Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 9

Пифагорейцам были известны некоторые свойства правильных многоугольников и правильных многогранников.

Они показали, как заполнить плоскость системой правильных треугольников, или квадратов, или правильных шестиугольников, а пространство — системой кубов. Впоследствии Аристотель пытался дополнить это неверным утверждением, что пространство можно заполнить правильными тетраэдрами²). Возможно, что пифагорейцы знали правильный октаэдр и додекаэдр — последнюю фигуру потому, что находимые в Италии кристаллы пирита имеют форму додекаэдра, а изображения таких фигур в орнаментах или как магический символ относится еще ко временам этрусков. Они восходят к кельтским племенам Центральной Европы начала эпохи железного века (ок. 900 г. до п. э.) и позже (пирит был источником железа)³).

Что касается теоремы Пифагора, пифагорейцы приписывали ее своему наставнику и передавали, что он принес в жертву богам сто быков в знак благодарности. Мы уже видели, что эта теорема была известна в Вавилоне времен Хаммурапи, но весьма возможно, что первое общее доказательство было получено в школе пифагорейцев.

Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было открытие иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно, что оно было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а : b — b : с, величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом аристократии. Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных символов? Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было обнаружено, что такое отношение не выражается «числом», то есть тем, что мы теперь называем рациональным числом (целым числом или дробью), а только такие числа допускались пифагорейской арифметикой.

') Об арифметике пифагорейцев см van der W а е rden В. L. / Math. Ann.— 1948.— Bd 120.S 127—153, 676700.

²) Struik D. J. / Nieuw Arch. v. Wiskundo.— 1925.—V. 15.— P. 121137.

³) Lindemann F. / Sitzber. Bayr. Akad Wiss., Miinchen.— 1897.— Bd 26.— S. 625—758; см. так же, 1934,— Bd 63.— S. 265—275.

Допустим, что это отношение равно р: q, где целые числа р и q мы всегда можем считать взаимно простыми. Тогда р² = 2q², следовательно, р², а с ним и р — четное число, и пусть р = 2r. Тогда q должно быть нечетным, но, так как q² = 2r², оно должно быть также четным. Такое противоречие разрешалось не расширением понятия числа, как на Востоке или в Европе эпохи Возрождения, а тем, что теория чисел для таких случаев отвергалась, синтез же искали в геометрии.

Это открытие, нарушившее непринужденную гармонию арифметики и геометрии, вероятно, было сделано в последние десятилетия пятого столетня до н. э. Сверх того, обнаружилась другая трудность — обнаружилась в соображениях о реальности изменений, и этим философы занимаются до наших дней. Открытие этой новой трудности приписывают Зенону Элейскому (около 450г. до н.э.), ученику Парменида, философа-консерватора, который учил, что разум постигает только абсолютное бытие и что изменение есть только кажущееся. Это приобрело математическое значение тогда, когда в связи с такими задачами, как определение объема пирамиды, стали заниматься бесконечными процессами. Здесь парадоксы Зенона оказались в противоречии с некоторыми давними и интуитивными представлениями относительно бесконечно малого и бесконечно большого. Всегда считали, что сумму бесконечно многих величин можно сделать сколь угодной большой, даже если каждая величина крайне мала (∞×ε=∞), а также что сумма конечного или бесконечного числа величин размера нуль равна нулю (n×0=0, ∞×0=0). Критика Зенона была направлена против таких представлений, и его четыре парадокса вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь. Эти парадоксы дошли до нас благодаря Аристотелю и известны под названиями Ахиллес, Стрела. Дихотомия (деление на два) и Стадион. Они сформулированы так, чтобы подчеркнуть противоречия в понятиях движения и времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.

Парадоксы Ахиллес и Дихотомия, которые мы изложим своими словами, разъяснят нам суть этих рассуждений.

Ахиллес. Ахиллес я черепаха движутся в одном направлении по прямой Ахиллес куда быстрее черепахи, но, чтобы ее нагнать, ему надо сначала пройти точку Р, из которой черепаха начала движение. Когда Ахиллес попадет в Р, черепаха продвинется в точку P₁ Ахиллес не может догнать черепаху, пока не попадет в P₁, но черепаха при этом продвинется в новую точку Р₂. Если Ахиллес находихся в Р₂, черепаха оказывается в новой точке Р_з

и т. д. Следовательно, Ахиллес никогда не может догнать черепаху. Дихотомия. Допустим, что я хочу пройти от А до В по прямой. Чтобы достичь В, мне надо сначала пройти половину (AB₁) расстояния АВ; чтобы достичь В₁ я должен сначала достичь В₂ на полпути от А до В₁, и так до бесконечности, так что движение никогда не сможет начаться.

Аргументы Зенона показали, что конечный отрезок можно разбить на бесконечное число малых отрезков, каждый из которых — конечной длины. Они показали также, что мы встречаемся с затруднениями при объяснении того, каков смысл заявления, что прямая «состоит» из точек. Весьма вероятно, что сам Зенон не имел представления о том, к каким математическим выводам приводят его рассуждения. Проблемы, приведшие к парадоксам Зенона, неизменно возникают в ходе философских и теологических дискуссий. Мы в них видим проблемы, связанные с отношением потенцпальной и актуальной бесконечности. Впрочем, Поль Таннери¹) считал, что рассуждения Зенона прежде всего были направлены против пифагорейского представления пространства как суммы точек («точка есть единица положения»). Как бы дело ни обстояло, несомненно, что рассуждения Зенона оказывали влияние на математическую мысль многих поколений. Его парадоксы можно сопоставить с теми, которыми пользовался в 1734 г. епископ Беркли, показывая, к каким логическим нелепостям может привести плохая формулировка положений математического анализа, но не предлагая со своей стороны лучшего обоснования.

После открытия иррационального соображения Зенона стали даже еще больше беспокоить математиков. Возможна ли математика как точная наука? Таннери²) полагал, что мы можем говорить о «настоящем логическом скандале»— о кризисе греческой математики. Если дело обостояло именно так, то этот кризис начинается под конец Пелопонесской войны, закончившейся падением Афин (404г. до н. э.). Тогда мы можем обнаружить связь между кризисом в математике и кризисом общественной системы, так как падение Афин означало смерт

') Tannery P. La geomelrie grecque.— Paris, 1887.— P. 217— 261. Другого мнения van der Waerden B. L. II Math. Ann — 1940.—Bd 117.—S. 141—161.

²) Tannery P. La geometrie grecque.—Paris, 1887.—P. 98, Таннери там рассматривает только крах древней теории отношений в результате открытия несоизмеримых отрезков.

ный приговор владычеству рабовладельческой демократии и начало нового периода главенства аристократии — кризис, который был разрешен уже в духе новой эпохи.

5. Для этого нового периода греческой истории характерно то, что растет богатство определенной части правящих классов и равным образом растут нищета и необеспеченность бедняков. Правящие классы все больше средств для существования получали за счет рабского труда. Это давало им досуг для занятий искусством и наукой, но заодно все более усиливало их нерасположение к физическому труду. Эти досужие господа с презрением относились к труду рабов и ремесленников, и успокоения от забот они искали в занятиях философией и этикой индивидуума. На таких позициях стояли Платон и Аристотель. В «Республике» Платона (написанной, вероятно, около 360 г. до н. э.) мы находим самое четкое выражение идеалов рабовладельческой аристократии. «Стражи» в республике Платона должны изучать «квадривиум», состоящий из арифметики, геометрии, астрономии и музыки, для того чтобы понимать законы вселенной.

Такая интеллектуальная атмосфера (по крайней мере, в своем раннем периоде) была благоприятна для обсуждения основ математики и для умозрительной космогонии.

По меньшей мере три больших математика этого периода были связаны с Академией Платона, а именно Архит, Теэтет (ум. в 369 г.) и Евдокс (ок. 408—355). Теэтету приписывают ту теорию иррациональных, которая изложена в десятой книге «Начал» Евклида. Имя Евдокса связано с теорией отношений, которую Евклид дает в своей пятой книге, а также с так называемым методом исчерпывания, который позволил строго проводить вычисление площадей и объемов. Это означает, что именно Евдокс преодолел «кризис» в греческой математике и что его строгие формулировки помогли определить направление развития греческой аксиоматики и, в значительной мере, всей греческой математики.

Евдоксова теория отношений покончила с арифметической теорией пифагорейцев, применимой только к соизмеримым величинам. Это была чисто геометрическая теория, изложенная в строгой аксиоматической форме, и она сделала излишними какие-либо оговорки относительно несоизмеримости или соизмеримости рассматриваемых величин.

Типичным является «Определение V» книги V «Начал» Евклида:

Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

Современная теория иррационального числа, построенная Дедекиндом и Вейерштрассом, почти буквально следует ходу мыслей Евдокса, но она открывает значительно более широкие перспективы благодаря использованию современных математических методов.

«Метод исчерпывания» (термин «исчерпывание» впервые появляется у Григория Сен Венсана, 1647 г.) был ответом школы Платона Зенону. Метод обходил все ловушки бесконечно малого, попросту устраняя их, так как сводил проблемы, в которых могли появиться бесконечно малые, к проблемам, решаемым средствами формальной логики. Например, если требовалось доказать, что объем V тетраэдра равен одной трети объема C призмы с тем же основанием и той же высотой, то доказательство состояло в том, чтобы показать абсурдность как допущения, что V>1/3P, так и допущения, что V<1/3C. Для этого была введена аксиома, известная теперь как аксиома Архимеда¹). Она лежит в основе теории отношений Евдокса, а именно: «о тех величинах говорят, что они находятся в некотором отношении одна к другой, которые могут, будучи умножены, превзойти одна другую» (Евклид V, Определение 4). Этот метод, который у греков и в эпоху Возрождения стал стандартным методом точного доказательства при вычислении площадей и объемов, был вполне строг, и его легко превратить в доказательство, отвечающее требованиям современной математики.

Большим недостатком этого метода было то, что надо было заранее знать результат, чтобы его доказать, так что математик должен был сперва прийти к результату менее строгим путем, с помощью проб и попыток.

Есть ясные указания на то, что такого рода иной ме

¹) Формулировка Архимеда (который явно приписывает ее Евдоксу) такова: «Если даа пространства не равны, то можно сколько раз сложить с собою разность, на которую большее превосходит меньшее, чтобы она превзошла любое конечное пространcтво» (в сочинении «О сфере и о цилиндре»).

тод действительно использовался. Мы располагаем письмом Архимеда Эратосфену (около 250 г. до н.э.), которое было обнаружено лишь в 1906 г. и в котором Архимед описывает нестрогий, но плодотворный способ получения результатов. Это письмо известно под названием «Метод». С. Лурье выдвинул предположение, что в нем выражены взгляды математической школы, которая соперничала со школой Евдокса, возникла, как и та, в период кризиса и связана была с Демокритом, основателем атомистики. Согласно теории Лурье, школа Демокрита висла понятие «геометрического атома». Предполагалось, что отрезок прямой, площадь, объем состоят из большого, но конечного числа неделимых «атомов». Вычисление объема тела было суммированием объемов всех «атомов», из которых состояло тело. Эта теория может показаться нелепой, если не вспомнить, что некоторые математики эпохи до Ньютона, особенно Виет и Кеплер, в сущности, пользовались такими же понятиями и считали окружность составленной из очень большого чистка крошечных отрезков. Нет никаких данных за то, что в древности на такой основе был развит строгий метод, но наши современные понятия предела дали возможность превратить эту «атомную» теорию в теорию столь же строгую, как и метод исчерпывания. Даже в наши дни мы обычно пользуемся таким понятием «атома» при постановке математических задач в теории упругости, в физике или в химии, оставляя строгую теорию с переходами к пределу профессиональным математикам').

Преимущество «атомного» метода перед методом исчерпывания в том, что первый облегчает нахождение новых результатов. Итак, у античности был выбор между строгим, но относительно бесплодным методом и методом с шатким обоснованием, но более плодотворным. Поучительно, что почти все классические авторы применяют первый метод. Это опять-таки может быть связано с тем, что математика стала коньком праздного класса, опиравшегося на рабство, равнодушного к изобретениям, с со

') «Таким образом, поскольку ограничиваются первыми дифференциалами, небольшой участок кривой вблизи какойлибо точки можно считать прямолинейным и лежащим в одной плоскости, в течение короткого промежутка времени частицу можно считать движущейся с постоянной скоростью, а любой физический процесс— происходящим в неизменном темпе» (Филипс Г. Дифференциальные уравнения.— 3е изд.— М.: Гостехиздат, 1950).

зерцательными интересами. Возможно и то, что в этом сказалась победа в области философии математики идеализма Платона над материализмом Демокрита.

6. В 334 г. до н. э. Александр Македонский начал завоевание Персии. В 323 г., когда он умер в Вапилоне, весь Ближний Восток был в руках греков. Полководцы Александра разделили между собой его завоевания, и со временем возникли три империи: Египет, под властью Птолемеев; Месопотамия и Сирия, под властью Селевкидов; Македония, под властью Антигона и его преемников. Даже в долине Инда были греческие князья. Началась эпоха эллинизма.

Прямым последствием походов Александра было то, что ускорилось проникновение греческой цивилизации в обширные районы восточного мира. Эллинизировались Египет, Месопотамия, часть Индии. Греки хлынули на Ближний Восток — торговцы, купцы, врачи, путешественники, наемники, искатели приключений. В городах — многие из них были недавно основаны, что было легко распознать по их эллинистическим названиям,— военное дело и администрация были в руках греков, население было смешанным, грековосточным. Но эллинизм был существенно городской цивилизацией. Село сохранило свое коренное население и свой традиционный жизненный уклад. В городах же старая культура Востока соприкасалась с импортированной цивилизацией греков и частично "мешалась с нею, хотя всегда оставалось в силе глубокое различие этих двух миров. Монархи эпохи эллинизма следовали восточным обычаям, решали восточные проблемы управления, попоощряли греческое искусство, греческую литературу и греческую науку.

Так и греческая математика была пересажена в новую среду. Она сохранила многие свои прежние особенности, но испытала влияние тех административных и астрономических запросов, которые выдвигал Восток. Такое тесное соприкосновение греческой науки с Востоком оказалось исключительно плодотворным, особенно в первые столетия. Фактически вся действительно творческая работа, которую мы называем «греческой математикой», была проделана за сравнительно короткий срок от 350 до 200 г. до н. э., от Евдокса до Аполлония, и даже достижения Евдокса известны нам только в том истолковании, в каком мы их находим у Евклида и Архимеда. Замечательно также, что наибольшего расцвета эта эллннистическая математика достигла в Египте Птолемеев,