Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 16

Глава V

ЗАПАДНАЯ ЕВРОПА. НАЧАЛО

1. Наиболее развитой частью Римской империи как экономически, так и культурно всегда был Восток. Земледелие Запада было экстенсивным, никогда не имело в своей основе орошения, и это не содействовало астрономическим исследованиям. Действительно, Запад очень хорошо обходился минимумом астрономии, известным объемом практической арифметики и некоторыми приемами измерения для целей торговли и землемерия, стимулы же для развития этих наук шли с Востока. Когда Восток и Запад оказались политически разобщенными, такие стимулы почти полностью исчезли. Малоподвижная цивилизация Западной Римской империи сохранялась в течение ряда столетии лишь с незначительными изменениями или разрывами. Средиземноморское единство античной цивилизации тоже оставалось нетронутым, даже варварские вторжения не очень сказались на нем. Во всех германских королевствах, за исключением, пожалуй, британского, экономические условия, общественные установления и интеллектуальная жизнь в основном сохранялись такими, какими они были во время упадка Римской империи. Основой хозяйственной жизни было земледелие, причем рабы постепенно заменялись свободными земледельцами и арендаторами, но, кроме того, существовали процветавшие города и широко развитая торговля на основе денежного обращения. Главным авторитетом в грекоримском мире после падения Западной империи в 476 г. были на равных правах константинопольские императоры и римские папы. Католическая церковь Запада своими учреждениями и своим языком продолжала в меру своих возможностей культурные традиции Римской империи в германских государствах. Монастыри и образованные миряне в известной мере сберегали грекоримскую цивилизацию. Один из таких мирян,

дипломат и философ Аниций Манилий Северин Боэций (Boethius), был автором математических произведений, чей авторитет сохранялся в западном мире в течение более чем тысячи лет. На этих работах сказалось общее состояние культуры — они бедны содержанием, и то, что они сохранились, быть может, объясняется убеждением, что их автор в 524 г. погиб как мученик за католическую веру. Его «Основы арифметики» (Institutio arithmetica) — поверхностный перевод Никомаха, содержащий частично теорию чисел пифагорейцев, что вошло в средневековую науку как часть старинного тривиума и квадривиума: арифметика, геометрия, астрономия и музыка.

Трудно указать то время, когда на Западе экономика древней Римской империи исчезла и уступила место новому феодальному порядку. В какой-то мере этот вопрос разъясняется, если принять гипотезу Пиренна¹), а именно, что конец древнего западного мира наступил с экспансией ислама. Арабы лишили Византийскую империю всех ее провинций на восточных и южных берегах Средиземного моря и превратили восточную часть Средиземного моря в закрытое мусульманское озеро. На несколько столетий они чрезвычайно затруднили торговые связи между Ближним Востоком и христианским Западом. Пути интеллектуального общения между арабским миром и северными частями бывшей Римской империи в течение столетий были загромождены, хотя никогда не были перекрыты полностью.

В эту эпоху во франкской Галлии и в других бывших частях Римской империи хозяйственная деятельность широкого масштаба постепенно сворачивается, города приходят в упадок, доходы от налогов становятся незначительными. Денежное обращение вытесняется обменом, преобладает местная торговля. Западная Европа приходит в полуварварское состояние, С упадком торговли возрастает значение земельной аристократии, и крупные североафриканские землевладельцы, возглавляемые Каролингами, становятся решающей силой в стране франков. Экономические и культурные центры перемещаются к северу, в северную Францию и в Британию. Отделение Запада от Востока настолько ограничивает реальную власть пап, что папство объединяется с Каролингами, символом чего было коронование Карла Великого в 800 г. как императора Священной Римской империи. Западное

') Pirenne H. Mahomet et Charlemagne.—Paris, 1937,

общество стало феодальным и церковным, его ориентация была северной и германской.

2. В течение первых столетий западного феодализма даже в монастырях не очень высоко ставят математику. В земледельческом обществе этого периода, вновь ставшем примитивным, почти что отсутствовали факторы, которые содействовали бы развитию математики даже непосредственно практического характера. Математика в монастырях сводилась всего лишь к скромной арифметике церковного назначения, которой пользовались главным образом для вычисления пасхалий (так называемый «компутус» ¹). Боэций был высшим авторитетом. Известное значение среди этих математиков-церковников приобрел уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Великого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания ума юношей» (см. с. 87) содержат подборку задач, имевшую влияние на составителей учебников в течение ряда столетий. Многие из этих задач восходят еще к древнему Востоку. Например:

«Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит кролика?»

«Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?»

Другим математиком-церковником был Герберт, французский монах, который в 999 г. стал папой, приняв имя Сильвестра II. Под влиянием Боэция он написал несколько трактатов, но его значение как математика обусловлено в основном тем, что он был одним из первых западных ученых, ездивших в Испанию и изучавших математику арабского мира.

3. В развитии западного, восточного и раннего греческого феодализма имеются существенные различия. Экстенсивный характер западного земледелия делал излишней обширную систему бюрократической администрации, так что это не могло послужить основой для деспотизма восточного типа. На Западе не было возможности в широкой мере обеспечить пополнение рабов. Когда села Западной Европы вырастали в города, эти города превра

¹) Computus (лат ) — расчет, вычисления.

103

щались в самоуправляющиеся единицы и горожане не могли вести праздную жизнь, используя труд рабов. Это одна из основных причин, в силу которых греческие полисы и западные города, на начальных стадиях имеющие много общего, в дальнейшем становятся резко отличными друг от друга. Население средневековых городов должно было полагаться на свою собственную изобретательность в деле улучшения условий своей жизни. В двенадцатом, тринадцатом и четырнадцатом столетиях города выходят победителями в ожесточенной борьбе прошв феодалов-землевладельцев, сочетавшейся с гражданскими войнами. Основа их успехов — не только быстрое развитие торговли и денежного хозяйства, но и по степенное усовершенствование техники. Феодальные князья часто поддерживали города в их борьбе с более мелкими феодалами и при возможности устанавливали свою власть над городами. В конечном счете это повело к возникновению в Западной Европе первых национальных государств.

Города начали устанавливать коммерческие связи с Востоком, который все еще был центром цивилизации. Такие связи устанавливались иногда мирными средствами, иногда насильственным путем, как во времена крестовых походов. Первыми наладили торговые связи итальянские города, за ними последовали города Франции и Центральной Европы. За купцом и за солдатом следовали ученые, а иногда они были первыми. Испания и Сицилия были самыми близкими пунктами соприкосновения между Западом и Востоком, именно здесь западные купцы п студенты познакомились с цивилизацией стран ислама. Когда в 1085 г. Толедо был отвоеван христианами у мавров, студенты западных стран толпами устремились в этот город, чтобы изучать науку арабов. Они часто пользовались услугами переводчиковевреев, а в двенадцатом столетии мы видим в Испании Платона из Тиволи, Герардо из Кремоны, Аделарда из Вата и Роберта из Честера — все они переводят на латинский язык арабские математические рукописи. Именно так, через посредство арабов, Европа познакомилась с греческими классиками, а к этому времени Западная Европа была достаточно развита, чтобы оценить это знания.

4. Как мы уже сказали, первые могущественные коммерческие города возникли в Италии. Здесь в течение двенадцатого и тринадцатого столетий Генуя, Пиза, Венеция, Милан и Флоренция вели обширную торговлю

с арабским миром и с Севером. Итальянские купцы дали Восток и знакомились с его цивилизацией. Путешествия Марко Поло доказывают бесстрашие этих искателей приключений. Как ионийские купцы почти за две тысячи лет до этого, они стремятся познакомиться с наукой и искусствами более древней цивилизации не только для того, чтобы повторять их, но и для того, чтобы использовать их в своей собственной новой системе. А в двенадцатом и тринадцатом столетиях мы видим уже рост банковского дела и зачатки капиталистической формы производства.

Первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы, Леонардо, которого называли также Фибоначчи (сын Боначчо»), путешествовал по Востоку как купец. Вернувшись, он написал свою «Книгу абака» ¹) (Liber abaci , 1202 гг.), заполненную арифметическими и алгебраическими сведениями, собранными им во время путешествий. В книге «Практика геометрии» (Practica geometriae , 1220 г.) Леонардо подобным же образом рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Возможно, что он был к тому же оригинальным исследователем, так как в его книгах есть немало примеров, по-видимому, не имеющих точных соответствий в арабской литературе²). Впрочем, он цитирует ал-Хорезми, например, при рассмотрении уравнения x²+10x=39. Задача же, которая приводит к «ряду Фибоначчи»: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., каждый член которого есть сумма двух ему предшествующих,— по-видимому, является новой. Должно быть, новым является и его замечательное доказательство того, что корни уравнения x³ + 2x² + 10х = 20 нельзя выразить с помощью евклидовых иррациональностей вида (следовательно, их нельзя построить с помощью только циркуля и линейки). Леонардо доказал это, проверяя каждый из пятнадцати случаев Евклида, а затем приближенно определил положителъный корень этого уравнения, вычислив шесть шестидесятичных знаков.

') Абак — счетная доска.

²) Карпинский (Кагрinski L.С.// Amer. Math Monthly.—1914 —V. 21 —V. 37—48), основываясь на парижской рукописи, содержащей алгебру Абу Камиля, утверждает, что Леонардо в целом ряде задач следует Абу Камилю.

Ряд Фибоначчи получается при решении следующей задачи:

Сколько пар кроликов может произойти от одной пары в течение года, если а) каждая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца становится производителем, и б) кролики не дохнут?

«Книга абака» была одним из источников для про никповения индийскоарабской системы нумерации в Западную Европу. Отдельные случаи применения этой нумерации имели место за столетия до Леонардо — из Испании и с Востока ее привозили купцы, посланники, ученые, паломники и солдаты. Самый древний европейский манускрипт, содержащий числовые знаки этой системы,— это «Вигиланский кодекс» (Codex Vigilanus), написанный в Испании в 976 г. Однако эти десять знаков медленно проникали в Западную Европу, и самая ранняя французская рукопись, в которой мы их находим, относится к 1275 г. Греческая система нумерации оставалась общепринятой на побережье Адриатики в течение столетий. Вычисления часто производили на старинном абаке, доске со счетными жетонами или камушками (часто это сводилось к прямым линиям, проведенным на песке), в основном сходном со счетными досками, которыми все еще пользуются русские, китайцы, японцы. Для записи результатов вычисления на абаке в ходу были римские цифры. В течение средних веков и даже позже мы находим римские цифры в торговых книгах, и это указывает на то, что в конторах использовали абак. Против введения индийско-арабских знаков выступали и широкие круги, так как использование этих обозначений затрудняло чтение торговых книг. В установлениях «Искусства обмена» (Arte del Cambio, 1299 г) флорентийским банкирам запрещалось пользоваться арабскими цифрами. Лишь в четырнадцатом столетии итальянские купцы начали применять некоторые арабские цифры в своих счетных книгах ').

') В счетных книгах Медичи (датируемых с 1406 г.) в коллекции Селфиджа, хранящейся в Гарвардской высшей торговой школе, индийско-арабские цифры часто встречаются в так называемом описательном столбце. Начиная с 1439 г., цифры эти вытесняют римские цифры в так называемом денежном столбце книг первичной записи: журналах, расходных и др, но лишь после 1482 г они вытесняют римские цифры в денежных столбцах конторских книг всех купцов, имеющих дело с Медичи, за исключением одного.

5. Вместе с расширением торговли постепенно интерес к математике стал распространяться и на северные города. Поначалу это был практический интерес, и в течение нескольких столетий арифметику и алгебру вне университетов преподавали профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали бухгалтерии и навигации. В течение долгого времени математика такого рода хранила явные следы своего арабского происхождения, о чем свидетельствуют такие слова, как алгебра и алгоритм.