может быть представлено таблицей 1.

При пользовании этой таблицей первым сомножителем следует брать элемент, занимающий строку, а вторым сомножителем - элемент, занимающий столбец.

Или диаграммой взаимных произведений:

При получении вышеприведенной таблицы произведений мы исходили из правого закона произведения мнимых единиц кватернионов (внутренний круг диаграммы), правого закона произведения новых единиц (внешний круг диаграммы) и правого закона произведения мнимых единиц исходных кватернионов на мнимую единицу E (радиальные линии диаграммы). Так же можно использовать определение октав с левыми правилами произведения. В дальнейшем мы будем полагать, что используются правые правила.

§3.Действия над октавами

Так как по доказанному пара вида (и; v), где u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk K, есть и u+ ve, или в алгебраической форме

a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

то сложение двух октав осуществляется как сложение двух многочленов по правилу:

p+ q= (a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) +(a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K) =

= a+a₁+(b+b₁)i +(c+c₁)j +(d+d₁)k +(A+ A₁)e +(B+B₁)I +(C+C₁) J +(D +D₁) K.

Умножение октав выполняется так; же, как умножение двух многочленов с учетом порядка, умножения мнимых единиц, представленного в вышеприведенной таблице.

Упражнения: 1. Приведите полное представление произведения двух октав

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK

и w₁ =a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K

в алгебраической форме.

(a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK)( a₁+b₁i+c₁j+d₁k+ A₁e+B₁I+C₁J+D₁K)=a a₁+ab₁ i+ ac₁j+ad₁k+aA₁E+aB₁I+aC₁J+aD₁K+bia₁+bib₁i+bic₁j+bid₁k+diA₁E+biB₁I+biC₁J+

biD₁K+cja₁+cjb₁i+cjc₁j+cjd₁k+cjA₁E+cjB₁I+cjC₁J+cjD₁K+dka₁+dkb₁i+dkc₁j+dkd₁k+dkA₁E+dkB₁I+dkC₁J+dkD₁K+AEa₁+AEb₁i+AEc₁j+AEd₁k+AEA₁E+AEB₁I+AEC₁J+AED₁K+ BIa₁+BIc₁j+BId₁k+BIA₁E+BIB₁I+BIC₁J+BID₁K+CJa₁+Cjb₁i+CJc₁j

+CJd₁k+CJA₁E+CJB₁I+CJC₁J+CJD₁K+Dka₁+DKb₁i+DKc₁j+DKd₁k+DKA₁E+DKB₁I+DKC₁J+DKD₁K=aa₁+ab₁i+ac₁j+ad₁k+aA₁E+aB₁I+aC₁J+aD₁K+bia₁-bb₁+bc₁k-bd₁j-bA₁I+bB₁E+bC₁K+bD₁J+cja₁-cb₁k-cc₁+cd₁i-cA₁J+cB₁K-Cc₁E +cD₁I+dka₁+db₁j-c₁di-dd₁+dA₁K-dB₁J+dC₁I-dD₁E+AEa₁-Ab₁I-Ac₁J-Ad₁K-AA₁+Ab₁i+AC₁j+AD₁k+Bia₁+Bb₁E-Bc₁K+Bd₁J-Ba₁i-BB₁-BC₁k+BD₁j+CJa₁+Cb₁K-Cc₁E-Cd₁I-CA₁j+CB₁k-CC₁-CD₁i+DK₁a-Db₁J-Dc₁I+Dd₁E-DA₁k-DB₁j+DC₁i-DD₁=aa₁-bb₁-cc₁-dd₁-AA₁-BB₁-CC₁-DD₁+i(ab₁+ba₁+cd₁-dc₁+AB₁-BA₁- _-cD₁+Dc₁)+j(ac₁-bd₁+ca₁+db₁+AC₁+BD₁-CA₁-DB₁)+k(ad₁+bc₁-cb₁+da₁+AD₁-BC₁+CB₁-Da₁)+E(aA₁-bB₁-cC₁-dD₁+Aa₁+Bb₁+Cc+Dd₁)+I(aB₁+bA₁-Cd₁+dC₁-Ab₁+Ba₁-Cd₁-Dc₁)+J(ac₁+bD₁+cA₁-dB₁-Ac₁+Bd₁+Ca₁-Db₁)+K(aD₁-bC₁+cB₁+Da₁-Ad₁-Bc₁+ Cb₁ +Da₁).

Этот результат можно записать в матричной форме:

,

.

Решение примеров:

Пример 1.

Сложить кватернионы:

(1+i-2j+15E-17J)+(-2+5j-17E+20K)= -1+i+3j-2E-17J+20K.

Пример 2.

Выполнить умножение:

(1+3K)(2-i+3j+2E+2K)=2-i+3j+2E+2K+6K-3Ki+9Kj+6KE-6=2-i+3j+2E+8K+3J-9I+6K-6=-4-i+2E-9I+14K.

Пример 3.

Решить уравнение:

(1-2i+4K)x=(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k.

В правой части приведем подобные слагаемые.

(2-3j+J)(3-5k+E)-5J+8k=6-10k+2E-9j+15jk-3jE+3J-5Jk+JE-5J+8k=6-10k+2E-9j+15i-3J+3J-5I-j-5J+8k=6+15i-10j-2k+2E-5I-5J.

x=(1-2i+4K )^-1(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J);

x=((1+2i-4K )(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J))/21=1/21(6+15i-10j-2k+2E-5I-5J+12i-30-20k+4j-4I-10E-10K-24K-60J-40I-8E-8K+20J-20I)=1/21(-24+27i-6j-22k-16E-69I-45J-442K)

§4. Сопряженные октавы и их свойства

Определение. Если дана октава

w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

то октава

= a-bi-cj-dk- Ae-BI-CJ-DK