Курсач - пример (АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ), страница 5

Чтобы убедиться в правильности полученных результатов, выполним проверку:

1. Определим из найденных решений значения i₁(T/2_–) и i₁(T/2₊). Согласно закону коммутации, i₁(t) = i_L(t) не может измениться скачком, т.е. i₁(T/2_–) = i₁(T/2₊): i₁(T/2_–) = 0,331 А, i₁(T/2₊) =
= 0,3305 А — равенство соблюдается с достаточной точностью.

2. Изменение входного напряжения u₁₂(t) в момент t = T/2 на (–2U₁₂) = – 40 B может уравновесить в данной схеме только напряжение на индуктивность, так как остальные напряжения скачком измениться не могут, следовательно, u_L(T/2₊) – u_L(T/2_–) = – 40. Проверим, используя найденные решения: u_L(T/2₊) = u₁₂(T/2₊) –
– u_С(T/2₊) – i₁(T/2₊)(R₁ + R₃) = – 39,765 В, u_L(T/2_–) = 0,248 В, u_L(T/2₊) –
– u_L(T/2_–) = –39,765 – 0,248 = –40,013 В — результаты совпадают с достаточной точностью. При первой коммутации изменение напряжения на индуктивном элементе U_L должно равняться 20 В (проверьте!).

Расчет электрической цепи в квазиустановившемся режиме

Пример 8. Для схемы четырехполюсника (рис. 17) рассчитать в квазиустановившемся режиме работы закон изменения напряжения на выходе четырехполюсника, если на входе действует последовательность разнополярных импульсов (рис. 18, а).

Рис.17

Решение. При квазиустановившемся режиме наблюдается установившийся переходный процесс, т.е. периодический процесс, обладающий для всех t свойствами периодичности f (t) =
= f (t + T ).

Полярность входного напряжения изменяется в точках t =
= nT/2, где n = 1, 2, 3 ... Назовем момент каждого изменения полярности напряжения моментом коммутации. В течение периода происходят две коммутации, поэтому переходный процесс разбивается на два временных интервала: первый — [0₊; T/2_–], второй — [T/2₊; T_–]. Так как процесс повторяется через период, то момент времени [nT_–] соответствует [0_–], а [(n + 1)T₊] — [T₊].

Решение системы дифференциальных уравнений внутри каж­дого интервала содержит некоторое число неизвестных постоянных интегрирования. Эти постоянные интегрирования определяются путем сопряжения («припасовывания») решений на границах смежных интервалов с учетом начальных условий. Решения для токов в индуктивных элементах и напряжении на конденсаторах схемы «сшиваются» на границах интервалов без разрывов, согласно законам коммутации. Решения для других напряжений, токов и их производных, которые могут иметь разрывы в момент коммутации, «сшиваются» на границах интервалов с учетом их изменения в момент коммутации.

Составим систему уравнений состояния схемы:

u₁(t) = R₁i₁(t) ++ u_C(t) + u_L(t),

0 = u_C (t) + R₁i₁(t) – R₂i₂(t), i₀(t) = i₁(t) + i₂(t), ⁽³⁾

где R₂ = R¢₂ + R²₂. Система уравнений (3) в общем виде справедлива на интервале времени от 0 до ¥. Так как в моменты коммутации t = nT/2 структура схемы и значения ее параметров не изменяются, то характер переходного процесса, определяемый корнями характеристического уравнения, остается неизменным на всем интервале переходного процесса. Изменение значения u₁(t) приводит к изменению значений постоянных интегрирования в выражениях для токов и напряжений. Например, если корни действительные, отрицательные и различные, то решение в общем виде для любого тока или напряжения в заданной схеме должно быть записано так:

на первом интервале y_k1 = A₁exp( p₁t) + A₂exp( p₂t) + y_k1вын; (4)

на втором y_k2 = В₁exp[ p₁(t – T/2)] + В₂exp[ p₂(t – T/2)] + y_k2вын. (5)

Второй индекс в обозначении y_k указывает на его принадлежность к интервалу.

Определим изменения токов и напряжений на границе первой коммутации t_k = 0. Следует помнить, что все токи и напряжения перед временем коммутации t_k обозначаются y(t_k–), а сразу после коммутации — y(t_k+).На основании законов коммутации u_C1(0₊) =
= u_C2(T_–); i₀₁(0₊) = i₀₂(T_–) и, следовательно, Du_C1 = u_C1(0₊) – u_C2(T_–) = 0; Di₀₁ = i₀₁(0₊) – i₀₂(T_–) = 0. Вычтем из уравнений системы (3) для
t = 0₊ уравнения системы для t = T_– и получим разности токов и напряжений, характеризующие их изменения:

Обозначим полученные разности: u_L1(0₊) – u_L2(T_–) = Du_L1; i₁₁(0₊) –
– i₁₂(T_–) = Di₁₁; i₂₁(0₊) – i₂₂(T_–) = Di₂₁.

Запишем систему уравнений в разностях для первой коммутации: 2U =Du_L1 + R₁Di₁₁; 0 = R₁Di₁₁ – R₂Di₂₁; 0 = Di₁₁ + Di₂₁. Из нее определим разности токов и напряжений — зависимые начальные значения разностей токов и напряжений при первой коммутации:

i₁₁ = 0; i₂₁ =0; u_L1 = 2U. (6)

Найдем таким же образом изменение токов и напряжений на границе второй коммутации t = T/2, помня, что u_C2 = 0 и i₀₂ = 0:

Обозначим разности: u_L2(T/2₊) – u_L1(T/2_–) = Du_L2; i₁₂(T/2₊) –
– i₁₁(T/2_–) = Di₁₂; i₂₂(T/2₊) – i₂₁(T/2_–) = Di₂₂.

Запишем систему уравнений для второй коммутации в разностях: –2U = Du_L2 + R₁Di₁₂, 0 = R₁Di₁₂ – R₂Di₂₂, 0 =Di₁₂ + Di₂₂. Отсюда найдем зависимые начальные значения разностей токов и напряжений при второй коммутации:

Di₁₂ = 0, i₂₂ = 0, Du_L2 = –2U. (7)

Полученные разности позволяют определить постоянные интегрирования для тока в индуктивности и напряжения на емкости заданной схемы. Для определения постоянных интегрирования других токов и напряжений необходимо найти изменение производных этих величин в моменты коммутации. Это приведет к усложнению и увеличению объема расчетов. Поэтому в этом методе целесообразно определить токи и напряжения на реактивных элементах, а затем, если это возможно, по законам Кирхгофа определить все другие токи и напряжения.

Запишем решение для тока i₀(t) = i_L(t) и его производной u_L(t) =
= Ldi_L(t)/dt на интервалах в соответствии с выражениями (4) и (5).

Первый интервал [0₊; T/2_–]: u₁₁ = U,

i_01вын = U/R₂, u_L1вын = 0 — эти вынужденные значения получены из системы уравнений (3) для t = ¥ при условии, что u₁₁ = сonst.

Второй интервал [T/2₊; T_–]: u₁₂ = – U,

i_02вын = –U/R₂, u_L2вын = 0.

Проведем сопряжение решений на интервалах для тока i₀ и напряжения u_L, используя значения разностей (6), (7):

(8)

Получили систему алгебраических уравнений (8) в общем виде с неизвестными постоянными интегрирования.

Расчет i₀(t), u_L(t) и выходного напряжения u₂(t) проведем для значений параметров заданной схемы (см. рис. 18): R₁ = 15 Ом,
= 1 Ом, = 4 Ом, L = (100/21) мГн, C = (5/21)×10³ мкФ.

Для определения корней составим характеристическое уравнение: p² + (R₁R₂C + L) / [(R₁ + R₂)LC] p + R₂ / [(R₁ + R₂)LC] = 0. Введем обозначения (R₁R₂C + L) / [2(R₁ + R₂)LC] = 500, _ R₂ /
/ [(R₁ + R₂)LC] = 21×10⁴. Определим корни: p_1,2 = – ±^ 
–500 ±200, p₁ = – 300 с^–1, p₂ = – 700 с^–1. Корни действительные, различные, отрицательные — процесс апериодический, т.е. записанные решения (4) и (5) в общем виде соответствуют этим корням.

Подставим в уравнения системы (8) значения корней и параметров схемы:

Решая эту систему относительно A₁, A₂, В₁, В₂ найдем A₁ =
= 5,0365, A₂ = –13,501, В₁ = 5,0365, В₂ = 13,501.

Теперь можем записать окончательное решение для i₀(t), u_L(t) на интервалах:

Напряжение u₂(t) на выходе четырехполюсника найдем согласно закону Кирхгофа: u₂(t) = (u₁(t) – u_L(t)) /R₂ = 0,8[u₁(t) – u_L(t)]:

Для проверки результатов расчета из найденных решений определим значение разности напряжения u_L(t) на границе первой коммутации: u_L1 = [u_L1(0₊) – u_L2(T_–)] = 38,808 – (– 2,186) = 39,994 » » 40 В, что соответствует с достаточной точностью значению действительной разности (6) u_L1 = 40 В.

Н а рис. 18 с соблюдением масштаба построены графики u₁(t), i₀(t), u₂(t) и u_L(t).

Рис. 18

Расчет электрической цепи частотным методом
при несинусоидальном воздействии

Расчет линейной электрической цепи при периодическом несинусоидальном воздействии на основании принципа суперпозиции проводится для каждой составляющей воздействия (после разложения его в ряд Фурье) отдельно, так, как если бы в цепи действовала только эта составляющая. Расчет цепи для постоянной составляющей проводится так же, как в случае, когда к цепи подключен источник постоянного напряжения.

При расчете цепи для отдельных гармонических составляющих следует пользоваться символическим методом (методом комплексных амплитуд). Для k-й гармоники комплексное сопротивление ветви, содержащей последовательно соединенные элементы R, L и C, Z^(k) = R + jk₁L – j/(k_C), где __/ T = f — частота основной (первой) гармоники, k — номер гармоники (k =
= 1, 2, 3, ...).

Выбранный метод расчета цепи (по законам Кирхгофа, контурных токов и т.д.) для одной гармонической составляющей не зависит от метода расчета той же цепи для другой гармоники. Из выражения для комплексной передаточной функции W( j) =
= Y( j) / X( j) = Y_m( j) / X_m( j), определяемой как отношение комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) электрических величин на выходе и входе цепи в заданном режиме работы, следует, что при заданном гармоническом воздействии
u_вх = U_mвхsin(t +_u выходное напряжение можно определить следующим образом: U_mвых = W( j)U_mвх = W( )U_mвхexp[ j(_uвх 

Так как периодическое несинусоидальное воздействие имеет дискретный спектр с частотами k_, то при действии на вход цепи k-й гармоники появится реакция с частотой k_, амплитудой U_mвых = W(k_)U_mвх и начальной фазой _uвых = [_uвхk_ Здесь W(k_) — модуль, k_ — аргумент коэффициента передачи по напряжению цепи на частоте k_.

Суммируя все выражения для мгновенных значений гармоник, включая постоянную составляющую выходного напряжения, согласно принципу суперпозиции будем иметь выражение для выходного напряжения.