Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 12

') Папирус 620 Мичиганского университета, купленный в 1921 г., содержит много задач греческой алгебры, относящихся к периоду до Диофанта, может быть, к началу второго столетия. Некоторые символы, имеющиеся у Диофанта, встречаются в этой рукописи См Bobbins F. Б. / Classical Philology.— 1929.— V. 24.—P. 321329; Vogel К. / Classical Philology.—1930.— V. 25.— S. 373—375.

Многие результаты древних авторов известны только в той форме, в какой они сохранились у Паппа, например задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Интересна глава об изопериметрических фигурах с положением, что круг имеет большую площадь, чем любой правильный многоугольник того же периметра. Здесь есть и замечание, что пчелиные соты обладают некоторыми максимально-минимальными свойствами¹). Полуправильные тела Архимеда тоже известны благодаря Паппу. Как и «Арифметика» Диофанта, «Собрание» Паппа — книга, которая будит мысль, и ее задачи вдохновляли многих исследователей более поздних времен.

Александрийская школа медленно умирала вместе с упадком античного общества. В целом она оставалась оплотом язычества против распространявшегося христианства, и некоторые из ее математиков отмечены и в истории античной философии. Прокл (410—485), чей «Комментарий к Первой книге Евклида»— один из наших главных источников по истории греческой математики, возглавлял школу неоплатоников в Афинах. В Александрии ту же школу представляла Гипатия, которая писала комментарии к классикам математики. Она была убита в 415 г. приверженцами св. Кирилла. Ее судьба сделала ее героиней романа Чарльза Кингсли (Charles Kingsley)²). Эти философские школы вместе со своими комментаторами в течение столетий то процветали, то хирели. Академия в Афинах была закрыта императором Юстинианом как языческая (529 г.), но к тому времени возникли школы в таких местах, как Константинополь и Джунди-Шапур (Jundishapur). В Константинополе сберегались многие старые своды рукописей и комментаторы продолжали на греческом языке закреплять память о греческой науке и философии. В 630 г. Александрию взяли арабы и верхний слой греческой цивилизации в Египте был заменен арабским слоем. Нет оснований утверждать, что знаменитую александрийскую библиотеку уничтожили арабы, потому что сомнительно, существовала ли еще она в то время. Фактически арабское завоевание не изменило существенным образом характера математических исследований в Египте. Мог иметь место

') Полное изложение этого вопроса см. Thompson, D'Arcy W. Growth and Form.—2nd ed.— Cambridge, 1942.

²) См. также Voltaire. Dictiormaire Philosophique, статья Hypatie.— Oeuvres, 1819.—T. 36.—P. 458; Маутнер Ф. Гинатия.— М„ 1924.

регресс, но когда мы вновь услышим о египетской математике, окажется, что она следует древней грековосточной традиции (например, Алхазен).

15. Мы закончим эту главу некоторыми замечаниями о греческой арифметике и логистике. Греческая математика отличала арифметику или науку о числах от логистики, то есть от практических вычислений. Термин «аритмос» обозначал только натуральное число, «количество, составленное из единиц» (Евклид, VII, определение 2; это значило также, что «один» не считалось числом¹)). Нашего понятия действительного числа не знали. Поэтому отрезок прямой не всегда имел длину. Вместо наших операций с действительными числами пользовались геометрическими рассуждениями. Когда Евклиду нужно сформулировать, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, он говорит, что она равна половине площади параллелограмма с тем же основанием и лежащего между теми же параллелями (Евклид I, 41). Теорема Пифагора была зависимостью между площадями трех квадратов, а не между длинами трех сторон. В «Началах» Евклида имеется теория квадратных уравнений, но она излагается с помощью «площадей», а так как корни представляют собой отрезки, определяемые известными построениями, то можно установить, что допускались только положительные корни. Все же в «Началах» не обязательно, чтобы каждому отрезку соответствовало числовое значение. Такие представления об отрезках и числах надо считать продуманной системой, результатом победы платоновского идеализма среди той части правящего класса Греции, которая интересовалась математикой. Ведь согласно восточным представлениям той же эпохи относительно зависимости между алгеброй и геометрией никакие oграничения на понятие числа не налагались. Есть все основания полагать, что для вавилонян теорема Пифагора была числовой зависимостью между длинами сторон, и именно с такой математикой ознакомились ионийские ученые.

Обычная вычислительная математика, известная как «логистика», оставалась жизнеспособной во все периоды греческой истории. Евклид ее отвергал, но Архимед и

') Еще Стевин в свой «Арифметике» (1585 г.) вынужден бороться за признание единицы числом.

Герон ею пользовались свободно, без угрызений совести. Ее основой была система счисления, которая со временем изменилась. Ранняя греческая система счисления была десятичной и аддитивной, как египетская и римская. В александрийскую эпоху, а может быть и раньше, появляется способ записи чисел, которым пятнадцать веков пользовались не только ученые, но и купцы и чиновники. Знаки греческого алфавита последовательно применялись для обозначения сначала наших символов 1,2,..., 9, затем десятков, от 10 кончая 90, и, наконец, сотен, от 100 кончая 900 (α = 1, β= 2 и т. д.). Три архаичные буквы были добавлены к 24 буквам греческого алфавита, чтобы получить необходимые 27 знаков. С помощью такой системы любое число меньше 1000 можно было записать не более чем тремя знаками, например 14 как ιδ, так как ι= 10, δ= 4; числа, большие 1000, можно было выразить с помощью простого расширения такой системы. Ею пользуются в сохранившихся рукописях работ Архимеда, Герона и всех других классических авторов. Имеются археологические данные о том, что этой системе обучали в школах. Это была десятичная непозиционная система: как ιδ, так и δι могло значить только 14. Такое отсутствие позиционности и использование не менее чем 27 знаков иной раз рассматривались как доказательство несовершенства системы. Но то, как легко ею пользовались математики древности, и то, что греческие купцы применяли ее даже при очень сложных расчетах — в Восточной Римской империи вплоть до ее гибели в 1453 г.,— указывает, по-видимому, на наличие некоторых преимуществ. При известном опыте вычислений при такой системе мы действительно убеждаемся, что четыре основных действия можно выполнять достаточно легко, если твердо знать символы. Действия с дробями при подходягцих обозначениях тоже просты, но греки не были при этом последовательны, так как у них не было единой системы: они пользовались египетскими «основными» дробями, вавилонскими шестидесятичными дробями и записью дробей, напоминающей нашу. Десятичные дроби пе были введены, это великое усовершенствование в Европе появляется в эпоху позднего Ренессанса, когда вычислительный аппарат был развит значительно больше, чем когда бы то ни было в древности. Но даже в этих условиях десятичные дроби не были приняты во многих школах до восемнадцатого и девятнадцатого столетия.

Доказывали, что алфавитная система счисления губительно повлияла на развитие греческой алгебры, так как применение букв для определенных чисел мешало применять буквы для обозначения чисел вообще, как это делается в нашей алгебре. Надо отвергнуть такое формальное объяснение отсутствия алгебры у греков до Диофанта, даже если высоко оценивать значение подходящих обозначений. Если бы классические авторы интересовались алгеброй, они создали бы подходящую символику, что действительно начал делать Диофант.

Вопрос об алгебре у греков можно будет разъяснить только после дальнейшего изучения связей греческой математики и вавилонской алгебры в общей системе связей между Грецией и Востоком.

ЛИТЕРАТУРА

Классические греческие авторы имеются в превосходных изданиях, их главные труды переведены на европейские языки. В качестве наилучшего введения мы рекомендуем следующие книги:

Heafh Т. L. A History of Greek Mathematics.—V. 1—2.— Cambridge, 1912.

Heath T. L. A Manual of Greek Mathematics.—Oxford, 1931.

Heath T. L. The Thirteen Books of Euklid's Elements.— V. 1— 3.—Cambridge, 1908, переиздание,—N. Y., 1955.

На русском языке см.

Начала Евклида/Перевод и комментарии Д. Д. МордухайБолтовского. Книги I—VI.— М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Книги VII—X,— М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Книги XI—XV.—М.; Л.: Гостехиздат, 1950.

Архимед. Сочинения/Перевод и примечания И. Н. Веселов

ского.— М.: Физматгиз, 1962.

Архимед. Исчисление песчинок (Псаммит)/Перевод, статья и примечания Г. Н. Попова.— М.; Л:. ГТТИ, 1932.

Гейберг И. А. Естествознание и математика в классической древности/С предисловием А. II Юшкевича.— М.; Л.: ОНТИ, 1936.

Лурье С. Я Архимед.— М.; Л., 1945.

Башмакова И. Г. Дифференциальные методы в работах Архимеда / Историко-математические исследования, вып. VI.— М.: Гостехиздат, 1953.—С. 609—658.

Башмакова И Г. Лекция по истории математики в Древней Греции I/ Историко-математические исследования, вып. XI.— М.: Физматгиз, 1958.—С. 225—438.

К о л ь м а и Э. Я. История математики в древности.— М : Физматгиз, 1961.

В книгах: Историкоматематические исследования, вып. I.— М.: Гостехиздат, 1948; вып. II.— М.: Гостехиздат, 1949; вып. VIII.— М.: Гостехиздат, 1955, см. статьи о «Началах» Евклида: в книге М. Я. Выгодского (см. литературу к главе II) см. раздел III: Арифметика древних греков

Ver Eecke P. Oeuvres completes d'Archimede — Briissel, 1921,

Ver Eecke P. Pappus d'Alexandrie. La Collection mathematique.— Paris; Bruges, 1933.

Ver Eecke P. Proclus de Lycie, Les Commentaires sur le Premier Livre des Elements d'Euclide.— Bruges, 1948.

Loria G. Le scienze estatte neU'anlica Grecia,— 2od.— Milano,1914.

A 11 m a n G. J. Greek Geometry from Thales to Euclid.— Dublin,1889

G о w J. A Short History of Greek Mathematics.— Cambridge,1884.

Dijksterhuis E. J. Archimedes.— Copenhagen, 1956.

D a n t z i g T. The bequest of the Greek.— N. Y., 1955.

Blaschke W. Griechische und anschauliche Geomelrie.— Mimchen, 1953.

Becker O. Das mathematische Denken der Antike.— Gotlingen, 1957.

H a u s e r G. Geometric der Griecben von Thales bis Euklid.— Luzern, 1955.

Reidemeister K. Die Arithmetik der Griechen / Hamburger Math. Sem. (Einzelschriften).— 1939.— Bd 26.

Reidemeister K. Das exakte Denken der Griechen.— Hamburg, 1959.

Интересные работы А. Сабо, в которых оценка раннего периода древнегреческой математики основывается на анализе ее терминологии. См.

Szabo A. Anfange des Euklidischen Axiomensystems / Archiove for History of Exact Sciences,— I960,— V. 1, N 1.— P. 37—106.

Szabo A. Die fruhgilechische Proporlionlehre im Spiegel ihrer Terminologie / Archieve for History of Exact Sciences.—1965.— V. 2, N 3,— P. 197—270.

Параллельные греческие, латинские и английские тексты см. в книге:

Thomas J. Selections Illustrating the History of Greek Mathematics.— Cambridge (Mass.); London, 1939.

Дальнейшую критику текста см. в книге:

Tannery P. Pour 1'histoire de la science hellene.— 2ed.— Paris, 1930.

Tannery P. Memoirs scientifiques.— T.I—4.

V о g t H. Die Entdeckungsgeschichle des Irrationalen nach Plato und anderen Quellen des 4ten Jahrhunderts / Bibliotheca math,—1909—1910,—Bd (3) 10.—S. 97—105.

Sachs E. Die fiinf Platonischem Korper,—Berlin, 1917.

Frank E. Plato und die sogenannten Pythagoreer.— Halle. 1923.

Luria S. Die Infinitesimaltheorie der antiken Atomisten / Quellen und Studien,— 1932,— Bd 2,— S. 106—185.

В связи с последней работой см. Лурье С. Я. Теория бесконечно чалых у древних атомистов.— М.:'Л., 1935.

Wussing H. Mathematik in der Antike.—Leipzig, 1965.

H e 11 e n S. Die Entdeckung der stetigen Teilung durch die Pythagoreen / Abh. Deutsch. Akad. Wiss., Kl. f. Math. u. Phys. u. Techn.— 1958.— N 6.

Caiori F. The History of Zeno's Arguments on Motion / Amer. Math. Monthly.—1915,— V. 22, 8 статей. См. также. Isis,— 1920.— 1921.

Хороший критический обзор и сравнение гипотез относительно греческой математики см. в книге:

Dijksterhuis E. De elementen van Euclides.— T. 1—2.— Groningen, 1930.

О парадоксах Зенона см. (кроме приводимой ниже книги ван дер Вердена, с. 50) указанную выше работу Кеджори (F. Cajori).