Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

а не в Месопотамии, хотя в Вавилоне коренная математика была на более высоком уровне.

Возможно, что это было обусловлено центральным положением Египта той эпохи в средиземноморском мире. Его новая столица, Александрия, построенная на берегу моря, стала умственным и хозяйственным центром эллинистического мира. Вавилон же прозябал, как отдаленный центр караванных путей, да и вовсе сходил ее сцены — его сменил КтесифонСелевкия, новая столица империи Селевкидов. Насколько нам известно, ни один из великих греческих математиков не был когдалибо связан с Вавилоном. В Антиохии и Пергаме, тоже городах Селевкидской империи, но более близких к Средиземному морю, были важные школы греческой науки, Однако коренная вавилонская астрономия и математика как раз при Селевкидах достигли своей высшей точки, и мы только теперь начинаем лучше понимать, насколько существенно было их воздействие на греческую астрономию. Кроме Александрии, были и другие центры математической науки, прежде всего Афины и Сиракузы. Афины стали образовательным центром, а Сиракузы дали Архимеда, величайшего греческого математика.

7. В эту эпоху появился профессиональный ученый — человек, посвящающий свою жизнь развитию науки и получающий за это вознаграждение. Некоторые из наиболее выдающихся представителей такой группы людей жили в Александрии, где Птолемеи построили большой научный центр, так называемый Музей с его знаменитой библиотекой. Там сберегали и умножали научное и литературное наследие греков и добились при этом значительных успехов. Одним из первых связанных с Александрией ученых был Евклид, который является одним из наиболее влиятельных математиков всех времен.

О жизни Евклида мы не имеем никаких достоверных данных. Вероятно, он жил во времена первого Птолемея (306—283), которому, согласно преданию, он заявил, что к геометрии нет «царской дороги». Его наиболее знаменитое и наиболее выдающееся произведение — тринадцать книг его «Начал» (Stoicheia), но ему приписывают несколько других меньших трудов. Среди последних так называемые «Данные» (Data), содержащие то, что мы назвали бы приложениями алгебры к геометрии, но все это изложено строго геометрическим языком. Мы не знаем, какая часть этих трудов принадлежит самому Евклиду и какую часть составляют компиляции, но во мно

гих местах проявляется поразительная проницательность. Это первые математические труды, которые дошли до нас от древних греков полностью. В истории Западного мира «Начала», после Библии, верояшо, наибольшее число раз изданная и более всего изучавшаяся книга. После изобретения книгопечатания появилось более тысячи изданий, а до того эта книга, преимущественно в рукописном виде, была основной при изучении геометрии. Большая часть нашей школьной геометрии заимствована часто буквально из первых шести книг «Начал», и традиция Евклида до сих пор тяготеет пад нашим элементарным обучением. Для профессионального математика эти книги все еще обладают неотразимым очарованием, а их логическое построение повлияло на научное мышление, пожалуй, больше, чем какое бы то ни было другое произведение.

Изложение Евклида построено в виде строго логических выводов теорем из системы определений, постулатов и аксиом. В первую четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. Исходя из наиболее простых свойств линий и углов, мы приходим здесь к равенству треугольников, равенству площадей, теореме Пифагора (I, 47), построению квадрата, равновеликого заданному прямоугольнику, к золотому сечению, кругу и к правильным многоугольникам. В книге V изложена евдоксова теория несоизмеримых в ее чисто геометрической форме, в книге VI эта теория применена к подобию треугольников. Такое введение подобия — аа столь позднем этапе — составляет одно из наиболее существенных различий между изложением планиметрии у Евклида и современным. Приписать его следует тому значению, которое Евклид придавал новой евдоксовой теории несоизмеримых. Эти геометрические рассмотрения завершаются в десятой книге, которую многие считают наиболее трудной у Евклида. В ней дана геометрическая классификация квадратичных иррациональностей и корней квадратных из них, то есть тех чисел, которые мы представляем в виде . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. От телесных углов, объемов параллелепипедов, призм и пирамид мы доходим здесь до шара и до того, что по замыслу должно, видимо, венчать весь труд: исследования пяти правильных («платоновых») тел и доказательства, что их существует только пять,

Книги VII—IX посвящены теории чисел, но не технике вычислений, а таким «пифагорейским» вопросам, как делимость целых чисел, суммирование геометрических прогрессий, и некоторым свойствам простых чисел. Тут мы встречаем и «алгоритм Евклида» для определения наибольшего общего делителя заданной системы чисел, и «теорему Евклида», что простых чисел бесконечно много (IX, 20). Особый интерес представляет теорема VI, 27: в ней идет речь о первой из дошедших до нас задач на максимум и доказывается, что из прямоугольников заданного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пятый постулат книги I (неясно, в каком отношении находятся у Евклида «аксиомы» и «постулаты») эквивалентен так называемой «аксиоме параллельных», согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, ей параллельную. Попытки сделать из этой аксиомы теорему заставили в девятнадцатом столетии полностью оценить мудрость Евклида: это утверждение было признано аксиомой, и в связи с этим были открыты другие, так называемые неевклидовы геометрии.

Алгебраические выводы у Евклида приводятся исключительно в геометрическом виде. Выражение вида √А вводится как сторона квадрата с площадью А, произведение а • b — это площадь прямоугольника со сторонами а и b. Такой способ представления прежде всего был вызван теорией отношений Евдокса, в которой сознательно отвергались численные выражения для отрезков прямой и, таким образом, несоизмеримые рассматривались только геометрически: «числами» считались только целые числа или рациональные дроби.

Какую цель ставил себе Евклид, когда писал свои «Начала»? Мы можем с известной уверенностью полагать, что он хотел совместно изложить в одном труде три великих открытия недавнего прошлого: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и теорию пяти правильных тел, занимавших выдающееся место в космологии Платона. То были три типично «греческих» достижения.

8. Величайшим математиком эпохи эллинизма и всего древнего мира был Архимед (287—212), живший в Сиракузах, где он был советником царя Гиерона. Он — один из немногих ученых античности, которых мы знаем не только по имени: сохранились некоторые сведения о его жизни и личности. Мы знаем, что он был убит, когда

римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Подобная склонность к практическим применениям представляется нам весьма необычной, если учесть, с каким презрением к этому относились современники Архимеда из школы Платона. Однако объяснение нам дает много раз цитированное сообщение Плутарха (в жизнеописании Марцелла), а именно: «Хотя эти изобретения заслужили ему репутацию сверхчеловеческой проницательности, он не снизошел до того, чтобы оставить какое-либо писанное сочинение по таким вопросам, а, считая низким и недостойным делом механику и искусство любого рода, если оно имеет целью пользу и выгоду, все свои честолюбивые притязания он основывал на тех умозрениях, красота и тонкость которых не запятнаны какой-либо примесью обычных житейских нужд».

[4] Такая характеристика Архимеда как математика, считавшего практические применения науки стоящими вне науки, в лучшем случае — третьестепенным занятием для ученого, весьма распространена. Однако основана она, в сущности, только на том, что пишет об Архимеде Плутарх, автор сравнительно поздний (II в. н. э.), она не подтверждается более ранними авторами и не согласуется с теми, вообще слишком скудными, данными, которыми мы располагаем об Архимеде. Для историка Полибия (II в. до н. э.) Архимед обязан славой своей инженерной деятельности, для Цицерона (I в. до н. о.) Архимед прежде всего астроном, архитектор Витрувий (конец I в, до н. э.) относит Архимеда к числу тех немногих гениев, которые «сумели с помощью расчетов и знания тайн природы сделать большие открытия в механике и гномонике...». Первые работы Архимеда — работы по механике, в его более поздних работах по математике достаточно сильно выражено вычислительное направление. Нет оснований отрывать математическое творчество Архимеда от его несомненно разносторонней и систематической инженерной деятельности. А Архимеда-теоретика следует признать исключительно ярким представителем «математической физики» своей эпохи. Нам представляется вполне обоснованной та характеристика, которую дает И. Н. Веселовский: «Если придерживаться фактов, то Архимед и начал свою научную деятельность как механик, и закончил ее как механик, и в математических его произведениях механика является могучим средством для получения математических результатов, да и сами эти результаты не являются бесплодно висящими в воздухе, а применяются для обоснования механических теорий» ¹).

Наиболее важный вклад Архимеда в математику относится к той области, которую теперь мы называем интегральным исчислением: теоремы о площадях плоских фигур и об объемах тел. В «Измерении круга» он нашел

') См. вступительную статью И. Н. Веселовского в книге: Архимед. Сочинения.— М.: Физматгиз, 1962.— С. 11.

приближенное выражение для окружности, пользуясь вписанными и описанными правильными многоугольниками. Дойдя в этом приближении до многоугольников с 96 сторонами, он нашел (в наших обозначениях), что

Обычно об этом сообщают, говоря, что  примерно равно 3 1/7. В книге Архимеда «О сфере и цилиндре» мы находим выражение для поверхности сферы (в таком виде: поверхность сферы в четыре раза больше площади большого круга) и для объема сферы (в таком виде: объем сферы равен 2/3 объема описанного цилиндра). В своей книге «Квадратура параболы» Архимед дал выражение для площади параболического сегмента (4/3 площади вписанного треугольника с основанием таким же, как у сегмента, и с вершиной в точке, в которой касательная параллельна основанию). В книге о «Спиралях» мы находим «спираль Архимеда» и вычисление площадей, а в книге «О коноидах и сфероидах»— объемы некоторых тел, образованных вращением кривых второго порядка.

Имя Архимеда связано также с его теоремой о потере веса телами, погруженными в жидкость. Эта теорема находится в трактате по гидростатике «О плавающих телах».

Во всех этих трудах Архимеда поразительная оригинальность мысли сочетается с мастерской техникой вычислений и со строгостью доказательств. Характерны для этой строгости уже упомянутая «аксиома Архимеда» и постоянное использование метода исчерпывания при доказательстве его интеграционных результатов. Мы видели, что фактически он находил эти результаты более

') 3,1409 <л< 3,1429. Среднее арифметическое верхней и нижней границ дает = 3,1419. Точнее, значение л = 3,14159.,,

эвристическим путем («взвешивая» бесконечно малые), но затем он публиковал их, соблюдая самые жесткие требования строгости.

Обилие вычислений у Архимеда отличает его от большинства творческих математиков Греции. Это придает его трудам, при всех их типично греческих особенностях, восточный оттенок. Такой отпечаток заметен в его «Задаче о быках»— очень сложной задаче неопределенного анализа, которую можно истолковать как задачу, приводящую к уравнению

t² – 4 729 494 и² = 1

типа «уравнения Пелля», которое решается в очень больших (целых) числах. Это лишь одно из многих указаний на то, что традиции Платона никогда безраздельно не господствовали в математике эллинизма, и на то же самое указывает эллинистическая астрономия.

9. С третьим великим математиком эллинизма, Аполлонием из Перги (ок. 260—ок. 170), мы снова целиком в русле геометрической традиции греков. Аполлоний, который, повидимому, вел обучение в Александрии и в Пергаме, написал трактат из восьми книг о конических сечениях («О кониках»). Семь книг сохранилось, три из них — только в арабском переводе. Это — трактат об эллипсе, параболе и гиперболе, определяемых как сечения кругового конуса, где изложение доведено до исследования эволют конического сечения. Мы называем эти кривые, следуя Аполлонию; эти названия выражают одно из свойств этих кривых, связанное с площадями и выражаемое, в наших обозначениях, уравнениями

y² = pr, y² = рх ± p/d •x²

(запись однородная, у Аполлония р и d — отрезки; знак «+» дает гиперболу, знак «—» дает эллипс). Парабола здесь значит «приложение», эллипс—«приложение с недостатком», гипербола—«приложение с избытком». Аполлоний не располагал нашим координатным методом, потому что он не располагал алгебраическими обозначениями (вероятно, он сознательно, под влиянием школы Евдокса, отвергал их). Однако многие его результаты можно сразу записать на языке координат, включая свойство эволют, совпадающее с тем, что выражается их уравне

нием в декартовых координатах¹). То же самое можно сказать о других книгах Аполлония, которые сохранились частично. Они содержат «алгебраическую» геометрию на геометрическом языке и поэтому в однородной записи. Здесь мы находим задачу Аполлония: построить окружность, касательную к трем заданным окружностям; окружности можно заменить прямыми или точками. У Аполлония мы впервые встречаем в явном виде требование, чтобы геометрические построения выполнялись только с помощью циркуля и линейки. Следовательно, это не было столь общим «греческим» требованием, как иной раз утверждают.

10. Математику в течение всей ее истории вплоть до современности нельзя отрывать от астрономии. Запросы ирригации и сельского хозяйства в целом, а в известной мере и мореплавания обеспечили астрономии первое место в науке Востока и эллинистической науке. Ход развития астрономии в немалой мере определял ход развития математики. Астрономия во многом определяла содержание вычислительной математики, а порой и математических понятий, равным образом прогресс астрономии зависел от того, насколько сильна была доступная математическая литература. Строение солнечной системы таково, что сравнительно простыми математическими методами можно получить далеко идущие результаты, но в то же время оно достаточно сложно для того, чтобы стимулировать совершенствование этих методов и самих астрономических теорий. На Востоке в эпоху, непосредственно предшествующую эллинистической, добились значительного продвижения в вычислительной астрономии, особенно в Месопотамии в позднеассирийскую и персидскую эпоху. Здесь систематически проводившиеся в течение длительного времени наблюдения дали возможность отлично разобраться во многих эфемеридах²). Движение Луны для математика было одной из самых трудных и увлекательных астрономических проблем как в древности, так и в восемнадцатом веке, и вавилонские

') «Итак, мой тезис состоит в том, что сущность аналитической геометрии состоит в изучении геометрических мест с помощью их уравнений и что это было известно грекам и служило основой их исследования конических сечений» (Соо1idge J. L. A History of Geometrical Methods.— Oxford, 1940.— P. 149). Впрочем, см. наши замечания относительно Декарта.

²) Эфемериды — координаты тел солнечной системы (в основном планет), вычисленные для различных значений времени и данные в виде таблицы.

Характеристики

Список файлов книги