Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 14

В математике периода ислама мы видим такое смешение различных влияний, какое мы уже встречали в Александрии и в Индии'). Халифы Аббасицы, особенно алМапсур (754—775), ХаруналРашид (786—809) и алМамун (813—833), покровительствовали астрономии и математике; алМамун даже соорудил в Багдаде «Дом мудрости» с библиотекой и обсерваторией. Исламские работы в области точных наук, которые начались с перевода «Сиддхант» ал-Фазари, достигли своей первой вершины в деятельности уроженца Хивы Мухаммеда ибн Муса ал-Хорезми, творчество которого приходится на время около 825 г. Мухаммед написал много книг по математике и астрономии. В своей арифметике он разъясняет индийскую систему записи чисел. Арабский оригинал этой работы потерян, но имеется латинский перевод двенадцатого столетия. Эта книга была одним из источников, с помощью которых Западная Европа познакомилась с десятичной позиционной системой. Заглавие перевода: «Об индийском числе, сочинение Алгоризми» (А1

') Изучению истории средневековой восточной математики долгое время мешало то, что только малая часть источников имелась в переводах. Постепенно положение улучшается, хотя многие важные работы пока доступны только на русском языке.

gorizmi de numero Indozum). В других рукописях автор именовался Algorismus и Algorithm us, что ввело в наш математический язык термин «алгоритм»— латинизированное имя автора. Нечто подобное произошло с алгеброй Мухаммеда, которая была озаглавлена «Хисаб алджабр валмукабала» (буквально: «Исчисление восполнения и противопоставления»), что, вероятно, означало «науку об уравнениях». Эта алгебра, арабский текст которой сохранился, стала известной на Западе в латинском переводе, и слово «ал-джабр» стало употребляться как синоним всей науки «алгебры», которая действительно до середины девятнадцатого столетия была не чем иным, как наукой об уравнениях.

В этой «алгебре» рассматривались линейные и квадратные уравнения, но без какого бы то ни было алгебраического формализма. Не было и «риторического» алгоритма, какой имелся у Диофанта. Среди этих уравнений мы находим такие три типа:

х² +10x = 39, x² + 21 = 10x, 3x + 4 = x²

которые надо было рассматривать отдельно, поскольку допускались только положительные коэффициенты. Эти три типа в последующих текстах часто повторяются — так, «уравнение х² +10x = 39 как золотая нить проходит в течение нескольких столетий через алгебраические книги», пишет профессор Карпинский. Многие рассуждения носят геометрический характер. Астрономические и тригонометрические таблицы Мухаммеда (со значениями синуса и тангенса) тоже в числе арабских книг, которые позже были переведены на латинский. Его геометрия представляет собой простое перечисление правил измерения. Она имеет известное значение, потому что ее можно непосредственно связать с одним еврейским текстом 150 г. В ней явно сказывается пренебрежение традициями Евклида. Астрономия ал-Хорезми является извлечением из «Сиддхант», и поэтому в ней можно обнаружить определенное греческое влияние, воспринятое посредством санскритского текста. Вообще работы ал-Хорезми больше выявляют восточное, чем греческое влияние¹), и это следует отнести за счет вполне обдуманных намерений автора.

Труды ал-Хорезми в целом сыграли важную роль в истории математики как один из главных источников,

') Gandz S. The Sources of AlKhwarizmi's Algebra // Osiris.— 1936.— V. 1.— P. 263—277,

с помощью которых Западная Европа познакомилась с индийскими цифрами и с арабской алгеброй. До середины девятнадцатого столетия в алгебре сказывалось ее восточное происхождение — ей не хватало аксиоматического обоснования, и этим она резко отличалась от геометрии Евклида. В наших школьных учебниках алгебры и геометрии до сих пор сохранились эти признаки их различного происхождения.

5. Греческую традицию продолжала хранить школа ученых, добросовестно переводивших на арабский язык Аполлония, Архимеда, Евклида, Птолемея и другпх. Ставшее всеобщим применением названия «Алмагест» для «Большого собрания» Птолемея указывает на влияние арабских переводов на Запад. Благодаря этим воспроизведениям и переводам до нас дошли многие греческие классики, которые иначе оказались бы потерянными. При этом проявлялась естественная склонность подчеркивать вычислительную и практическую сторону греческой математики за счет ее теоретической части. Арабская астрономия²) особенно интересовалась тригонометрией — слово «синус» является латинским переводом арабского написания санскритского слова «джива». Значения синуса соответствовали полухорде двойного угла (Птолемей применял полную хорду) и рассматривались как отрезки, а не как числа. Значительная часть тригонометрии содержится в работах ал-Баттани (Альбатений, Albategnius, до 858—921), одного из великих арабских астрономов, который располагал также таблицей значений котангенса для каждого градуса («umbra extensa» — «развернутая тень») и умел решать задачи, сводившиеся к применению теоремы косинусов для сферических треугольников.

Труды ал-Баттани показывают, что арабы были не только переписчиками, овладев как греческими, так и восточными методами, они вносили новое. Абу-л-Вафа (940—997/8) вывел теорему синусов сферической тригонометрии, вычислил таблицу синусов с интервалом в 15',

²) Когда мы говорим «арабская паука», «арабские ученые», мы не имеем в виду только арабов Напротив, многие арабские ученые были персами, таджиками, египтянами, евреями, маврами и т д Точно так же мы называем много европейских авторов от Боэция до Гаусса «латинскими», так как они писали по латыни Арабский язык был мея?дународным языком исламского мира, как латинский — западного, а греческий — восточного христианского мира.

значения в которой точны до восьмого десятичного знака, ввел отрезки, соответствующие секансу и косекансу, и выполнил много различных геометрических построений, применяя циркуль постоянного раствора. Он продолжал также, вслед за греками, изучение уравнений треть

Могила Омара Хайяма в Нишапуре

ей и четвертой степени. Ал-Кархи (начало одиннадцатого столетия), написавший алгебру «для подготовленных», причем он следовал Диофанту, располагал интересными результатами относительно иррациональных чисел, как, например, формулами √8 + √18 = √ 50, 54^(1/3) — 2^(1/3) = 16^(1/3). Он проявлял определенную склонность к грекам, его «пренебрежение индийской матема

93

тикой было столь явным, что должно было иметь систематический характер» ¹).

6. Нам нет необходимости прослеживать многочисленные политические и этнологические изменения в мире ислама. Они вызывали подъемы и падения в развитии астрономии и математики; одни центры исчезали, другие в течение некоторого времени процветали, но по сути общий характер исламской науки оставался без изменений. Мы укажем здесь лишь на некоторые высшие точки.

Около 1000 г. н. э. в Северной Персии появились новые правители, турки-сельджуки, государство которых процветало в районе, прилегающем к центру оросительной системы Мерву. Здесь жил Омар Хайям (ок. 1038/48—1123/24), который стал известен на Западе как автор «Рубайят» (в переводе Фицджеральда, 1859 г.). Он был астрономом и философом:

(LIX)

Я рассчитал — твердит людей молва —

Весь ход времен. Но дней ведь только два

Изъял навек я из календаря:

Тот, что не знаем — завтра, не вернем — вчера.

Повидимому, Омар имеет здесь в виду свою*) реформу старого персидского календаря, после чего календарь давал ошибку в один день за 5000 лет (1540 или 3770 лет по другим интерпретациям), тогда как наш нынешний григорианский календарь дает ошибку в один день за 3330 лет. Его реформа была осуществлена в 1079 г., по позже его календарь был заменен мусульманским лунным календарем. Омар написал «Алгебру» (полное название: «Трактат о доказательствах алгебры и алмукабалы»)—выдающееся достижение, так как в ней содержится систематическое исследование уравнений третьей степени. Применяя метод, которым иной раз пользовались греки, он определял корни этих уравнений как общие точки двух конических сечений. Он не искал числовых решений и различал — тоже в стиле греков — «геометрические» и «арифметические» решения, причем по

') Sarton G. Introduction to the History of Science, I, p. 719.

*) Или подготовленную им.

следние рассматривались как существующие лишь тогда, когда значения корней оказывались положительными рациональными числами. Таким образом, этот метод полностью отличался от метода болонских математиков шестнадцатого века, которые применяли чисто алгебраические приемы. В другой книге, в которой рассматриваются трудности у Евклида, Омар заменил аксиому параллельных целым рядом других допущений. Здесь он строил фигуры, которые можно связать с «гипотезами тупого, острого и прямого угла», как они сейчас используются в неевклидовой геометрии. Он заменил также евклидову теорию пропорций числовой теорией, причем он пришел к численному приближению иррациональностей и к общему понятию действительного числа.

После того как в 1256 г. монголы разграбили Багдад, неподалеку возник новый центр учености в виде Марагинской обсерватории, которая была построена монгольским правителем Хулагу для «нисбу’» атТуси’ (в европейской литературе чаще Насирэ(д)дин Туей, 1201— 1274). Здесь опять возникло учреждение, в котором сосредоточилась вся наука Востока и которое можно было сравнивать с научными центрами Греции. Ат-Туси отделил от астрономии тригонометрию как самостоятельную науку. Его попытки доказать аксиому о параллельных Евклида, причем он следовал ходу мыслей Омара Хайяма, показывают, что он ценил теоретический метод греков. Влияние ат-Туси ощутимо в Европе эпохи Возрождения, и еще в 1651 и 1663 гг. Джон Валлис пользовался работой ат-Туси о постулате Евклида.

Ат-Туси был продолжателем традиций Омара и в своей теории пропорций, и в новых численных приближениях иррациональных чисел.

Другой персидский математик, ал-Каши (первая половина пятнадцатого столетия) проявляет большое искусство при выполнении вычислений, вполне сравнимое с тем, чего достигли европейцы в конце шестнадцатого века. Он решал уравнения третьей степени с помощью итерации и тригонометрическим методом, знал тот метод решения общих алгебраических уравнений высших степеней, который теперь носит имя схемы Горнера и обобщает метод извлечения корней более высокого порядка из обычных чисел (тут вероятно китайское влияние), В его трудах мы находим формулу бинома для любых положительных целых показателей. Наряду с шестидесятичными дробями он применяет десятичные дроби с

запятой (например, 25,07, помноженное на 14,3, записывается как 358,501), а число л было известно Каши с 16 десятичными знаками.

В Египте выдающейся личностью был Ион алХайсам (Алхазен, ок. 965—1039), крупнейший мусульманский физик, «Оптика» которого имела большое влияние на Западе. Он решил «Задачу Алхазена», в которой требуется из двух точек на площади круга провести прямые так, чтобы они встретились в точке окружности и в этой точке образовали равные углы с нормалью. Эта задача приводит к уравнению четвертой степени, она была решена в греческом духе с помощью пересечения гиперболы с окружностью. Алхазен применял также метод исчерпывания для вычисления объемов тел, которые получаются при вращении параболы вокруг какоголибо ее диаметра или ординаты. За сто лет до Алхазена в Египте жил алгебраист Абу Камил, который продолжал труды алХорезми. Он оказал влияние не только на ал-Кархи, но и на Леонардо Пизанского.

Другой центр учености существовал в Испании. В Кордове жил один из самых выдающихся астрономов ал-Заркали (Арзахел, ок. 1029 г.— до примерно 1087г.), наилучший наблюдатель своего времени и составитель так называемых Толедских планетных таблиц. Тригонометрические таблицы этого труда, который был переведен на латинский язык, оказали определенное влияние на развитие тригонометрии в эпоху Возрождения.

Хотя как почти вся математика Дальнего Востока, так и значительная часть исламской математики создавались в традиционном алгоритмическо-алгебраическом духе, они представляли собой существенное продвижение по отношению к античным методам. Лишь к концу шестнадцатого столетия Западная Европа достигла того же уровня.