Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Кроме уже упомянутых книг Конанта, Илса, Смита и Шпайзера, укажем еще:
Feltweis E. Das Rechen der Naturvolker.— Leipzig, 1927.
Menninger K. Zahlwort und Ziffer. Eine Kulturgeschichle der Zahlen.— 2 Aufl.— Bd 1.— Gottingen, 1957. 2 Aufl.— Bd 2 (Zahlschrift und Rechnen).—Gottingen, 1958.
Smith D. E., Ginsburg J. Numbers and Numerals.— N. Y. Teacher' College, 1937.
Childe Gordon. What Happened in History.— Harmondsworth; N. Y.: Pelican Book, 1942.
Интересные арпаменты описаны в работах:
Spier L. Plains Indian Parfleche Designs // Univ. Washington Publ. in Anthrop.— 1931.—V. 4.—P. 293—322.
Deacon A. B. Geometrical Drawings from Malekula and Other Islands fo the New Hebrides // J. Roy. Anthrop. Inst—1934.— V. 64.— P. 129—175.
Pоpоva M. La geometric dans la broderie bulgare / Comptes Rendus, Premier Congres des Mathematiciens des pays slaves, Warsaw, 1929.— P. 367—369.
') Не говоря уже о том, сколько субъективного связано с такими определениями.
Математика американских индейцев рассматривается в статье: Тhоmpsоn J.E.S. Maya Arithmetic // Contribution to Amer Anthropology and History.1941.V. 36.Carnegie Inst, of Washington Publ.— P. 37—62.
Подробную библиографию см. в книге:
Smith D. E. History of Mathematics.— V. 1.— Boston, 192.3.—P. 14.
См. также:
Piaget J. La genese du nombre chez 1'enfant.— Neufchatel, 1941
Piaget J. Le developpement des quantites chez 1'enfant— Neufchatel, 1941.
На русском языке см.: Башмакова И. Г., Юшкевич А. П. Происхождение систем счисления // Энциклопедия элементарной математики, т. I.— M.; Л.: Гостехиздат, 1951,—С. 11—74.
Глава II
ДРЕВНИЙ ВОСТОК
1. В течение пятого, четвертого и третьего тысячелетия до н. э. новые и более совершенные формы общества складывались на основе упрочившихся общий нового каменного века, существовавших на берегах великих рек Африки и Азии в субтропическом поясе и вблизи него. Эти реки — Нил, Тигр и Евфрат, Инд, позже — Ганг, Ху анхэ, еще позже — Янцзы.
Прибрежные земли в районах этих рек могли давать обильные урожаи при условии регулирования разливов и осушения болот. В противоположность бесплодным пустыням и горным областям и равнинам, примыкавшим к этим речным долинам, последние можно было сделать райским местом. И в течение столетий такую задачу удалось решить путем постройки валов и плотин, создания сети каналов и водохранилищ. Регулирование водоснабжения потребовало совместных усилий населения обширных районов в размерах, значительно превосходивших то, что предпринималось в этом роде раньше. Это повело к установлению централизованного управления, сосредоточенного в городских центрах, а не в варварских селенияк предшествующих эпох. Сравнительно большие излишки, которые давало значительно усовершенствованное и интенсивное земледелие, повысили уровень жизни населения в целом, заодно это создало городскую аристократию во главе с могущественными вождями. Возникло немало профессий и специальностей — их представляли ремесленники, солдаты, писцы и жрецы. Руководство общественными рабогами находилось в руках бессменных должносшых лиц — группы людей, сведущих в смене времен года, движении небесных тел, в деле землеустройства, хранения запасов пищи и взимания налогов. Пользовались письменностью, чтобы придать форму закона требованиям администрации и действиям правителей.
Чиновники, равно как и ремесленники, накопили значительный запас технических знаний, включая сюда металлургию и медицину. В состав этих знаний входило и искусство счета и измерения.
Теперь уже прочно сложились общественные классы. Это были вожди («цари»), самостоятельные землевладельцы и арендаторы, ремесленники, писцы и чиновники, крепостные и рабы. Местные вожди стали настолько богаче и сильнее, что их уже нельзя было считать чемто вроде феодалов с ограниченной властью, — они становились вполне самодержавными царями Раздоры и войны между различными деспотами приводили к возникновению более обширных владений, управляемых единым монархом. Так эти общественные формы, в основе которых лежало орошаемое и интенсивное земледелие, дали некий «восточный» вид деспотизма. Такой деспотизм мог держаться столетиями и затем пасть, то ли под ударами горных племен или кочевников пустыни, привлеченных богатствами речной долины, то ли изза того, что запущенной оказывалась обширная, сложная и жизненно необходимая оросительная система. При таких обстоятельствах власть в племени либо переходила от одного царя к другому, либо же сообщество распадалось на меньшие объединения, причем процесс слияния мог затем начаться заново. Впрочем, при всех этих династических переворотах и повторных переходах от раздробленности к абсолютному деревни, составлявшие основу этого общества, собственно оставались незатронутыми и, стало быть, экономический и общественный строй в основном сохранялся. Восточное общество жило циклами, и даже сейчас в Азии и Африке есть много общин, сохранявших в течение тысячелетий один и тот же уклад жизни. В этих условиях продвижение вперед было медленным и извилистым, и периоды культурного подъема разделялись столетиями застоя и упадка.
Такая статичность Востока создавала некую исконную освященность его установлений, и это облегчало отождествление церкви и государственного аппарата. Чиновничество в значительной своей части было религиозного склада, как и государство в целом; во многих восточных странах жрецы были правителями областей. А так как заниматься наукой было задачей чиновничества, то во многих (но не во всех) восточных странах жрецы занимали выдающееся положение как обладатели научных знании.
2. Восточная математика возникала как прикладная наука, имевшая целью облегчить календарные расчеты) распределение урожая, организацию общественных работ и сбор налогов. Вначале, естественно, главным делом били арифметические расчеты и измерения. Однако в науке, которую столетиями культивировали специалисты, чьей задачей было не только ее применение, но и посвящение в ее тайны, должен был развиться абстрактный уклон. Постепенно наукой стали заниматься ради нее самой. Из арифметики выросла алгебра не только потому, что это облегчало практические расчеты, но и в результате естественного развития науки, культивируемой и совершенствуемой в школах писцов. В силу тех же причин из измерений возникли начатки (но не больше) теоретической геометрии.
Хотя торговля и процветала в этих обществах древнего Востока, их экономическая сердцевина оставалась земледельческой, хозяйственной основой были села, обособленные и консервативные. Это приводило к тому, что различные культуры оставались резко отличными одна от другой, вопреки сходству экономического строя и одинаковому в основном уровню научных сведений. Замкнутость китайцев и египтян вошла в поговорку. Никогда не составляло труда отличить друг от друга искусство и письменность Египта, Месопотамии, Китая, Индии. Точно так же мы можем говорить о египетской, месопотамской, китайской и индийской математике, хотя в общем по своей арифметико-алгебраической природе они весьма схожи. Даже если наука одной из этих стран в течение некоторого периода обгоняла науку другой, она сохраняла свойственные ей приемы и символику.
На Востоке трудно датировать новые открытия. Статический характер его общественного строя приводил к тому, что научные сведения сохранялись без изменений в течение столетий и даже тысячелетий. Открытия, сделанные в пределах одного городского поселения, могли остаться неизвестными в других местностях. Хранилища научных и технических знаний могли быть уничтожена войнами при смене династий, наводнениями. Предание гласит, что в 221 г. до н. э., когда один абсолютный деспот Цинь Шихуанди (династии Цинь, Первый Желтый император) установил свое господство над всем Китаем он приказал уничтожить все научные книги. Позже многое было вновь записано по памяти, но подобные события весьма затрудняют датировку открытий.
Другая трудность в датировке достижений восточной яауки связана с материалом, которым пользовались для их закрепления. Народы Двуречья обжигали глппяные таблички, которые практически были неразрушимы1). Египтяне пользовались папирусом, и поэтому значительная часть памятников их письменности сохранилась в условиях сухого климата. Китайцы и индийцы применяли значительно менее надежный материал — древесную кору пли бамбук. Китайцы во втором столетии н. э. начали пользоваться бумагой, но мало что сохранилось от тысячелетия, предшествующего семисотому году н. э. Поэтому наши сведения о восточной математике весьма отрывочны, и для столетий догреческой эпохи мы, кроме материалов Египта и Двуречья, почти ничем не располагаем. Вполне возможно, что новые открытия поведут к полной переоценке относительного значения различных форм восточной математики. В течение долгого времени самыми богатыми историческими источниками мы обладали по Египту благодаря открытому в 1858 г. так называемому папирусу Райнда (Rhind), написанному около 1650 г. до н. э., но содержащему значительно более старый материал. За последние двадцать лет наши сведения о вавилонской математике значительно возросли благодаря замечательным открытиям О. Нейгебауера и Ф. Тюро-Данжена, которые расшифровали большое число глиняных табличек. Теперь выясняется, что вавилонская математика была значительно более развита, чем ее восточные партнерши. Возможно, это заключение будет окончательным, так как существует известное соответствие в содержании вавилонских и египетских текстов за ряд столетий. Более того, в экономическом развитии Двуречье ушло дальше, чем другие страны так называемого плодородного пояса на Ближнем Востоке, простиравшегося от Двуречья до Египта. Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей, тогда как Египет находился сравнительно в стороне. К этому надо добавить то обстоятельство, что возделывание почвы в районе блуждающих Тигра и Евфрата требует больше технического искусства и регулировки, чем в районе Нила, этой «самой добропорядочной из всех рек», если воспользоваться выражением Уильяма Уилкокса. Быть может, дальнейшее изуче
') Если только их тщательно сберегать после того, как они откопаны. Много табличек пропало изза плохого обращения с ними.
Страница из папируса Райнда
ние древнеиндийской математики обнаружит неожиданные достижения, но пока притязания на это не кажутся достаточно обоснованными.
3. Источником большей части наших сведений об египетской математике являются два математических папируса. Один из них – это уже упомянутый папирус Райнда, содержащий 84 задачи, второй – так называемый московский папирус, который, может быть, на два столетия старше и содержит 25 задач. Эти задачи были уже достаточно
стары, когда составлялись папирусы, но есть меиьшие папирусы значительно более позднего происхождения, даже римских времен, которые не отличаются от названных по своим приемам. Математика, которая в них изложена, основана на десятичной системе счисления со специальными знаками для каждой десятичной единицы более высокого разряда — системе, которая нам знакома благодаря римским обозначениям, основанным па том же принципе: MDCCCLXXVIII= 1878. На основе такой системы египтяне построили арифметику преимущественно аддитивного характера, т. е. ее основное направление состоит в сведении всех умножений к повторным сложениям. Например, умножение на 13 получается умножением сначала на 2, затем на 4, затем на 8 и сложением результатов умножения на 4 и на 8 с первоначальным числом:
Например, для вычисления 13*11 писали:
*1 11
2 22
*4 44
*8 88
и складывали все числа, отмеченные звездочкой, что дает 143.
Самой замечательной чертой египетской арифметики являются действия с дробями. Все дроби сводятся к суммам так называемых основных дробей, то есть дробей, имеющих числителем единицу. Единственное исключение составляла дробь 2/3=1 — 1/3 , для которой существовал специальный символ. Сведение к суммам основных дробей производилось с помощью таблиц, которые давали разложение дробей вида 2/n — единственное необходимое разложение, так как умножение было двоичным. Папирус Райнда дает таблицу, в которой приведены разложения па основные дроби для всех нечетных n от 5 до 331, например
2/7=1/4+1/28,
2/97=1/56+1/679+1/776
Из чего исходили при таком сведении к основным дробям, не ясно (например, почему 2/19 заменяется суммой 1/12+1/76+1/114, а не суммой 1/12+1/57+1/228?)
Такие действия с дробями придавали египетской математике тяжеловесность и растянутость, однако разложение на сумму основных дробей применялось в течение тысячелетий, не только в эпоху эллинизма, но и в средние века. В то же время указанное разложение предполагает определенное математическое искусство, и существуют интересные теории для объяснения того способа, каким египетские специалисты могли получить свои результаты').
Многие задачи очень просты и сводятся к линейному уравнению с одним неизвестным:
Некое количество, его 2/3, его 1/2 и его 1/7, сложенные вместе, дают 33. Каково это количество?
Ответ: 14 28/97, записан в основных дробях: 14+1/4+1/97+1/56+1/679 +1/776+1/194+1/388. Для неизвестного в уравнении существовал иероглиф, обозначавший «кучу» и произносившийся «хау» или «аха». Поэтому египетскую алгебру иногда называют «хау-исчислением»
В задачах речь идет о количестве хлеба и различных сортов пива, о кормлении животных и хранении зерна, и это указывает на практическое происхождение такой запутанной арифметики и примитивной алгебры. В некоторых задачах проявляется теоретический интерес, например в задаче, в которой требуется разделить сто хлебов между пятью людьми так, чтобы их доли составляли арифметическую прогрессию и чтобы одна седьмая суммы трех больших долей была равна сумме двух меньших. Мы даже встречаем геометрическую прогрессию в задаче о семи домах, в каждом из которых есть семь кошек, каждая из которых поедает семь мышей и т. д., что выявляет знание формулы для суммы членов геометрической прогрессии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
