teoria_mzhg_ekz (Теория к экзамену по МЖГ (3 семестр, гидравлика для Энерго)), страница 3

Трехчлен в скобках- это полный дифференциал давления.

(2.6a)

Уравнение (2.6а.) выражает изменение давления dP при изменении координат на dх, dу и dz в случае равновесия жидкости под действием поля сил тяжести и сил инерции переносного движения.

Если рассмотреть действие в абсолютном покое на жидкость только силы тяжести, и направить ось z вертикально вверх (рис.2.4), то Х = У = 0, Z = - g для этого случая равновесия жидкости получим

dP = - ρg*dz

После интегрирования будем иметь

P = - ρg*z + C

Постоянную интегрирования найдем, подставив параметры свободной поверхности для которой при Z = Z₀ , Р=Р₀. Получим

С= Р₀+ ρg*Z₀

P= Р₀ + (Z₀ -Z) ρg

Z+P/ (ρg) = Z₀ + P₀/ (ρg) = const

Р = P₀ + ρgh

13. Прямолинейное равномерное движение сосуда с жидкостью.

При прямолинейном движении с постоянным ускорением цистерны с жидкостью на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют силы инерции, при этом свободная поверхность жидкости принимает новое положение равновесия - положение относительного покоя.

Относительным покоем называется состояние равновесия жидкости под действием сил тяжести и инерции в подвижном сосуде.

Основное свойство поверхностей равного давления: равнодействующая массовых сил всегда нормальна к ним. Это свойство следует из дифференциала давления

Если вдоль некоторых поверхностей изменение давления равно нулю, дифференциальное уравнение такой поверхности равного давления

Этот трехчлен определяет элементарную работу единичных массовых сил X,У,Z на перемещениях dх, dy, dz.

Из равенства нулю дифференциала давления следует, что работа элементарных массовых сил вдоль поверхности равного давления равна нулю, следовательно, силы перпендикулярны перемещениям.

По наклонной плоскости под углом α к горизонту движется сосуд вверх с ускорением а, оси координат: Х- горизонтальная, Z – вертикальная. Рассмотрим действие сил на частицу жидкости массой δm, располагающуюся на поверхности жидкости, на оси симметрии сосуда. Частица находится под действием единичных массовых сил, можно сказать, что она находится в поле массовых сил. Можно рассматривать любую частицу жидкости на свободной поверхности, т.к. вся жидкость находится в поле действия массовых сил, но удобно взять именно среднюю точку, т.к. в ней легко определяются Х₀,У₀, кроме массовых сил на поверхности жидкости действует давление Р₀.

Уравнение движения материальной точки в относительном покое имеет вид

где F- равнодействующая активных сил, R- равнодействующая реакции связей, a – абсолютное ускорение точки. Это уравнение можно переписать в виде

где Ф = -ma. Эту силу Ф называют даламберовой силой инерции или просто силой инерции. Силы образуют сходящуюся систему и это уравнение можно рассматривать, как условие равновесия сил.

Принцип Даламбера: при движении материальной точки в любой момент времени приложенные к ней активные силы и реакции связей вместе с силой инерции образуют систему сил эквивалентную нулю.

Для выяснения условий равновесия системы рассмотрим силы, действующие на частицу. На частицу жидкости массой δm действует сила тяжести частицы и суммарная массовая сила F, проекции которой на оси F_x, F_y, F_z

F = F_x+F_y+F_z = δm*а

F/δm = F_x/δm +F_y/δm +F_z/δm = X +Y + Z = а.

Все составляющие этой суммы являются векторными величинами.

В соответствии с принципом Даламбера, прикладываем к массе частицы единичные силы инерции j и тяжести g. Единичная сила инерции j = - a направлена в сторону противоположную ускорению а. Суммарная единичная массовая сила q, действующая на частицу жидкости, будет суммой векторов сил инерции j и силы тяжести g.

Проекции единичных массовых сил, в которые входит и сила тяжести на оси

Y=0

При подстановке этих проекций в дифференциал давления, получим

Проинтегрировав этот дифференциал, получим выражение для давления

При начальных условиях: х₀, z₀, P_o, получим

Давление в любой точке жидкости, находящейся в относительном покое при прямолинейном равноускоренном движении:

На произвольной поверхности равного давления Р → const, поэтому дифференциал давления dp=0. Дифференциальное уравнение поверхности

( )dz)=0

После интегрирования

( )dz) + C₁ =0

Изменяя начальные условия - С1, получаем в жидкости поверхности равного давления параллельные свободной поверхности (изобарические). Определяем С1, подставив начальные условия х₀, z₀

С1 = a Cosα x₀+ (a Sinα + g)* z₀

Подставив найденное значение С1, получаем уравнение свободной поверхности

Связав в этом уравнении координаты z и x, получим уравнение прямой линии, как проекции свободной поверхности на вертикальную плоскость, β – угол наклона этой линии к оси х, связанной с сосудом

Для определения положения свободной поверхности жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно и равноускорено к уравнению (4.18) нужно добавить уравнение объемов, т. е. нужно знать первоначальный объем жидкости в сосуде и выразить его через размеры сосуда В и уровень Н жидкости в нем. Используя величины В и Н найдем Х_о, У_о.

15. Равномерное вращение сосуда с жидкостью.

При вращении открытого цилиндрического сосуда с жидкостью с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси силы трения о стенки вращающегося сосуда будут увлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретет угловую скорость сосуда, находясь по отношению к сосуду в покое. Свободная поверхность жидкости изменится.

Рассматривая равновесие частицы жидкости, приложим к ней единичные массовые силы в виде g - ускорения силы тяжести и ω² r - центробежного ускорения.

Проекции единичных массовых сил на оси координат:

Подставляя проекции в уравнение поверхности равного давления:

После интегрирования:

При начальных условиях в вершине параболоида свободной поверхности X =Y = 0, z= Z₀, z= Z₀, С = gZ₀.

Уравнение свободной поверхности

Высота параболоида, получается из этой формулы

Поверхности равного давления образуют семейство параболоидов, сдвинутых по вертикальной оси. Каждому значению р на оси соответствует свой параболоид, положение которого определяют начальные условия. Эти поверхности будут конгруэнтными относительно оси Oz, то есть их можно совместить, изменив их положение в пространстве.

Подставим проекции единичных массовых сил в дифференциал давления

вынесем знак дифференциала за скобки

проинтегрировав, получим

Общим является определение С₁ при начальных условиях, соответствующих любой точке поверхности параболоида. Если известно давление Р₀ в некоторой точке, координаты которой r0 (x₀, y₀), z₀ , где давление Р = Р₀.

Если точка с P=Р₀ соответствует x₀=y₀=0, z=z₀

Высота параболоида может быть определена по формуле

Объем параболоида, касающегося дна, равен половине объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н, такой же объем занимает пространство W’ под параболоидом.

Если параболоид касается верхнего края цилиндра, высота жидкости в цилиндре до начала вращения Н делит высоту параболоида Н_п на две равные части, нижняя точка (вершина) параболоида расположена по отношению к основанию.

Кроме того, высота Н делит параболоид на две части, объемы которых равны W2=W1.

1. Если сосуд открыт, P_o=Р_атм (рис.4.8а). Вершина параболоида при вращении опускается ниже начального уровня-Н, а края поднимаются над начальным уровнем, положение вершины

2. Если сосуд заполнен полностью, прикрыт крышкой, не имеет свободной поверхности, находится под избыточным давлением Р_о>Р_атм, поверхность (П.П.), на которой Р_о=Р_атм будет находиться над уровнем крышки на высоте h_0и=М/ρg , H₁=Н+ М/ρg

3. Если сосуд заполнен полностью, находится под вакуумом Р_о<P_атм, до вращения поверхность П.П., на которой Р_о=Р_атм будет находиться под уровнем крышки на высоте h_0и=-V/ρg, Н₂=Н-V/ρg.

При вращении сосуда с жидкостью с большой угловой скоростью силой тяжести можно пренебречь по сравнению с центробежными силами. Поверхности уровня образуют цилиндры с общей осью, вокруг которой вращается сосуд. Если сосуд перед началом вращения не полностью заполнен, давление Р0 будет действовать по радиусу r = r0.

Кинематика и динамика жидкости

Основные понятия.

Задачей кинематики жидкости является определение скорости в любой точке жидкой среды, т. е. нахождение поля скоростей.

Установившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и не зависят от времени.

р= f (х, у, z ); V= f (х, у, z ).

Примером установившегося течения может служить истечение жидкости из сосуда, в котором поддерживается постоянный уровень или движение жидкости в трубопроводе, создаваемое центробежным насосом с постоянной частотой вращения вала.

Неустановившимся называется течение жидкости, при котором давление и скорость являются функциями координат и времени. Примерами неустановившегося течения жидкости могут служить истечение жидкости из сосуда через отверстие в дне при переменном напоре или движение в напорной линии поршневого насоса, поршень которого совершает возвратно-поступательное движение.

Потоком жидкости называется движущаяся масса жидкости, ограниченная твердыми поверхностями, поверхностями раздела жидкостей или свободными поверхностями. Потоки делятся на напорные, безнапорные, и гидравлические струи.

Напорные потоки ограничены твердыми поверхностями, например, поток в трубе, все сечение которого заполнено жидкостью, стенки испытывают давление со стороны потока, отличающееся от давления окружающей среды. Труба работает полным сечением под напором. Безнапорные потоки ограничены частично твердой свободной поверхностью. Поток в траншее или трубе, работающей неполным сечением. Гидравлические струи ограничены только газообразной или жидкой средой.