Курсач - пример (АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ), страница 4
Описание файла
Документ из архива "АНАЛИЗ УСТАНОВИВШИХСЯ И ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "электротехника (элтех)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Курсач - пример"
Текст 4 страницы из документа "Курсач - пример"
Вначале найдем решение для uC (t) и iC (t) = C duC (t) / dt, воспользовавшись вышеприведенными уравнениями, а затем по уравнениям Кирхгофа определим необходимые напряжения, токи и, соответственно, переходные и импульсные характеристики.
Для определения постоянных интегрирования необходимы начальные и вынужденные значения указанных функций. Их начальные значения известны: uC (0+) = 0 (из определения h(t) и k(t)), так как iC (t) = iL(t) = i(t), то iC (0+) = iL(0+) = 0. Вынужденные значения определим из уравнения, составленного согласно второму закону Кирхгофа для t 0+: u1 = R i(t) + (L1 + L2) i(t) / dt +
+ uC(t), u1 = 1(t) = 1 = сonst, отсюда uC(¥) = uC вын = 1, iC (¥) = iC вын =
= i(¥) = 0.
Составим уравнения для определения постоянных интегрирования M, N: uC (0+) = M + uC вын (0+), iC (0+) =С(–MNсв) +
+ iC вын (0+); или: 0 = M + 1; 0 = –M 100 N 200; отсюда: M = –1,
N = –0,5. Полученные значения позволяют записать решения uC(t) и iC (t) = i(t): uC (t) = [–сos200t – 0,5sin200t)e–100t + 1] B, iC (t) = i(t) =
= [80×10–6(100100)сos200t – (–20050) sin200t)]e–100t] = 0,02 ´
´ sin200t)e–100t A. Согласно второму закону Кирхгофа, u2 (t) =
= uC (t) + uL2 (t), uL2 (t) = uL (t) = Ldi(t) / dt = (0,5сos200t – 0,25sin200t) ´
´ e–100t B. Тогда u2 (t) = (–0,5сos200t – 0,75sin200t) e–100t + 1 =
= [–0,901sin(200t + 33,69°) e–100t + 1] B.
Проверим правильность полученного результата по начальному значению: с одной стороны, u2 (0+) = –0,901 sin (33,69°) + 1 = 0,5, а с другой стороны, u2 (0+) = uС (0+) + uL (0+) = 0 + 0,5 — значения совпадают.
Определим переходные и импульсные характеристики схемы: hi (t) = i(t) / u1(t) = i(t) / (1 B) = 0,02 sin200t e–100t См; ki (t) =
= hi(0+) (t) + dhi (t) / dt = (4 сos200t – 2 sin200t) e–100t См/с; hu2 (t) =
= u2(t) / u1(t) = u2 (t) / (1 B) = [–0,901sin(200t + 33,69°) e–100t + 1] б/р, ku2 (t) = hu2 (0+) (t) + dhu2 (t) / dt = 0,5(t) + (–180,2 сos200t +
+ 90,1 sin200t) e–100t с–1.
Расчет переходных процессов
Пример 7. Рассчитать изменение тока i1 и напряжения u2 в схеме четырехполюсника (рис. 16, а) для режима холостого хода (Zн = ¥) на интервале t0 £ t £ t0 + T при подключении его к клеммам с напряжением u12 в момент t0, когда напряжение u11(t0) = 0, du11(t0)/dt > 0, т.е. в момент перехода отрицательной полуволны напряжения в положительную (рис. 16, б). Значения параметров элементов схемы и входного напряжения: R1 = 45 Ом, R2 = 8 Ом,R3 = 10 Ом, L = 50 мГн, С = 250 мкФ, u11(t) = 14,1sin(103t + /4) B, u12(t) = [20, t0+ £ t £ t0 + T/2– ; –20, t0 + T/2+ £ t £ t0+ T–], T = 6,28 × 10–3 с.
Рис. 16
Решение. Подготовим схему — выберем условно положительные направления токов и напряжений. Определим независимые начальные условия uC (t0+) и iL(t0+) из значений uC (t) и iL(t), рассчитанных до коммутации: uC (t0+) = uC (t0–), iL(t0+) = iL(t0–). Значение uC (t) и iL(t) = i1(t) рассчитаем с использованием метода комплексных амплитуд: I1m = U1m / Zвх, U1m = 14,1e j, ZвхR1 +
+ jL1 + R3 + R2(–j / C) / (R2 – j / C) = 45 + j50 + 10 + 8(–j4) / (8 – j4) =
= 56,6 + j46,8. Тогда I1m = (10 + j10)/(56,6 + j46,8) = (0,1917 +
+ j0,0182) = 0,193exp( j5,42°) i1(t) = 0,193sin(103t + 5,42°). Напряжение UCm = Zbc I1m = [R2(–j / C) / (R2 – j / C)] I1m = (1,6 –
– j3,2) ´ (0,1917 + j0,0182) = 0,365 – j0,584 = 0,689exp(–j58°)
uC (t) = 0,689sin(103t – 58°).
Определим время коммутации t0 из заданного условия u11(t0) = 0, du11(t0) / dt > 0: u11(t0) = 14,1sin(t0 + /4) = 0, отсюда t0 = –/(4 t0 =
= –/4 = – 45° Соответственно, iL(t0–) = iL(t0+) = 0,193sin(– 45° +
+ 5,42°) = – 0,123; uC (t0+) = uC (t0–) = 0,689sin(– 45° – 58°) = – 0,671.
В последующем расчете начало отсчета t0 примем за ноль, тогда iL(t0+) = iL(0+) = – 0,123 А, uC (t0+) = uC (0+) = – 0,671 В.
Характер переходного процесса зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение составим методом входного сопротивления: Z( p) = R1 + pL + R3 + (R2 / pC ) /
/ (R2 + 1 / pC) = 0. После преобразования получим Z( p) = p2 +
+ p[(R1R2C + L) / (R2LC )] + (R1 + R2) / ( R2LC ) = 0. Введем обозначения и рассчитаем = (R1R2C + L) / (2R2LC ) = 800, = (R1 + R2) /
/ (R2LC630 000 p2 + 2p + p2 + 2800p + 630 000 = 0, корни p1,2 = – ± – 800 ± = – 800 ±100, p1 =
= – 700 с–1, p2 = – 900 с–1.
На основании полученных корней запишем выражения для токов, напряжений и их производных (так как система второго порядка) в общем виде:
y(t) = yсв + yвын=A1exp( p1t) + A2exp( p2t) + yвын;
dy(t)/dt = p1A1exp( p1t) + p2A2exp( p2t) + dyвын/dt. (1)
Для определения зависимых начальных условий и установившихся значений токов и напряжений составим систему уравнений согласно законам Кирхгофа, которая будет справедлива на интервале 0+ £ t £ ¥:
u12(t) = R1i1 + uL + R3i1 + uC, uC – R2i2 = 0, i1 = i2 + i3. (2)
Первый интервал 0+ £ t £ T/2– : u12(t) = 20 В.
Найдем зависимые начальные условия для момента коммутации ключа t0+, для которого iL(0+) = i1(0+) = – 0,123 А, uC (0+) =
= – 0,671 В: i2(0+) = – 0,0839 А, i3(0+) = – 0,207 А, uL (0+) = 27,436 В.
Определим вынужденные значения (t = ¥) токов и напряжений из уравнений (2), зная, что при постоянном (не изменяющемся во времени) воздействии uL(¥) = 0, i3(¥) = iС (¥) = 0. Получим: i1(¥) = u12 / (R1 + R2 + R3) = 0,317 А, uC (¥) = i1(¥)R2 = 2,54 В.
Составим уравнения для определения постоянных интегрирования выражений i1(t) и uL(t) согласно (1): i1(0+) = A1 + A2 + i1(¥), uL(0+) = L(di1/dt)(0+) = L(p1A1 +p2A2) + uL(¥); –0,123 = A1 + A2 +
+ 0,317; 27,436 = 0,05[(–700) A1 + (– 900) A2] + 0. Решая уравнения, найдем A1 = 0,761, A2 = – 1,202. Окончательно решение для i1(t) и uL(t): i1(t) = (0,761e–700t – 1,202e–900t + 0,317) А, uL(t) = (–26,635e–700t +
+ 54,1202e–900t) В.
Аналогично, используя начальные и вынужденные значения, найдем решение для uС (t) и i3(t) = iС (t) = СduС / dt на первом интервале входного воздействия: uС (t) = (– 15,24e–700t + 12,02e–900t + 2,54) В; i3(t) = (2,665e–700t – 2,704e–900t) А; u2(t) = uС(t) + i1(t)R3 = (– 7,63e–700t +
+ 5,715) В.
Второй интервал T/2+ £ t £ T– : u12(t) = – 20 В.
Скачкообразное изменение входного напряжения в момент
t = T/2 создало новые условия для протекания переходного процесса. Методика расчета аналогична методике для первого интервала. Прежними остаются только корни, так как структура и параметры элементов схемы не изменились, а напряжение источника входного воздействия на корни не влияет.
Независимые начальные условия uC (T/2+) и iL(T/2+) = i1(T/2+) определим из uC (t) и iL(t) первого интервала: uC (T/2+) = uC (T/2–) =
= (–15,24e–700T/2 + 12,02e–900T/2 + 2,54) = 1,56, i1(T/2+) = i1(T/2–) =
= (0,761e–700T/2 – 1,202e–900T/2 + 0,317) = 0,331, T/2 = 3,14 × 10–3 с.
Зависимые начальные условия и вынужденные значения токов и напряжений вычислим, воспользовавшись уравнениями (2): i2(T/2+) = 0,195 А, i3(T/2+) = 0,136 А, uL(T/2+) = – 39,765 В; uL(¥) = 0 В, i3(¥) = 0 А, i1(¥) = i2(¥) = u12 / (R1 + R2 + R3) = – 0,317 А, uC(¥) =
= R2i2(¥) = – 2,54 В.
Решение для i1(t) и u2(t) найдем, используя uC (t) и iC (t) и уравнения (2). С учетом смещения процессов по оси времени относительно начала отсчета получим: uC (t) = uCсв + uCвын = A1 ´
´ exp[p1(t – T/2)] + A2 exp[p2(t – T/2)] + uCвын; iC(t) = CduC (t) / dt =
= Cp1A1exp[(p1(t – T/2)] + Cp2A2exp[(p2t – T/2)]+ iCвын.
При t = (T/2+): uC (T/2+) = A1 + A2 + uCвын(T/2+); iC (T/2+) = Cp1A1 +
+ Cp2A2 + iCвын(T/2+). Подставляя в эту систему начальные и вынужденные значения токов и напряжений, найдем постоянные интегрирования: – 1,56 = A1 + A2 – 2,54; 0,136 = 0,05(– 700)A1 +
+ 0,05 ´ (– 900) A2; A1 = 21,17; A2 = –17,07. Следовательно, uC (t) =
= {21,17exp[–700(t – T/2)] – 17,07exp[–900(t – T/2)] – 2,54} B;
iC(t) = i3(t) = {–3,705exp[(–700(t – T/2)] + 3,841exp[(–900(t – T/2)]} A; i2(t) = uС (t)/R2 = {2,646exp[–700(t – T/2)] – 2,134exp[–900(t – T/2)] –
– 2,54} A; i1(t) = i2(t) + i3(t) = {– 1,06 exp[–700(t – T/2)] + 1,71 ´
´ exp[– 900(t – T/2)] – 0,317} A; u2(t) = u С(t) + i1(t)R3 = {10,58 ´
´ exp[– 700(t – T/2)] – 5,715} B.