Курсач - пример (АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ), страница 2

где I_k —действующее значение тока в k-й ветви; Z_k — комплексное сопротивление ветви; I ^* — сопряженный комплекс I.

Д
ля данной схемы при указанных направлениях источников, выбранных направлений токов в ветвях и напряжении U_fa на источнике тока имеем: å S_и = E₂ I^*₂ + E₃ I ^*₃ + U_fa J ^*₁ = (–300 – j300) ´ (2 + j2) + (500 +j500)(2 – j2) + (200 – j400)( j4) = 3600 – j400; åS_п= I ²₁(Z₁ + Z₇) +I ²₂ Z₂ + I ²₃ Z₃ + I ²₄ Z₄ + I ²₅ Z₅ + I ²₆ Z₆ = 16
´ (30 +20) + 8(–j150) + 8(150 +j100) + 16 (100) + 8(–j100) +
+ 8( j100) = 3600 – j400. Таким образом, баланс мощностей сходится, а значит, расчет проведен верно.

Запишем мгновенные значения тока i₃ и напряжения u_L3(t) на индуктивности L₃, представляющей собой первичную обмотку трансформатора. Комплексной амплитуде тока I_3m = (2 + j2) =
= 4 exp( j45°) соответствует мгновенное значение тока i(t) =
= 4 sin(10³t + 45°). Комплексному действующему значению напряжения U_L3 = I₃ jX_L3 = (2 + j2)( j100) = –200 + j200 = 200 ´
´ exp( j45°) соответствует мгновенное значение напряжения u_L3(t) = 400sin(10³t + 135^°). Кривые мгновенных значений токов i(t) или i(t), напряжений u(t) или u(t), построенные в декартовой системе координат (рис. 5), называются волновыми или временными диаграммами.

Рис. 5

Определим значения взаимных индуктивностей М₃₈ и М₃₉, необходимых для получения на вторичных обмотках линейного трансформатора заданных значений U₁ и U₂ (см. рис. 2). Пусть требуется получить напряжения U₁ = 5 B, U₂ = 10 B. Так как U₁ =
= X_m38 I₃ = w M₃₈ I₃, а I₃ = 2 , то M₃₈ = U₁ /(wI₃) = 5/(10³ 2 ) =
= 1,25 = 1,77 мГн. При рассчитанном значении взаимной индуктивности комплексное значение напряжения на входных зажимах повторителя напряжения U₁ = jwM₃₈ I₃ = j10³ ´ 1,25 10^–3 ´ (2 + j2) = 5exp ( j135°). (Для проверки правильности записи равенства для U₁ необходимо задаться направлением тока I₈ в L₈, записать уравнение для U₁ с учетом магнитных связей, а затем принять I₈ = 0, так как ОУ считается идеальным). Мгновенное значение напряжения u₁ = 5 sin (10³t + j135°). Заданный коэффициент связи позволяет определить значение индуктивности L₈ вторичной обмотки трансформатора. Так как k₃₈ = M₃₈ / , то, например, при k₃₈ = 0,5 L₈ = M ²₃₈ / / (k ²₃₈ L₃) = (1,25 ×10^–3)² / (0,5²×100×10^–3) = 0,125 мГн. Аналогично: M₃₉ = U₂ / (wI₃) = 10 / (10³×2 ) = 2,5 = 2,54 мГн, при k₃₉ = 0,5 L₉ = M ²₃₉ / (k ²₃₉L₃) = (2,5 ×10^–3)² / (0,5²×100×10^–3) = 0,5 мГн, U₂ = – jwM₃₉ I₃ = – j10³ ´ 2,5 ×10^–3(2 + j2) = 10 exp(–j45°) u₂ = 10 sin (10³t – j45°). Напряжение u₂ на индуктивности L₉ находится в противофазе с напряжением u₁ на L₈ (см. схему включения обмоток ТР на рис. 2).

Пример 2. Рассчитать ток I₃ в первичной обмотке трансформатора (см. рис. 2) методом эквивалентного источника.

Рис. 6

Данный метод расчета основан на теореме об эквивалентном источнике (источнике напряжения или тока) [1–4]. В соответствии с этой теоремой ток в любой ветви m–n сколь угодно сложной электрической цепи (рис. 6, а) не изменится, если электрическую цепь, к которой подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником энергии, который может быть представлен последовательной (источником напряжения — рис.

6, б) или параллельной (источником тока — рис. 6, в) схемой замещения.

Э
ДС идеального источника напряжения в последовательной схеме замещения должна быть равна напряжению на разомкнутых зажимах m–n схемы; ток идеального источника тока в параллельной схеме замещения равен току, протекающему между зажимами m–n, замкнутыми накоротко; внутреннее сопротивление и внутренняя проводимость эквивалентного источника должны быть равны соответственно входному сопротивлению и входной проводимости пассивной электрической цепи (источники замещены их внутренним сопротивлением) со стороны разомкнутых зажимов m–n. Эта теорема лежит в основе метода эквивалентного источника.

Решение. Расчет неизвестного тока I₃ для исходной схемы (см. рис. 3) выполним методом, например, эквивалентного источника напряжения. Найдем параметры E _ЭГ и Z _вн, учитывая, что обмотка трансформатора с индуктивностью L₃ =100 мГн включена между точками а–е.

А. Схема для определения E_ЭГ показана на рис. 7. Направление напряжения U_{ae xx} совпадает с направлением неизвестного тока I₃. Из уравнения, составленного по методу контурных токов, I₁₁(Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) – I ₂₂ Z ₆ = 0 при условии, что I ₂₂ = J ₁ = –j4, определяем токи I₁₁ = 4, I¢₄ = I ₁₁ = 4, I¢₂ = I ₂₂ = –j4. Теперь из уравнения U_{ae xx} + I¢₄ Z₄ + I¢₂ Z₂ = E ₂ + E ₃, составленного согласно второму закону Кирхгофа для правого контура, находим E_ЭГ = U_{ae xx} = 400 + j400.

Рис. 7 Рис. 8

Б. Схема для определения внутреннего сопротивления генератора Z _вн = Z _{ае вх} показана на рис. 8 - здесь источники замещены их внутренним сопротивлением: Z _вн = R₃ + R₂ + Z ₄ (Z ₅ + Z ₆) /
/ (Z ₄ + Z ₅ + Z ₆) = 150 – j150.

На основании метода эквивалентного источника напряжения определяем: I ₃ = E _ЭГ/(Z _вн + Z_L3) = (400 + j200)/(150 – j150 + j100)
= 2 + j2, что соответствует ранее рассчитанному значению тока.

Расчет четырехполюсника

Пример 3. Для схемы рис. 9 рассчитать токи и напряжения методом входного сопротивления, построить их векторные диаграммы. В схеме заданы: u _вх = 40 sin(10³t +p/2) B, R₁ = X_C1 =
= X_C2 = R₃ = X_L3 = 10 Ом.

Решение. Обозначим точки соединения элементов схемы и токи. Выберем условно положительные направления токов в соответствии с рис. 9. Ток в неразветвленной части схемы I₁ = U _вх / Z _вх, где Z _вх — комплексное входное сопротивление схемы, Z _вх = R₁ – jX_C1 + [–j X_C2(R₃ + j X_L3)] / [R₃ + j(X_L3 – X_C2)] = 10 –j10 + [–j10(10 + j10)] / [10 + j(10 –10)] = (20 – j20) Ом.

Комплексное действующее значение входного напряжения U_вх = j40 B. Общий ток I₁ = j40/(20 – j20) = –1 + j = exp135°. Токи в параллельных ветвях выразим через ток I₁: I₂ = I₁Z₃ / (Z₂ +
+ Z₃) = (–1 + j)(10 + j10) / (–j10 + 10 + j10) = – 2 = 2exp( jp), I₃ =
= I₁Z₂ / (Z₂ + Z₃) = (–1 + j)(–j10) / 10 = 1 + j = exp( jp/4).

Построим векторную диаграмму — совокупность векторов токов или напряжений на комплексной плоскости с учетом их взаимной ориентации по фазе. Ток в неразветвленной части схемы равен геометрической сумме токов I ₁ = I ₂ + I ₃. Векторная диаграмма токов с учетом выбранного масштаба m_I = 0,5 A/см представлена на рис.10, а.

Для построения векторной диаграммы напряжений рассчитаем напряжения на отдельных элементах (участках) схемы
(см. рис. 9). Направления напряжений принимаем совпадающими с направлением токов в соответствующих элементах. Рассчитаем падение напряжения на элементах схемы: U_R1 = U_ed = R₁ I₁ =
= 10 и совпадает по фазе с током I₁; U_C1 = U_dc = X_C1 I₁ = 10 , но отстает по фазе от тока I₁ на угол /2; U_R3 = U_cb = R₃I₃ =
= 10 и совпадает по фазе с током I₃; U_L3 = 14,1 и опережает по фазе ток I₃ на угол p/2; напряжение U_ca = X_C2 I₂ = 20 и отстает по фазе от тока I₂ на угол p/2.

Рис. 9 Рис. 10

Геометрическая сумма U_R1 + U_C1 + U_R3 + U_L3 = U_вх = U_ea, а сумма U_R3 + U_L3 равна по модулю падению напряжения на емкости С₂ — U_ca. Кроме того, эта векторная сумма равна выходному напряжению четырехполюсника.

Векторная диаграмма напряжений показана на рис.10, б (m_U
= 8 B/см). Мгновенные значения тока i₁ и выходного напряжения u_вых: I₁ = exp( j3p /4) i₁ = 2 sin(10³t + 3p/4), U_вых = j20 u_вых
= 20 sin(10³t + /2). Сдвиг по фазе между выходным и входным напряжениями = _вых –_вх = /2 – /2 = 0, а отношение действующих значений U_вых / U_вх = 20/40 = 0,5.

Расчет передаточной функции
и частотных характеристик цепи

Динамические свойства линейных устройств можно описать передаточной, переходной или импульсной характеристиками, которые, в свою очередь, описывают поведение цепей (устройств) соответственно в частотной и временной областях. При этом оба представления совершенно равносильны и взаимно дополняют друг друга, а переход от одного к другому осуществляется с помощью прямого и обратного преобразования Фурье и Лапласа. Частотные и временные характеристики удобно определять с помощью операторного метода. Для этого находят передаточную функцию цепи.

Передаточная функция линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами W(s) равна отношению преобразования Лапласа Y(s) реакции цепи y(t) к изображению Х(s) входного воздействия x(t), вызвавшему эту реакцию, при нулевых начальных условиях: W(s) = Y(s) / Х(s) = (b_m s^m + b_m–1 s^m–1 + … +b₀)
/ (a_n sⁿ + a_n–1 s^n–1 + … + a₀). При этом условно предполагают, что в схеме действует один источник. Передаточная функция представляет собой аналитическую дробно-рациональную функцию комплексного аргумента s = j, где m и n — степени (порядок) полиномов числителя и знаменателя (m £ n). Вид полиномов B(s) и A(s) и их коэффициенты зависят от структуры цепи и параметров ее элементов.

Если требуется определить частотные характеристики цепи, переходят от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, приняв s = j и получают комплексную передаточную функцию (коэффициент передачи) W( j) = Y( j) / X( j) = Y_m( j) / X_m( j), определяемую как отношение комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) электрических величин на выходе и входе цепи в заданном режиме работы. Размерность комплексного коэффициента передачи W( j) определяется схемой и соотношением реакций цепи и входного воздействия. Так, например, передаточная функция по напряжению равна W_U ( j) = U_вых / U_вх и является безразмерной величиной.