85495 (Алгебра октав), страница 4
Описание файла
Документ из архива "Алгебра октав", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "математика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "85495"
Текст 4 страницы из документа "85495"
называется сопряженным ему. В случае, когда октава w выражена через кватернионы и и v как u+ ve, то сопряженная ей октава равна = ū- ve.
Свойства сопряженных октав:
-
р + = 2а R (выводится непосредственным сложением октавы
р=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
с сопряженной ей октавой).
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)+ (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)=2a.
2) w = w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
В самом деле:
w =(u+ ve)(ū- ve) = (u ū –(- )v)+(-vu+vu)e = (u ū+ )+(-vu+vu)e =(|u|2 + |v|2) + 0 e = |u|2 + |v|2.
Здесь и и v кватернионы
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk.
А так как
|u|2 = a2 + b2 + c2 + d2, |v|2 = A2 + B2 + C2 + D2,
то w =|u|2 + |v|2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
Аналогично доказывается равенство
w = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2.
3) w= w= а R.
4) = +
(вычисление левой и правой частей равенства дает
одинаковые значения).
В самом деле:
w1+ w = (a+bi+cj+dk+( Ae+BI+CJ+DK))+ (a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K);
левая часть:
=(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K);
правая часть:
= (a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK);
=( a1-b1i-c1j-d1k- A1e-B1I-C1J-D1K);
+ =(a-bi-cj-dk-Ae-BI-CJ-DK)+(a1-b1i-c1j-d1k-A1e-B1I-C1J-D1K).
Отсюда следует, что
: = + .
5) = .
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 - кватернионы.
Так как
w w1= (u+ ve) ( u1+ v1e) = (uu1 - v) + (v1u+vū1)e,
то
= + (v1u+vū1)e= (ū1ū - v) - (v1u+vū1)e.
С другой стороны:
= (ū1 - v1e) (ū - ve) = (ū1 ū -(- (-v1))+(- vū1 -v1 ) = (ū1ū - v1) - (vū1 + v1u)e.
В силу совпадения правых частей полученных равенств и следует тождество 5.
6) w +w1 =2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1) R,
Если
w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
Пусть
w = u+ ve, w1 = u1+ v1e,
где u, u1 v, v1 - кватернионы. Так как
w =(u+ ve) (ū1 - v1e) = (u ū1+ v)+(- v1u+ v 1)e = (u ū1+ v)(vu1 –v1u)e
а w1 =( u1+ v1e) (ū - ve) = (u1ū+ v1) + (-vu1+v1u)e,
то сложив эти два равенства, получим:
w + w1 = (u ū1+ v+u1ū+ v1) + (- v1u+ vu1 - vu1+v1u)e= (u ū1+u1ū + v + v1) + 0 e = u ū1+u1ū + v + v1 .
В силу свойства 6) сопряженных кватернионов имеют место:
u ū1+u1ū =2 (aa1+bb1+cc1+dd1),
v + v1 = 2 (A A1+BB1+CC1 +DD1),
u = a+bi+cj+dk, u1 = a1+b1i+c1j+d1k,
v = A+Bi+Cj+Dk, v1 = A1+B1i+C1j+D1k.
Тогда из последних равенств следует
w + w1 = 2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
4.1 Модуль октавы
Определение. Модулем октавы
w=a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK
называется
Модуль октавы w обозначается |w|. Следовательно,
|w| = .
Из свойства 2) сопряженных октав следует |w|2 = w = w. Модуль октавы обладает свойствами:
1) |w| ≥ 0 и |w| = 0 w=0;
2) |w w1| = |w|*|w1|.
Действительно,
|w w1|2 = (w w1)( ) = (w w1) ( ) = w(w1* ) = w|w1|2 = |w1|2 w = |w1|2 |w|2,
Откуда
|w w1| = |w| |w1|
Равенство |pq| = |p| |q| после возведения обеих частей в квадрат в развернутом виде имеет вид:
|w w1| = |w| * |w1|.
(a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ( ) = (aa1 - bb1 - cc1 - dd1 - AA1 -BB1 - CC1 - DD1)2 +(ab1 + a1b + cd1 - c1d - A1B + B1A + C1D - CD1)2 +(ac1 + a1c - bd1 + b1d - a1c + ac1 - b1d + bd1)2 +(ad1 + a1d+ bc1 - b1c - a1d + ad1 + b1c - bc1)2 +(a1a - b1b - c1c -d1d + Aa1 + Bb1 + Cc1 + Dd1)2 +
(a1b + b1a + c1d - d1c - Ab1 + Ba1 - Cd1 + Dc1)2 +(a1c + c1a - b1d+ d1b - ac1 + ca1 + bd1 - db1)2 +(a1 d+ d1a+ b1c - c1b - ad1 + da1 - bc1 + cb1)2.
Это равенство можно сформулировать так: произведение суммы квадратов восьми действительных чисел на сумму квадратов других восьми действительных чисел равно сумме квадратов восьми действительных чисел.
Если
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
- чисто мнимая октава, то
w/2= (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) (bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK) = b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 = -(b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) ≤ 0,
т.е. квадрат чисто мнимой октавы w/ есть неположительное действительное число.
Можно показать и обратное: если квадрат октавы есть неположительное действительное число, то эта октава - чисто мнимая. Действительно, если октаву w= a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK представить в виде w = а + w/, где w/ - чисто мнимая октава
bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK, a, a R, то
w2 = (а + w/)(а + w/) = a2+ w/2+2a w/ =a2- b2 - c2 - d2 - A2 - B2 - C2 - D2 +2a w/.
Если это выражение есть действительное число и а ≠ 0, то w/= 0. Но тогда w=а, и следовательно, w2 = а2 не может быть ≤ 0. Следовательно, только октавы вида
w/= bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK
могут обладать тем условием, что их квадраты являются неположительными действительными числами. С учетом этого, октаву можно представить в виде w = а + w/ где a ,a R, w/2≤ 0. Тогда сопряженная ей октава = а –p /.
В ходе доказательства непротиворечивости системы аксиом алгебры октав мы получили, что
(u; v)-1 = ; - .
Так как (и; v) = и + ve, то тогда
(и + ve)-1 = - .
Если
u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk,
это означает, что
(a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK)-1= = ,
если
w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK.
Итак, октава, обратная октаве w, есть октава .
Покажем, что в алгебре октав имеет место равенство:
(ww1) 1 = w(w1 1).
Пусть w = u+ ve, w1 = u1+ v1e, где u, u1 v, v1 K, Тогда:
(ww1) 1 = ((u+ ve)( u1+ v1e))(ū1 - v1e) = ((uu1 - v)+ (v1u+ v ū1)e)(ū1 - v1e) = ((uu1 - v)ū1+ (v1u+ v ū1))+(-v1(uu1 - v)+ (v1u+ v ū1) 1)e = (uu1 ū1 - vū1+ v1u+ vū1) +(-v1uu1 +v1 v + v1u u1+ vū1u1)e = (u|u1|2 + |v1|2u)+(v|v1|2 + |u1|2v)e = u(|u1|2+ |v1|2)+ v(|v1|2 + |u1|2)e = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w.
< ><С другой стороны,
w(w1 1) = w|w1|2.
Сравнивая правые части этих равенств, получаем:
(ww1) 1 = w(w1 1).
Покажем также, что в алгебре октав имеет место равенство:
1(w1w) = ( 1w1)w).
Действительно,
1(w1w) = (ū1 - v1e)((u1+ v1e)(u+ve)) = (ū1 - v1e) ((u1u - v1 )+(vu1+ v1ū)e) = (ū1(u1u-- v1 ) – ( )(-v1))+((vu1+ v1ū)ū1 - v1( ))e = (ū1(u1u- v1 ) + (ū1 + u )v1) + ((vu1+ v1ū)ū1 - v1(ū ū1 - v))e= (ū1u1u- ū1 v1 + ū1 v1+ u v1) + (vu1 ū1+ v1ūū1 - v1ūū1 - v1 v)e =(|u1|2u + u|v1|2)+(v|u1|2 + |v1|2v)e = (|u1|2+ |v1|2)u + (|u1|2 + |v1|2)ve = (|u1|2+ |v1|2)( u+ ve) = |w1|2w. .
С другой стороны,
( 1w1)w = |w1|2w.
Сравнивая правые части этих равенств, получаем:
1(w1w) = ( 1w1)w.
Рассмотрим уравнение wх = w1, где
w = и + ve = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,
w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1J+D1K.
- известные октавы, а х - неизвестная октава. Умножим слева это уравнение на , w ≠ 0. Тогда:
(wх) = w1 ( w)х = w1 |w|2 х = w1 х = w1 .
В этом случае октава х называется левой частной от деленияоктавы w1ww на октаву w.
Аналогично, решением уравнения yw = w1 является
yy y = w1 ,
называемый правым частным от деления октавы w1ww на октаву w.
Найдем квадратный корень из октавы
ww w = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK.
Значение квадратного корня из этой октавы будем искать как октаву
θ= x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK ,
где x, y, z, t, X, Y, Z, T R, удовлетворяющий условию θ 2 = w. Следовательно,
(x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK)( x + yi + zj + tk +Xe + YI + ZJ + TK) = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK x2 – y2 – z2 – t2 -X2 – Y2 – Z2 – T2+ 2xyi + 2xzj + 2xtk + 2xXe + 2 xYI +2xzj + 2xtk = = a + bi + cj + dk + Ae + BI + CJ + DK
Если x ≠ 0, тo из первого уравнения системы следует, что
4х4 - 4ах2 – (b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) = 0
x2= (a± ) = (a± |w|).
Так как х2 ≥ 0, то х2 = (a± |w|), откуда x=± .Определив х, значения y, z, t, X, Y, Z, T находим из равенств
y = , z = , t = , X = , Y = , Z = , T = .
Из рассмотрения свойств кватернионов и октав можно заметить, что у этих числовых систем много общего. Алгебраические формы записи элементов этих числовых систем представляют собой некоторые многочлены от действительного числа и мнимых единиц с действительными коэффициентами. Одинаковым образом вводится понятие элемента сопряженного данному элементу. Свойства сопряженных элементов одни и те же, в некоторых случаях лишь с поправкой на число мнимых единиц. Понятие модуля кватерниона и октавы вводится одинаковым образом и обладает одинаковыми свойствами. То, что квадрат чисто мнимого кватерниона или октавы есть неположительное действительное число, дает для них возможность записи в виде а + t, где а R и t2 ≤ 0. Формула извлечения корня квадратного как из кватерниона, так и из октавы одна и та же, опять-таки с учетом количества мнимых единиц. При внимательном подходе к аксиоматическому определлллению этих числовых систем так же можно заметить общий подход к построению моделей этих числовых систем. Это так называемый метод удвоения, который заключается в том, что при введении нового числового множества мы строим декартов квадрат предыдущего чисссслового множества и новые числа рассматриваем как упорядоченные пары из чисел предыдущего числового множества. Так, удвоением множества действительных чисел получили множество комплексных чисел, удвоением множества комплексных-чисел - множество кватернионов, удвоением множества кватернионов - множество октав, причем операции сложения и умножения в построенных моделях определялись совершенно одинаково. Такими же свойствами обладает и множество комплексных чисел, однако, в силу того, что их. свойства хорошо изучены на младших курсах, здесь ограничились лишь аксиоматическим построением этой числовой системы.
Теорема Фробениуса, которую мы рассмотрели в , поле комплексных чисел и тело кватернионов анализирует с общей точки зрения, как частные случаи ассоциативной линейной алгебры с делением и содержащей единицу. В дальнейшим мы попытаемся установить общий подход к таким числовым системам, как поле комплексных чисел, тело кватернионов и алгебра октав.
4.2 Алгебраическое сопряжение
Определение. Алгебраическим сопряжением называется сопряжение, которое в сочетании с операцией умножения позволяет в любой алгебре получать действительное число. Как видим, различий относительно сопряжения по мнимой единице два - во-первых, отсутствует требование использования операции сложения и во-вторых в сочетании с произведением требуется получение числа именно алгебры действительных чисел, а не одной из предшествующих удвоению.
.
Или, алгебраическое сопряжение используется для определения модуля числа алгебры.
Для того, чтобы получить действительное число в случае произвольной гиперкомплексной алгебры, следует придумать процедуру, с помощью которой можно отбросить все мнимые единицы. Наиболее простой операцией сопряжения, при этом похожей на определенное выше сопряжение, является операция смены знаков сразу у всех мнимых единиц числа, безотносительно способа их получения и их свойств:
.
Сменив знаки при всех мнимых единицах, получим:
.
Естественно, что столь вольное обращение с мнимыми единицами не может гарантировать, что является действительным числом. Но при этом отметим, что сумма как раз является действительным числом. Таким образом, нам нужно отображение, которое произведению в одной области сопоставляет сложение в другой и наоборот. Такой операцией является пара отображений - логарифмирование и потенцирование. Еще раз напомним их свойства:
,
,
в случае, если a и b коммутируют по умножению.
Таким образом, для получения числа, алгебраически сопряженного заданному, нужно найти его логарифм, сменить знаки у всех мнимых единиц и потенцировать.
Любое число любой гиперкомплексной алгебры естественным образом коммутирует как само с собой, так и с действительным числом, поэтому
.
Или, если
, то .
Среди свойств алгебраического сопряжения отметим весьма важные:
- сопряженное произведения равно обратному произведению сопряженных:
,
,
- в некоторых алгебрах алгебраическое сопряжение совпадает по результату с сопряжением по действительных чисел, все виды сопряжения в ней совпадают. Сопряжение по мнимой единице:
.
a) Алгебраическое сопряжение:
;
,
то есть смена знаков мнимых единиц после логарифмирования эквивалентна смене знака у мнимой единицы самого числа:
.
Здесь одинаково обозначены сопряжение по мнимой единице и алгебраическое. Полагаю, пока нет совмещения сопряжений в одной формуле, разночтений возникнуть не должно.
б) кватернионы.
Кватернионы имеют строение:
и получены некоммутативным удвоением алгебры комплексных чисел:
.
Мнимая единица удвоения j не коммутирует с единицей i, поэтому сопряжение по ней требует сопряжения также и по i и по k:
.
Алгебраическое сопряжение в кватернионах, также как в комплексных числах, просто меняет знак у компонент при мнимых единицах:
.
То есть в кватернионах сопряжение по мнимой единице и алгебраическое сопряжение так же совпадают.
§5 .Некоторые тождества для октав
Приведем основные тождества, применимые к октавам. Тождества базируются на понятии ассоциатора, коммутатора и йорданова произведения.
( )= - ассоциатор;
- коммутатор;
- йорданово произведение.
Линеаризуя тождества, несложно получить, что
& .
Таким образом, ассоциатор есть кососимметрическая функция от x, y, z. В частности: .
.
Алгебры, удовлетворяющие этому условию, называются эластичными. Таким образом, алгебра октав эластична. Покажем на основе эластичности тождество:
,
.
В силу того, что для октав всегда есть действительное число, а в силу эластичности, получаем:
.
Таким образом, для эластичной алгебры справедливо:
.
Функция Клейнфелд:
.
Лемма1. - кососимметрическая, для любой пары равных аргументов
.
В силу правой альтернативности
.
Во всякой алгебре справедливо тождество:
.
Достаточно раскрыть все ассоциаторы. Обозначив левую часть этого равенства через , получим:
Поменяв местами: получим: .
Используя , получим, что при любых одинаковых аргументах. Из этого следуют тождества:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Тождества Муфанг.
Правое тождество Муфанг: ;
Левое тождество Муфанг: ;
Центральное тождество Муфанг: .
Вопросы о строении простых алгебр в том или ином многообразии являются одними из главных вопросов теории колец. Мы уже знаем один пример простой неассоциативной альтернативной алгебры - это алгебра Кэли-Диксона. Оказывается, что других простых неассоциативных альтернативных алгебр не существует. Этот результат доказывался с нарастанием общности на протяжении нескольких десятков лет разными авторами: вначале для конечномерных алгебр (Цорн, Шафер), затем для алгебр с нетривиальным идемпотентом (Алберт), для альтернативных тел (Брак, Клейнфелд, Скорнаков), для коммутативных альтернативных алгебр (Жевлаков) и т. д. Наибольшее продвижение было получено Клейнфелдом, доказавшим, что всякая простая альтернативная неассоциативная алгебра, не являющаяся ниль-алгеброй характеристики 3, есть алгебра Кэли-Диксона. Окончательное описание простых альтернативных алгебр осуществилось после появления теоремы Ширшова о локальной нильпонентности альтернативных ниль-алгебр с тождественными соотношениями.
§6. Теорема Гурвица
6.1 Нормированные линейные алгебры
Пусть -линейная алгебра ранга п над полем действительных чисел и х, у А. Если e1, e2, ..., еn - базис А, то:
х = х1е1 + х2е2 + .... + хпеп, у = y1е1 + y2е2 + .... + yпеп. .
Определение. Скалярным произведением элементов х, у А называется сумма х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.
Обозначение скалярного произведения:
(х, у) = х1у1 + х2у2 + ... + хпуп.
В частности:
(х, х) = + +… + .
Скалярное произведение элементов х, у А должно удовлетворять общим условиям скалярного произведения в линейных пространствах:
1)для любых х, у А (х, у) ≥ 0 и (х, х) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)для любых х, у А имеет место (х, у) = (у, х);
3)для любых х, у А и А R имеет место (λх, у) = (х, λу) = λ(х, у):
4)для любых х, у, z А имеет место (х, у + z) = (х, у) + (х, z).
Определение. Линейная алгебра называется нормированной, если в ней можно ввести скалярное произведение для любых х, у А таким образом, чтобы выполнялось равенство:
(ху, ху) = (х, х)(у, у) . ( )
Если положим =|х|. то равенство ( ) записывается в виде:
|ху| = |х| |у|.
Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) следует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда
(0, 0) = (х, х)(у, у) (х, х)(у, у) = 0,
откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.
Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.
Пусть e А, и u e, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k R, что a - ke e. Тогда:
a - ke e (a – ke, e) = 0 (a, e) – k(e, e) = 0.
Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - ke e.
Следствие. Если - линейная алгебра с единицей 1, то для любого а А имеет место а = k1 + u, где u 1.
Пример 1. Пусть (C, +, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) = (zū + u ).
Так как
zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,
u = (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,
то (z, u) = (zū + u ) = ac+bd.
В частности,
(z, z) = (z + z ) = z = |z|2 = a2+b2.
Так как,
zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,
то (zu, zu) = ((zu)*( )+( zu)( ))=( zu)( )=|zu|2 = (ac-bd)2+( ad+bc)2=
a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 =
a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 + d2) = | z |2 | u |2 = (z, z)(u, и),
т.е. выполняется
(zu, zu) = (z, z)(u, и).
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0 a= 0 b= 0 z=0;
2) (z, u) = (zū + u ) = ( u +zū) =(u, z);
3) (z, ku) = (z +(ku) ) = k(zū + u ) =k(z, u);
4) (z, u+v) = (z +( u+v) ) = (zū+z + u + v ) = (zū+ u )+ ( z + v ) = (z+u)+(z+v).
Итак, все условия скалярного произведения при
(z, u) = (zū + u )
выполнены для комплексных чисел z и u.
Пример 2. Пусть - тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если
р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,
то по свойству 6 сопряженных кватернионов
p + q = 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение
(p + q ) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1.
Итак,
(p, q) = (p + q ).
В частности,
(p, p) = (p + p )= p = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2.
Проверим выполнение условий скалярного произведения:
1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2 ≥ 0 и (p, p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0 a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 p=0;
2) (p, q) = (p + q ) = ( q + p ) = (q; p);
3) (p, kq) = (p +(kq) ) = k(p + q ) =k(p, q);
4) (p, q1+q2) = (p +(q1+q2) ) = (p 1+ p 2+ q1 + q2 ) = (p 1+ q1 ) + (p 2+ + q2 ) = (p+q1)+(p+q2).
Проверим равенство:
(pq, pq) = (p, p)(q, q).
В самом деле,
(pq, pq) = ((pq) * ( ) + (pq) * ( )) = ((pq) * ( ) + (pq) * ( )) = (pq) * ( ) = p(q ) = |q|2 p =|p|2 + |q|2 = (a2 + b2 + c2 + d2)* ( ) = (p,p ) (q, q).
Итак, все условия скалярного произведения при
(p, q) = (p + q )
выполнены для кватернионов р и q.
Пример 3. Пусть - алгебра октав. Базисом в U являются 1, i, j, k, e, I, J, K.
Если
w =и+ve =a+bi+cj+dk+Ae+BI+CJ+DK, и w1 =a1+b1i+c1j+d1k+ A1e+B1I+C1 J+D1K,
то по свойству 6) сопряженных октав
w +w1 =2 (aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD1).
Возьмем в качестве скалярного произведения двух октав w и w1 выражение
(w +w1 ) =aa1+bb1+cc1+dd1+A A1+BB1+CC1 +DD.
Итак,
(w, w1) = (w +w1 ).
В частности,
(w, w) = (w +w ) = w = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 .
Проверим выполнение условий скалярногопроизведения:
1) (w, w) = | w |2 = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 ≥ 0 и (w, w) = a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2 a= 0 b= 0 c= 0 d= 0 A = 0 b= 0 c= 0 d= 0 w = 0;
2) (w, w1) = (w 1+w1 ) = (w1 +w 1) =(w1, w);
3) (w, kw1) = (w( 1)+(kw1) ) = k(w1 +w 1) =k(w1, w);
4) (w, w1+ w2) = (w +(w1+w2) ) = ( w 1 + w 2+ w1 + w2 ) = (w 1 + w1 ) + (w 2+w2 ) = (w, w1)+( w, w2).
Проверим равенство:
(ww1, ww1) = (w, w)(w1, w1).
Действительно,
(ww1, ww1) = (( ww1)( ) + (ww1)( )) = (( ww1)( 1 ) + (ww1)( 1 )) = (ww1)( 1 ) = w(w1 1) = | w1 |2* w1 1 = | w |2 * | w1 |2 = (a2 + b2 + c2 + d2 + A2 + B2 + C2 + D2) * ( ) = (w, w)(w1, w1).
Итак, все условия скалярного произведения при
(w, w1) = (w 1+w1 )
для октав w и w1 выполнены.
Лемма 2. В любой нормированной линейной алгебре имеет место тождество:
(a1b1,a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(а1, a2)(b1, b2). (1)
Подставим в основное тождество ( ) данной нормированной линейной алгебры вместо х сумму a1 + а2, а вместо у - элемент b. Тогда:
((a1 + а2)b, (а1 + a2)b) = (a1 + а2, а1 + а2)(b, b)
(a1b + a2b, a1b + a2b) = (a1+a2, a1+a2)(b, b)
(a1b + a2b, a1b) + (a1b + a2b, a2b) =
(а1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b) + 2(a1, a2)(b, b)
(a1b, a1b) + (a2b, a2b) + 2(а1b, a2b) =
(a1, a1)(b, b) + (a2, a2)(b, b)+2(a1, a2)(b, b). (2)
Но в силу условия ( ):
(a1b, a1b) = (a1, a1)(b, b); (a2b, a2b) = (a2, a2)(b, b).
Тогда из (2) следует
(a1b,a2b) = (a1, a2)(b, b). (3)
Заменим в (3) b на сумму b1 + b2:
(a1(b1 + b2), a2(b1 + b2)) = (a1, a2)(b1 + b2, b1 + b2)
(a1b1+a1b2, a2b1+a2b2) = (a1, а2)((b1, b1)+(b2, b2)+2(b1, b2))
(a1b1, a2b1) + (a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) + (a1b2, a2b2) =
(a1, a2)(b1, b1) + (a1, a2)(b2, b2) + 2(a1, a2)(b1, b2). (4)
Но в силу (З):
(a1b1, a2b1) = (a1, a2)(b1, b1); (a1b2, a2b2) = (a1, a2)(b2, b2).
Тогда из (4) следует
(a1b1, a2b2) + (a1b2, a2b1) = 2(a1, a2)(b1, b2),
что и требовалось доказать.
Лемма 3. В нормированной линейной алгебре с единицей имеет место равенство
(аb) = (b, b)а. (5)
Докажем это равенство для случая b 1 . По следствию из леммы 1 тогда для любого х А имеет место х = k1 + b, откуда при х = b следует k = 0. В этом случае
= - b.
Рассмотрим элемент с = (ab) - а, где = (b, b).
В силу свойств скалярного произведения имеем:
(с, с) = ((аb) - а, (аb) - а) =((аb) , (ab) ) + 2(a, а)- 2 ((ab) , а). (6)
Упростим первое слагаемое в правой части равенства (6):
((аb) , (ab) ) = (ab, аb)( , ) = (а, а)(b, b)( , ) = (a, а)(b, b)2 = 2(а, а).
Для упрощения третьего слагаемого в правой части равенства (6) воспользуемся тождеством (1), записав его в виде:
(а1b1, а2Ь2) = 2(а1, a2)(b1, b2) - (a1b2, a2b1).
Положив a1 = ab, b1 = , a2 = a, b2 = 1, получим:
((аb) , a) = 2(ab, а)( , 1) - (ab, а ). (7)
Так как
b 1, то ( , 1) = (-b, 1) = -(b, 1) = 0.
Далее:
-(ab, а ) = -(ab, а(-b)) = (ab, ab) = (a, a)(b, b) = (а, а).
Тогда:
((аb) , а) = (а, а).
Отсюда в равенстве (6) получаем:
(с, с) = 2(а, а) + 2(а, а) - 2 2(а, а) = 0.
Так как (с, с) = 0, то с = 0, или (ab) - а = 0, откуда
(аb) = а = (b, b)a.
Если b не ортогонален 1, то b = k1 + b/, где b/ 1. Тогда
= k1 - b/ и (аb) = (а(k1+ b/))(k1- b/) = k2а - (ab/)b/ = k2а + (аb/) /.
Так как по доказанному выше:
(аb/) /.= ( /, /)а, то (аb) = k2a + (b/, b/)a = [k2 + (b', b')]a = (b, b)a,
так как
(b, b) = (k1+ b/, k1+ b/) = k2(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k2 + (b', b')
в силу того, что (1, 1) = 1 и (b/ , 1) = 0, так как b/ 1.
Следствие 1. В нормированной линейной алгебре с единипей имеет место равенство
(ах) +(ау) = 2(х,у)а. (8)
Подставим в тождество (5) вместо b сумму х + y. Тогда
(а(х + у))( ) = (х + у, х + у)а (а(х + у))( + ) = ((х, х) + (у, у) + 2(х, у))а (ах) + (ау) + (ах) + (ау) = (х, х)а+(у, у)а + 2(х, у)а.
В силу тождества (5):
(ax) = (х, х)а, (ау) = (у, у)а.
Тогда:
(ах) + (ау) = 2(х, у)а,
что и требовалось доказать.
Следствие 2. Нормированная линейная алгебра с единицей является альтернативной линейной алгеброй.
Если в равенстве (5) (ab) = (b, b)a положить а = 1, то получается b = (b, b)l = (b, b). Тогда (ab) = a(b ), откуда следует, что (ab)b = a(bb).
Аналогично можно доказать, что b(ba) = (bb)a.
Отсюда следует, что алгебра является альтернативной линейной алгеброй.
п. п. 6.2 Теорема Гурвица
Пусть - линейная алгебра с единицей. Согласно Лемме 1 каждый элемент а А однозначно представляется в виде
а = k1+ а', где k R и а' 1.
В алгебре введем операпию сопряжения: элемент, сопряженный элементу а, есть элемент ā = k1- а' Если а = kl, то а' = 0 и ā = k1, т.е. ā = а. Если же а 1, то ā = - а.
Имеют место:
а) ā = а;
б) ( ) = = = (k+l)1-(a/ + b/) = (k1 – a/)(l1 – b/).
Пусть - подалгебра алгебры ,содержащая 1 и не совпадающая с .Выберем в В базис 1, i1, i2, … in, такой, что i1 1, i2 1, … in 1. Тогда любой элемент b B имеет вид: b = bо + b1i1 + b2i2 + … + bnin , а сопряженный ему элемент b = b0 - b1i1 - b2i2 - … - bnin, откуда и В.
Пусть е - единичный элемент, ортогональный В, т.е. для любого b В имеет место e b.
Рассмотрим множество В + Be = {b1 + b2e|b1, b2 В}. Покажем, что есть снова подалгебра алгебры .
Лемма 4. Подпространства и ортогональны друг другу, т.е. для любых u1, u2 B имеет место u1 u2e.
Для доказательства этого факта в тождестве (1) положим вместо
а1 = u1, b1 = u2, a2 = e, b2 = 1.
Тогда
(u1u2, e) + (u1, eu2) = 2(u1, e)(u2, 1).
Так как u1, u2 В, то u1u2 В, а тогда u1u2 e, u1 e.
Значит,
(u1, u2e) = 0, (u1, e) = 0.
Тогда:
(u1, u2e) = 0, т.е. u1 u2e.
Теорема 1.
Представление любого элемента из В + Be в виде u1+ u2e, где u1, u2 В, единственно.
Пусть
u1 + u2e = u1/ + u2/e u1 - u1/ = (u2/ - u2)e,
откуда следует, что v=u1 - u1/ принадлежит одновременно двум ортогональным подпространствам В и Be. Тогда (v, v) = 0, откуда v = 0. Следовательно, u1 - u1/ = 0 и (u2/ - u2)e = 0. Из второго равенства либо u2/ - u2 = 0, либо е = 0. Но е ≠ 0, следовательно, u2/ - u2= 0. Тогда u1 = u1/ и u2 = u2', т.е. представление элемента из В + Be в виде u1 + u2e единственно.
Лемма 5. Для любых u, v А имеет место
(ue)v = (u )e. (9)
Воспользуемся тождеством (8) из следствия к лемме 3, положив в нем а = u, х = е, у = . Тогда:
(ue)v + (u ) = 2(е, )u.
Так как е, то
(е, ) = 0 и (ue)v + (u ) = 0.
Но = -е, так как е 1, тогда:
(ue)v + (u )(- е) = 0 (ue)v = (u )e.
Лемма 6. Для любых u, v A имеет место
u(ve) = (vu)e. (10)
Если в том же равенстве (8) положить а = 1, х = u, у = ve, то получаем:
(1*u)ve + 1*( )ū = 2(u, ) * 1 u(ve) + ( )ū = 2(u, ).
Так как u ve, то u , = -ve, в силу того, что из ve В следует ve 1. Следовательно,
u(ve) + (-ve)ū = 0 u(ve) = (ve)ū.
Воспользовавшись равенством (9), получаем, что (ve)ū = (vu)e. Тогда:
u(ve) = (vu)e.
Лемма 7. Для любых u, v А имеет место
(ue)(ve) = - u. (11)
Прежде всего убедимся, что если формула (11) верна при v = с и при v = d, то она имеет место и при v = c + d. Действительно, если
(uе)(се) = - u и (ue)(de) = - u, то
ue((c + d)e) = (ue)(ce + de) = (ue)(ce) + (ue)(de) = - u - u = - ( + )u.
Так как для любого v В имеет место v = k1+ v/, где v/ 1, то докажем равенство (11) по отдельности для k1 для v/. Тогда на основании сделанного выше замечания, равенство (11) будет справедливо и для v.
Итак, пусть v = k1, откуда (11) принимает вид:
k(ue)e == -ku (ue)e = -u -(ue) = -(e, e)u (uе) =u,
которое верно в силу равенства (5), если учесть, что = -е и (е, е) = 1.
Пусть теперь v l. Тогда = -v. Полагая в том же равенстве (8) а = u, х = е, у = -ve, получаем:
(ue)(ve) + (u(-ve)) = 2(е, - ve)u (ue)(ve) - (u(ve)) = -2(е, ve)u. (12)
Но (е, ve) в силу тождества (3) равно (1, v)(e, e) = 0, так как по условию v 1. В ситу (10) второе слагаемое в последнем равенстве (12) равно
-(u(ve)) = -((vu)e) = -vu = u (ue)(ve) = - u.
Теорема 2. Для любых u1 +u2e В+Be и v1 + v2e В+Be имеет место равенство:
(u1 + u2e)(v1 + v2e) = (u1v1 – 2u2) + (v2u1 + u2 1)e. (13) (13)
Воспользовавшись равенствами (9), (10) и (11), получаем:
(u1 + u2e)(v1+ v2e) = u1v1 + (u2e)v1 + u1(v2e) + (u2e)(v2e) = u1v1 + (u2 1)e + (v2u1)e - 2u2 = (u1v1 - 2u2) + (v2u2 + u2 1)e.
Теорема З. Любая подалгебра алгебры ,содержащая единицу и не совпадающая со всей алгеброй ,ассоциативна, т.е. для любых u, v, w А имеет место (uv)w = u(vw).
Снова воспользуемся равенством (8), положив в нем а =ve, х = , у = ūe. Тогда
((ve) )(-ue) + ((ve)(ūe))w = 2( , ūe)(ve).
Так как
( , ūe) = ( *1, ūe) = 0
в силу того, что *1 ūe, то
((ve) )(-ūe) +((ve)(ūe))w = 0.
Применив равенства (9) и (10), получаем:
u(vw) - (uv)w = 0, откуда (uv)w = u(vw).
Замечание: Так как алгебра содержит единицу, то в ней имеется подалгебра, состоящая из элементов вида k1, где k R. Эта подалгебра изоморфна алгебре действительных чисел, обозначим ее D. Если в предыдущих рассуждениях в качестве В взять подалгебру D, то е будет любой вектор длины 1, ортогональный к 1.
Из формулы (13) тогда следует, что
е2 = (0 +1* е)(0 +1* е) = (0* 0 - * 1) + (1* 0 + 1* )е = -1 + 0* е = -1.
Отсюда можно сделать вывод, что квадрат любого вектора a1 1 равен 1, где ≤ 0.
Докажем и обратное: если квадрат какого-либо элемента равен 1, где ≤ 0, то этот элемент ортогонален 1. В самом деле, квадрат любого элемента, не ортогонального 1, т.е. элемента вида а = k1+a/ где k ≠ 0 и a/ 1, равен
(k1+ a/)(k1 + a/) = k21 + а'2 + 2ka/ = k21 + 1 + 2k a/.
Если это выражение пропорционально 1, то а/ = 0, следовательно, а = kl, но квадрат k1 не может равняться 1, где ≤ 0.
Отсюда следует, что элементы, ортогональные 1, и только они характеризуются тем свойством, что их квадраты равны 1, где ≤ 0. Тогда для произвольного элемента а А берется его единственное представление в виде
а = k1+a/, где а/2 = 1 и ≤ 0,
а сопряженный ему элемент в виде ā = k1 - a'
Теорема Гурвица. Любая нормированная линейная алгебра, с единицей над полем действительных чисел изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплексных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Пусть - нормированная линейная алгебра с единицей над полем действительных чисел, а - ее подалгебра, содержащая 1, е B, где е - единичный вектор. Как мы показали ранее, является подалгеброй алгебры (A, +, .R, .). Из теорем 1 и 2 следует, что .изоморфна удвоенной подалгебре .
Рассмотрим подалгебру , изоморфную полю действительных чисел (R, +, .). Если она не совпадает со всей алгеброй ,то найдется единичный вектор е D. Составим подалгебру , изоморфную удвоению , а следовательно, изоморфную полю комплексных чисел. Назовем ее комплексной подалгеброй алгебры . Из того, что сказано выше о сопряжении в алгебре , вытекает , что для элементов из D + De сопряжение совпадает с обычным сопряжением комплексных чисел.
Если, в свою очередь, подалгебра ,где С = D + De, не совпадает со всей алгеброй ,то опять-таки найдется единичный вектор е/ С. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную телу кватернионов. Назовем ее кватернионной подалгеброй алгебры . Из вышесказанного о сопряжении в алгебре следует, что для элементов из С+Се/ сопряжение с впадает с обычным сопряжением в теле кватернионов.
Если, в свою очередь, подалгебра , где К = C+Ce', не совпадает со всей алгеброй , то снова найдется единичный вектор е" K. Составим подалгебру изоморфную удвоению , а следовательно, и изоморфную алгебре октав.
Но эта подалгебра , где U = К + Ке// совпадает уже c самой алгеброй ,так как по теореме 3 любая подалгебра алгебры , содержащая 1 и не совпадающая со всей алгеброй , ассоциативна. А так как умножение октав не ассоциативно, а в ее подалгебре (теле кватернионов) оно ассоциативно, то подалгебра совпадает со всей алгеброй .
Резюмируя вышеизложенное, мы получаем, что если алгебра не изоморфна ни одной из алгебр , или , то она изоморфна алгебре октав ,что и доказывает утверждение теоремы Гурвица.
§7. Обобщенная теорема Фробениуса
Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.
Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а A пропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре . В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре .
Из определения ā непосредственно следует, что = а, а также =kā, где k R.
Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, .R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а A тоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что а совпадает с ā.
Элементы а и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ā = 2а* 1, где а R, (14)
а* ā = d*1, где d R. (15)
Элементы а и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ ã = 2а1* 1, где а1 R, (14')
а * ã = d1 *1, где d1 R. (15/)
Вычтем из (14) и (15) соответственно (14/) и (15'). Тогда:
ā - ã = 2(a – a1)*1.
а (ā - ã) = (d- d1)* 1 2(a – a1)a*1.= (d- d1)* 1.
Если
a(ā - ã), то a = *1,
т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.
Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры .
Точно так же |а|2 = аā как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры , так , что модуль элемента а A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры .
Тогда для любых a, b А справедливы равенства:
=ā+ и = ā * . (16)
Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры , то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры .
Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что = bā, откуда
a + bā = с* 1, где с R.
Определим в (A, +, .R, .) скалярное произведение (а, b) как
a + bā = 2(а, b) * 1.
Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:
1) (а, а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0.
В самом деле,
(а, а) * 1 = (аā + аā) = аā = |а|* 1,
а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠ 0 и равен 0 при а = 0.
2) (a, b) = (b. а), так как
a + bā = 2(a, b)* 1, bā + a = 2(b, a)* 1,
но
a + bā = bā + a , тогда (a, b) = (b, a).
3) (a, kb) = k(a, b) при k R.
Действительно,
(a, kb) = (a( ) + kbā) = (a(k ) + kbā) = k (a + bā) = k(a, b).
4) (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2)
следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).
Из (а, а) = |а|2 1 следует, что = |а|, т.е. норма элемента a А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.
Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то
|ab|2 = |a|2 |b|2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).
Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.
Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Так как по доказанному в предыдущей теореме альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей является нормированной линейной алгеброй, а последняя по теореме Гурвица изоморфна либо полю действительных чисел, либо полю комплексных чисел, либо телу кватернионов, либо алгебре октав, то отсюда следует утверждение теоремы.
Список литературы
-
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический анализ в задачах и упражнениях (числовые и функциональные ряды). М.: Факториал, 1996, 477с.
-
Власова Е.А. Ряды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002, 608с.
-
Воробьев Н.Н. Теория рядов: Учебное пособие для втузов. М.: Наука, 1986, 408с.
-
Демидович Б.П., Марон И.А. Основы высшей математики. М.: Наука, 1986, 364с.
-
Зайцев В.В., Рыжов В.В., Сканави М.И. Элементарная математика. М.: Наука, 1984, 400с.
-
Никольский С.М. курс математического анализа: Учеб. для вузов: В 2 т. Т.1. М.: Наука, 1990, 528с.; Т.2. М.: Наука, 1991, 544с.
-
Шмелев П.А. Теория рядов в задачах и упражнениях. М.: Высш.шк., 1983, 176с.