Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (1185896), страница 7
Текст из файла (страница 7)
переходила в руки новых правителей — касситов, ассирийцев, мидян, персов, эта традиция оставалась в силе.
Самые сложные задачи относятся к более поздним периодам в истории древней цивилизации, а именно, к персидской эпохе и эпохе Селевкидов. В те времена Вавилон уже не был политическим центром, но в течение ряда столетий он оставался интеллектуальной столицей обширной империи, в которой вавилоняне смешались с персами, греками, евреями, индусами и многими другими народами. Но во всех клинописных текстах видна непрерывность традиции, что, вероятно, указывает на местную непрерывность развития.
Можно быть уверенным в том, что этому развитию способствовало взаимно обогащавшее общение с другими цивилизациями. Мы знаем, что вавилонская астрономия этого периода оказала влияние на греческую и что вавилонская математика повлияла на вычислительную арифметику. Есть основания полагать, что вавилонские школы писцов были посредниками между наукой Греции и наукой Индии. Мы все еще мало осведомлены о роли персидской и селевкидской Месопотамии в распространении древневосточной и античной астрономии и математики, но все доступные данные указывают на то, что эта роль должна была быть значительной. Средневековая арабская и индийская наука опиралась не только на традиции Александрии, но и на традиции Вавилона.
6. Во всей математике Древнего Востока мы нигде не находим никакой попытки дать то, что мы называем доказательством. Нет никаких доводов, мы имеем только предписания в виде правил: «делай то-то, делай так-то». Мы не знаем, как там были получены теоремы, например, как вавилонянам стала известна теорема Пифагора. Было сделано несколько попыток объяснить, как египтяне и вавилоняне получали свои результаты, но все они являются только предположениями. Нам, воспитанным на строгих выводах Евклида, весь этот восточный способ рассуждения кажется па первый взгляд странным и крайне неудовлетворительным. Но такое впечатление исчезает, когда мы уясняем себе, что большая часть математики, которой мы обучаем современных инженеров и техников, все еще строится по принципу «делай то-то и делай так-то», без большого стремления к строгости доказательств. Алгебру во многих средних школах все еще изучают не как дедуктивную науку, а скорее как набор правил. Видимо, восточная математика никогда не могла
освободиться от тысячелетнего влияния технических проблем и проблем управления, для пользы которых она и была создана.
7. Вопрос о влиянии Греции, Китая и Вавилона имеет глубокое и определяющее значение для изучения древнеиндийской математики. Коренные ученые Индии и Китая прошлого, а иногда и настоящего времени обыкновенно подчеркивали большую древность их математики, но у них нет математических текстов, которые можно было бы надежно отнести ко времени до н. э. Самые древние индийские тексты относятся, пожалуй, к первым столетиям п. э., самые древние китайские тексты такого же или даже более позднего происхождения. Установлено, что древние индусы пользовались десятичной системой счисления без позиционных обозначений. Такую систему составляли так называемые числа Брахми, имевшие особые знаки для каждого из чисел 1, 2, 3, ..., 9, 10; 20, 30, 40, ..., 100; 200, 300, ..., 1000, 2000, ... Эти символы — по меньшей мере эпохи короля Ашока (300 лет до н. э.). Затем мы имеем так называемые «Сульвасутры», часть которых давности 500 лет до н.э. или еще древнее; в них изложены математические правила древнего местного происхождения. Мы находим эти правила среди обрядовых предписаний, некоторые из которых относятся к построению алтарей. Мы имеем здесь рецепты для построения квадратов и прямоугольников, выражения для зависимости между диагональю и стороной квадрата и для равновеликости квадратов и кругов. Встречаются частные случаи теоремы Пифагора и некоторые любопытные приближения с помощью «основных» дробей, вроде такого (в наших обозначениях):
То любопытное обстоятельство, что эти результаты «Сульвасутр» не встречаются в более поздних индийских трудах, показывает, что мы еще не можем говорить применительно к индийской математике о той непрерывности традиции, которая столь типична для математики Египта или Вавилона, и возможно, что в столь большой стране, как Индия, такой непрерывности и не было. Могли
быть различные традиции, связанные с различными школами. Мы знаем, например, что джайнизм, религия столь же древняя, как буддизм (около 500г. до н. э.), поощрял математические исследования, и в священных книгах джайнизма обнаружено значение для ≈√10.
8. При изучении древнекитайской математики значительным препятствием является отсутствие переводов, хотя мы благодаря книгам Миками и Нидхема хорошо осведомлены о положении математики в Древнем Китае. Тем, кто знает русский язык, доступен значительно больший материал, имеется даже русский перевод классического математического произведения «Девять книг (разделов) о математическом искусстве» (Цзю чжан суань шу) . Как эта книга, так и «Чжоу-би» в своем нынешнем виде дошли до нас от периода династии Хань (206 г. до н. э. — 220 г. н. э.), но в них, конечно, может содержаться материал значительно более раннего происхождения. Книга Чжоуби только частично посвящена математике, но интересно, что в ней рассматривается теорема Пифагора. Напротив, «Девять книг (разделов)»— чисго математическое произведение, которое вполне характерно для древнекитайской математики следующего тысячелетия, да и более поздней.
Очень стары также некоторые диаграммы из книг периода династии Хань, например из «Книги перемен» (И цзинь, VIII — VII вв. до н. э.). В числе их следующий, связанный со многими легендами, магической квадрат (ло шу):
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Система счисления у китайцев всегда была десятичной, и уже во втором тысячелетии до нашей эры мы встречаемся с числами, записанными с помощью девяти символов в позиционной системе. Такой способ записи получил права гражданства в период династии Хань или еще раньше. Девять знаков изображались с помощью бамбуковых палочек, поразному размещенных; например II = III обозначало число 6729, которое именно
') Datta В. The Jaina School of Mathematics // Bull. Calcutta Math Soc — 1929.— V. 21.— P. 115—146.
таким образом и записывалось. Арифметические действия выполнялись с помощью счетных досок; пропуски, т. е, пустые места, обозначали нуль (специальный знак для нуля появляется только в тринадцатом столетии н. э., хотя он, возможно, и старше).
При календарных расчетах применялось нечто вроде шестидесятичной системы, что можно сопоставить с сочетанием двух связанных друг с другом зубчаток, из которых одна имеет двенадцать зубьев, а другая — десять. Так число шестьдесят стало единицей высшего разряда, «периодом» («Катэйский период» в одном из стихотворений Теннисона).
Математика «Девяти книг» состоит в основном из задач и общих указаний, как их решать. Эти задачи возникают из практических применений арифметики и сводятся к алгебраическим уравнениям с числовыми коэффициентами. Вычисляются и квадратные, и кубические корни, например число 751½ определяется как корень квадратный из 564752 ¼. При вычислениях с окружностью принимается = 3. Ряд задач сводится к системам линейных уравнений, например к системе
Зх + 2у+ z = 39,
2х + 3у+ z = 34,
х + 2у + 3z = 26,
которая записывается «матрицей» своих коэффициентов. Решение этой системы приводится в таком виде, которое мы теперь назвали бы «матричным преобразованием». Эти матрицы содержат и отрицательные числа, здесь впервые появляющиеся в истории математики.
Китайская математика занимает особое положение — практически до последних лет мы видим в ней непрерывность традиции, так что мы можем выяснить, каково ее место в обществе, более полно, чем в случав египетской и вавилонской математики, принадлежащих исчезнувшим цивилизациям.
Например, мы знаем, что кандидаты, подвергавшиеся экзамену, должны были знать «Десять классиков» в точно определенном объеме и что успех на экзамене определяется в основном умением точно цитировать тексты на память. Таким образом, традиционное учение передавалось из поколения в поколение с обременительной хщательностью. В такой застойной культурной атмосфере но
вые открытия стали чрезвычайно редким явлением, а это опять-таки обеспечивало неизменность математической традиции. Такая традиция могла передаваться в течение тысячелетий и могла пострадать только иногда, при больших исторических потрясениях.
В Индии существовали аналогичные условия, и там мы находим даже такие математические тексты, которые написаны стихотворными размерами с целью облегчить запоминание. Нет никаких особых причин считать, что приемы, которыми пользовались в древнем Египте и в Вавилоне, могли значительно отличаться от практики Индии и Китая.
Чтобы прервать процесс полного окостенения математики, должна была возникнуть цивилизация совершенно другого рода. Математика достигла, наконец, уровня настоящей науки благодаря тому новому микровоззрению, которое характерно для цивилизации греков.
ЛИТЕРАТУРА
The Rhind Mathematical Papyrus/Ed. T. E. Peot.—London, 1923.
The Rhind Mathematical Papyrus/Ed. А. В Chance, L. Bull, H P. Manning, R. C. Archibald. V, 1— Oberlin, Ohio 8, 1927. V. 2.— Oberlin, Ohio 8, 1929.
В этом труде содержится обширная библиография по египетской и вавилонской математике. Библиография, преимущественно по древней астрономии, имеется в книге О. Нейгебауера.
Mathimatischer Papyrus des staatlichen Museums der schonon Kunste in Moscau/Изд. В. В. Струве и В А. Тураев.— Berlin, 1930.
Neugebauer O. Vorlesungen űber Geschichte der antiken mathematischen Wissenschaften, I: Vorgiechische Malhematik.— Berlin, 1934').
Neugebauer O. Mathematische Keilschrift — Texte.— Bd 1—3.—Berlin, 1935—1937.
Neugebauer O., Sachs A. Mathematical Cuneiform Texts.— New Haven, 1945.
Bruins E. M., Rutten M. Texles mathematiques de Suse.— Pans, 1961.
Thureau-Dangin F. Sketch of a history of the sexagesimal system.— Osiris, 1939.— Bd 7.— C. 95—141.
Thureau-Dangin F. Textea mathematiques babyloniens — Leiden, 1938.
Выгодский M. Я. Арифметика и алгебра в древнем мире.— 2е изд.— М.: Наука, 1967.
Вайман А. А. Шумеровавилонская математика, III—I тысячелетня до н.э.— М., 1961
Экономическая документация использована как источник для истории математики в древнем Двуречье в работах:
') Русский перевод: Нейгебауер О. Лекции по истории античных математических наук Т. I: Догреческая математика/ Предисловие и приложения С. Я. Лурье — М.; Л.: ОНТИ, М37.
Раздымаха Г.С. Физико-математические знания в дрепних рабовладельческих государствах Двуречья по документам хозяйственной отчетности / Науков! записки Кам'янецьПод1льского пед. шту.~ 1958.— Т. 6,— С. 125—191.
Раздимаха Г. С. Математика Двурiччя за економичпою документален} / Тсторикоматем. збирник.— 1961.— Т. 2 — С. 128—147.
Раздимаха Г. С. Проблема межувапня земл! у вавшонекщ геометра / 1сторикоматем. зборник.— 1962.— Т. 3.— С. 75—95.
О. Нейгебауер и Ф. Тюро — Дагокен по ряду пунктов расходятся в истолковании вавилонской математики. По этому вопросу см.
G a n d z S. Conflicting of Babylonian Mathematics / Isis, 1940,V. 31.P. 405425.
Хороший обзор догреческой в математике см. в работе Archibald R. С. Mathematics before the Greek / Science.— 1930.— V. 71.— P. 109—121, 342; см. также Science, 1930.— V. 72.—
P. 36.
S m e t h D. E. Algebra of 4000 Years Ago / ScpJpta maihematica.— 1936.— V. 4.— P. 111—125.
Vоge1 K. Vorgriechische Mathematik.— V. 1, 2,— Hannover. Paderborn, 1958—1959.
Сведения об индийской математике см. в журнале Bulletin of the Calcutta Mathematical Society и в книге D a tta В., Singh A. N. History of Hindu Mathematics.—V. 1.—Lahore, 1935.— V. 2.— Lahore, 1938
Рецензия О. Нейгебауера:
Neugebauer O. / Quellen und Stndien.—1936.—V. 3B.— P. 263—271.
G u r j a r L. V. Ancient Indian Mathematics and Vedha — Poona.—Vidwans, 1947.
Кaye G. R. Indian Mathematics / Isis.—1819.—V. 2.— P. 326—356.
Seidenberg T. The ritual oridgin of geometry / Arch, for hist, of exact sc.— 1962.— V. 1.— P. 408—527.
Műller C. Die Malhematik der Sulvasutra / Abh. math. Sem. Univ. Hamburg.— 1929.— Bd 7.— S. 173—204.
О японскокитайской математике см.:
S u i k a m i I. The Development of Mathematics in China and Japan.— Leipzig, 1913.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
