Курсач - пример (АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ), страница 3

В общем виде W( j) можно представить в виде отношения двух комплексных полиномов в алгебраической или показательной форме:

W(j) = b(j)/a(j) =

= [B₁() + jB₂()] / [A₁() + jA₂()] =

= exp[ j arctg (B₂ /B₁)] / exp[ j arctg (A₂ /A₁)]} =

= B() exp [ j_B() ] /{A() exp [(j_A()]} =

= [B() /A()] exp j[_B() – _A()] = W() exp [j()],

где B₁(Re [b( j А₁(Re [a( j B₂(Im [b( j А₂(m[a( j W(w) = B() / A() — модуль передаточной функции, называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ); _B() – _A() — аргумент передаточной функции, или фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Передаточная функция может быть представлена также в виде суммы двух полиномов: W( jw) = P(w) + jQ() = ´
´ exp [ jarctg(Q/P) = W(w) exp [ j], где Р() — вещественная, а Q() — мнимая частотные характеристики. Но этот путь более трудоемкий, особенно при определении знака ФЧХ.

При расчете ФЧХ следует помнить, что если значение действительной части комплексного полинома отрицательно, то вектор на комплексной плоскости расположен или во второй ее четверти, или в третьей — это зависит от знака мнимой части комплексного полинома: при положительном — во второй, при отрицательном — в третьей.

Для обозначения передаточных функций используют также и другие обозначения, например K( jw), H( jw).

При определенном значении _k комплексная передаточная функция W( j_k) представляет собой вектор на комплексной плоскости s = j и характеризуется амплитудой W(_k) и фазой _k). При изменении частоты w амплитуда и фаза вектора W( j) будут изменяться, а его конец будет описывать на плоскости кривую, представляющую собой амплитудно-фазовую характеристику. Геометрическое место точек на комплексной плоскости, соответствующих концу вектора комплексной передаточной функции W( j) при изменении частоты от нуля до бесконечности, называется годографом (амплитудно-фазовой характеристикой).

Частотные характеристики позволяют косвенно, т.е. без решения дифференциальных уравнений, описывающих схему (систему), судить о прохождении сигнала, об устойчивости схемы и ряде других показателей качества, а также определить ее реакции на гармоническое воздействие. При подаче на вход сигнала x(t) установившаяся гармоническая величина на выходе определяется произведением входной функции на комплексный коэффициент передачи, т.е. Y( j) = W( j) X( j), откуда |Y | = W()|X |, _y_x +
+ , где _x — начальная фаза гармонического воздействия.

Пример 4. Для схемы четырехполюсника (см. рис. 2) найти выражение передаточной функции по напряжению при разомкнутых выходных зажимах. Построить амплитудно-частотную, фазочастотную характеристики и годограф.

Решение. Для определения передаточной функции составим уравнение цепи: u_вх = Ldi/dt + Ri + u_вых или в операторной форме (независимые начальные условия нулевые) U_вх(s) = sLI(s) +
+ RI(s) + U_вых(s). Так как I(s) = U_вых(s) / (1/sC) = sCU_вых(s), то
U_вх(s) = s²LCU_вых(s) + sRCU_вых(s) + U_вых(s). Тогда операторная передаточная функция будет иметь вид W_U(s)=U_вых(s) /U_вх(s) = 1 /
/ (s ²LC + sRC + 1) = (1 / LC)[1 / (s ² + (R / L)s + 1 / (LC))]. Введем обозначения: 1 / LC = , R / (2L) = . В соответствии с обозначениями W_U (s) = _s² + 2s +  Характеристическое уравнение s² + 2s + 0имеет корни s_1,2 = –  = – R/(2L) ±
± . При R = 0 (0) s_1,2 = ± j = ± j₀ где ₀ — частота незатухающих колебаний.

Комплексную передаточную функцию легко получить из операторной при замене s на j: W( j) = / [( ^^j2 Полином знаменателя запишем в показательной форме: W( j
_ /{ exp [–jarctg 2/( ^^= W(w)exp [ j]. Отсюда W( / = 1/ — АЧХ, arctg [2/( ^^jarctg [RC/(1 – ^LC)] — ФЧХ.

Пусть в схеме (см. рис. 2) заданы параметры: R = 50 Ом, L =
= 250 мГн, С = 80 мкФ. Запишем выражения операторной и комплексной передаточных функций с учетом численных значений коэффициентов: W_U(s) = 5×10⁴/(s² + 200s + 5×10⁴), W( j) = 5×10⁴ /
/ [(5×10⁴ – ^+ j 200. Отсюда АЧХ и ФЧХ: W() = 5×10⁴ /
/ _arctg [200_/ (5×10⁴ – ^)].

По полученным выражениям АЧХ и ФЧХ рассчитаем их значения в контрольных точках для фиксированных частот _k (0;/10;/2;; ;) и ₀, где = 10³ — частота источника гармонических колебаний. Они равны: 0, W(0), (0) = 0;
= 100 с^–1, W(100) = 1,2; (100) = –26,5°; = ₀ = 100 с^–1,   1000 с^–1, W(1000)  0,0121; 1000168°.На рис. 11 построены АЧХ, ФЧХ и годограф.

Рис. 11

Пример 5. Для схемы четырехполюсника (рис. 12) определить АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению.

Рис. 12

Решение. Определяем W(j = U₂ /U₁ = j0,5LI / U₁ = j0,5LU₁ /
/{U₁ [jL + R/(jC) / [R + 1/( jC)]} = j0,5L/[jL + R/(1 + jRC)] =
= j0,5L(1 + jRC)/[ jL/(1 + jRC) + R] = j0,5L(1+ jRC) / [(R –
– ^RLC) + jL]. Записываем комплексные полиномы числителя и знаменателя W(j в показательной форме:

W( j= [0,5L exp( j/2)]{ exp [ jarctg (RC)]} /
/{ exp [jarctg (L / (R – ^RLC ))]}.

Отсюда АЧХ W(0,5L / , а ФЧХ = /2 + arctg(RC) – arctg [L/(R – ^RLC)] = /2 +
+ __

Частотные характеристики изображены качественно на рис. 13. В зависимости от параметров элементов схемы W(может иметь вид 1 или 2. Следует обратить внимание на выражение для _: для >1/ значения числителя и знаменателя функции arctg будут отрицательными, и в этом диапазоне частот электрические углы следует определять по формуле _ =
= – + arctg [L / (^RLC – R)] = –  arctg(L / | R – ^RLC |).

Рис. 13

Расчет переходной и импульсной характеристик цепи

Чтобы судить о возможностях электротехнических устройств, принимающих и передающих входные воздействия, прибегают к исследованию их переходных и импульсных характеристик.

Переходная характеристика h(t) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения в виде единичной ступенчатой функции 1(t) или 1(t – t₀) при нулевых начальных условиях (рис. 14). Размерность переходной характеристики равна отношению размерности реакции к размерности воздействия. Она может быть безразмерной, иметь размерность Ом, Сименс (См).

Рис. 14

Импульсная характеристика k(t) линейной цепи, не содержащей независимых источников, численно равна реакции цепи на воздействие единичного импульса в виде (t) или (t – t₀) функции при нулевых начальных условиях. Ее размерность равна отношению размерности реакции к произведению размерности воздействия на время, поэтому она может иметь размерности с^–1, Ом×с^–1, См×с^–1.

Импульсную функцию (t) можно рассматривать как производную единичной ступенчатой функции (t) = d1(t)/dt. Соответственно, импульсная характеристика всегда является производной по времени от переходной характеристики:

k(t) = h(0₊)(t) ++ dh(t)/dt. Эту связь используют для определения импульсной характеристики. Например, если для некоторой цепи h(t) = 0,7e^–100t, то k(t) = 0,7(t) – 70e^–100t. Переходную характеристику можно определить классическим или операторным методом расчета переходных процессов.

Между временными и частотными характеристиками цепи существует связь. Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции цепи: Y(s) = W(s)×X(s), т.е. передаточная функция содержит полную информацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от ее входа к выходу при нулевых начальных условиях. При этом характер воздействия и реакции соответствуют тем, для которых определена передаточная функция.

Передаточная функция для линейных цепей не зависит от вида входного воздействия, поэтому она может быть получена из переходной характеристики. Так, при действии на входе единичной ступенчатой функции 1(t) передаточная функция с учетом того, что 1(t) = 1/s, равна W(s) = L[h(t)] / L[1(t)] = L[h(t)] / (1/s), где L[f(t)] — обозначение прямого преобразования Лапласа над функцией f (t). Переходная характеристика может быть определена через передаточную функцию с помощью обратного преобразования Лапласа, т.е. h(t) = L^–1[W(s)(1/s)], где L^–1[F(s)] — обозначение обратного преобразования Лапласа над функцией F(s). Таким образом, переходная характеристика h(t) представляет собой функцию, изображение которой равно W(s) /s.

При действии на вход цепи единичной импульсной функции (t) передаточная функция W(s) = L[k(t)] / L[(t)] = L[k(t)] / 1 =
= L[k(t)]. Таким образом, импульсная характеристика цепи k(t) является оригиналом передаточной функции. По известной операторной функции цепи с помощью обратного преобразования Лапласа можно определить импульсную характеристику: k(t) W(s). Это означает, что импульсная характеристика цепи единственным образом определяет частотные характеристики цепи и наоборот, так как W( j) = W(s)_{s = j}. Поскольку по известной
импульсной характеристике можно найти переходную характеристику цепи (и наоборот), то последняя тоже однозначно определяется частотными характеристиками цепи.

Пример 6. Рассчитать переходную и импульсную характеристики цепи (рис. 15) для входного тока и выходного напряжения при заданных параметрах элементов: R = 50 Ом, L₁ = L₂ = L = 125 мГн,
С = 80 мкФ.

Рис. 15

Решение. Примéним классический метод расчета. Характеристическое уравнение Z_вх = R + pL +
+ 1 / (pC) = 0 при заданных параметрах элементов имеет комплексно-сопряженные корни: p_1,2 = – ± j_св = – 100 ± j200, что определяет колебательный характер переходного процесса. В этом случае законы изменения токов и напряжений и их производных в общем виде записывают так:

y(t) = (M сos_свt + N sin_свt)e^–t + y_вын; dy(t) / dt = [(–M_св) ´
´ сos _свt – (M_свsin_свt]e^–t + dy_вын / dt, где _св — частота свободных колебаний; y_вын — вынужденная составляющая переходного процесса.