Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990) (Краткий очерк истории математики. Стройк (5-е издание) (1990).doc), страница 6

^l)Neugebauer О. Arithmeiik und Rechnentechmlc dm Agypler / Quellen und Studien zur Geschichte der Malheraatik.1931.—Bd 1.— S. 301380; van der Waerden B. L. Die Entwickiungsgeschichte der agyptischen Bruchrechnung // Quelleu und Studien zur Geschichte der Mathematik.— 1938.— Bd 41.— P. 359—382; Яновская С. А. К теории египетских дробей / Тр. Ин-та истории естествознания.— 1947,— Т. 1,—С. 269—282; Веселовский И.Н. Египетская наука и Греция / Тр Ин-та истории естествознания.1948.—Т. 2.—С. 426—428; см также Bruins Е. M.Proc. Nederl. Akad. Wet.—1952.V. А55.

Некоторые задачи имеют геометрическую природу и касаются преимущественно измерений. Площадь треугольника находится как половина произведения основация и высоты; площадь круга диаметра d определяется как (d-d/9)², что дает для  значение 256/81≈3,1605. Мы находим также некоторые формулы для объемов тел, таких, как куб, параллелепипед и круговой цилиндр, причем все они рассматриваются конкретно как сосуды, преимущественно для зерна. Самым замечательным результатом в египетских измерениях была формула для объема усеченной пирамиды с квадратным основанием V=h/3(a²+ab+b²), где a и b суть длины сторон квадратов, a h—высота. Этот результат, которому не найдено соответствующего ни в какой другой древней математике, особенно примечателен, поскольку нет указаний на то, чтобы египтяне имели какое-либо представление даже о теореме Пифагора, вопреки некоторым необоснованным рассказам о гарпедонафтах, которые якобы строили прямые углы с помощью веревки, имевшей 3 + 4 + 5=12 узлов').

Мы здесь должны предостеречь от преувеличения древности египетской математической науки. Строителям пирамид эпохи 3000 лет до н. э. и даже раньше приписывали всевозможные результаты высокоразвитой науки. Существует даже много раз серьезно преподносившаяся версия, будто египтяне в 4212 г. до н. э. приняли так называемый сотический цикл для календаря. Нельзя всерьез приписывать столь точные математические и астрономические работы народу, едва вышедшему из условий каменного века, и источником таких рассказов, как обычно удается установить, является позднее египетское предание, дошедшее до нас через греков. Общей чертой древних цивилизаций является стремление датировать главные сведения весьма ранними эпохами. Все доступные тексты указывают, что египетская математика была скорее примитивного характера. На таком же уровне находилась и их астрономия.

4. Переходя к математике Двуречья, мы оказываемся на гораздо более высоком уровне, чем тот, которого ког

') См Gandz S. // Quellea and Studien zur Geschichte der Malhematik. 1930 Bd 1 S. 7.

да-либо достигала египетская математика. Здесь мы можем даже уловить прогресс в ходе столетий. Уже самые древние тексты, относящиеся к последнему шумерскому периоду (третья династия Ура, 2100 г. до н. э.), показывают высокое вычислительное искусство. Эти тексты содержат таблицы для умножения, в которых хорошо развитая шестидесятичная система счисления сочетается с более ранней десятичной системой; здесь имеются клинописные символы, обозначающие 1, 60, 360 и также 60^-1, 60^-2. Однако не это было наиболее характерной их чертой. В то время как египтяне каждую единицу более высокого разряда обозначали новым символом, шумеры пользовались одним и тем же символом, но указывали его значение его положением. Так, 1, за которой следовала другая 1, давала запись числа 61, а 5 с последующим 6 с последующим 3 (мы это будем записывать как 5, 6, 3) обозначало 5•60²+6•60+3 = 18363. Такая позиционная (или поместная) система не отличается, по сути дела, от нашей системы записи чисел, при которое символ 343 заменяет 3•10² + 4•10+3. Подобная система имеет огромное преимущество при вычислениях, что можно сразу увидеть, если попытаться выполнить умножение и в нашей системе, и в системе с римскими цифрами. Позиционная система устраняла многие трудности в арифметике дробей так же, как это происходит при нашей системе с введением десятичных дробей. По-видимому, вся эта система была непосредственным результатом развития техники управления, что засвидетельствовано в тысячах текстов того же периода, где речь идет о поставках скота, зерна и т. п. и о связанных с этим арифметических вычислениях.

При таком способе счета существовала некоторая неопределенность, так как значение символа не всегда было ясно по его положению. Так, (5, 6, 3) могло также означать 560¹ +6•60°+ 3•60^-1=306 1/20, и точное исстолкование надо было извлечь из контекста. Другая неопределенность возникала из-за того, что незаполненное место иной раз означало нуль, так что (11,5) могло стоять вместо 11•60² +5=39605. Иной раз появляется специальный символ для нуля, но не ранее персидской эпохи. Так называемое «изобретение нуля» было, таким образом, логическим следствием введения поместной системы, но только после того, как техника вычислений была значительно усовершенствована.

Оборотная сторона древневавилонской таблички, хранящейся в Эрмитаже (Эрм. 15073). Вероятно, XVII в. до н. э.

Как шестидесятатаая система, так и позиционность и системы счисдеевия оказались прочиым достоянием человечества. Наше современное деление часа на 60 минут и 3600 секунд восходит к шумерам, равно как и наше деление окружности на 360 градусов, каждого градуса на 60 минут и каждой минуты на 60 секунд. Есть основания полагать, что выбор в качестве основы 60 вместо 10 появился при попытке унифицировать системы измерения, хотя то обстоятельство, что 60 имеет много делителей, тоже могло иметь значение. Что касается поместной системы, непреходящее значение которой сравнивают со значением алфавита'), так как оба изобретения заменя

')Neugebauer О The History of Ancient Astronomy // Journal of Near Eastern Studies.— 1945,— V. 4.— P. 12.

ют сложную символику методом, легко доступным широкому кругу людей, то ее история в значительной мере еще темна. Есть основание предполагать, что как индийцы, так и греки познакомились с нею на караванных путях, которые вели через Вавилон. Нам известно также, что арабы говорили о ней как об индийском изобретении. Однако вавилонская традиция могла повлиять на все позднейшее распространение поместной системы.

5. Следующая группа клинописных текстов относится ко времени первой вавилонской династии, когда в Вавилоне правил царь Хаммурапи (около 1950 г. до н. э.) и семитское население подчинило себе исконных жителей — шумеров. В этих текстах мы видим, что арифметика развилась в хорошо разработанную алгебру. Египтяне того же периода были в состоянии решать только простые линейные уравнения, а вавилоняне времен Хаммурапи полностью владели техникой решения квадратных уравнений. Они решали линейные и квадратные уравнения с двумя неизвестными, решали даже задачи, сводящиеся к кубическим и к биквадратным уравнениям. Такие задачи они формулировали только при определенных числовых значениях коэффициентов, но их методы не оставляют никакого сомнения относительно того, что они знали общие правила.

Приведем пример, взятый из одной из глиняных табличек этого периода.

«Площадь А, состоящая из суммы двух квадратов, составляет 1000. Сторона одного из квадратов составляет 2/3 стороны другого квадрата, уменьшенные на 10. Каковы стороны квадратов?»

Это приводит к уравнениям х² + y² =1000, у=2/3• x — 10, решение которых сводится к решению квадратного уравнения

13/9 x²–40/3 x –900=0

имеющему положительный корень х = 30.

В действительности решение в клинописном тексте ограничивается, как и во всех восточных задачах, простым перечислением этапов вычисления, необходимого для решения квадратного уравнения:

«Возведи в квадрат 10; это дает 100; вычти 100 из 1000; это дает 900» и т.д.

Резко выраженный арифметико-алгебраический характер вавилонской математики проявляется и в геометрии. Как и в Египте, геометрия развивалась на основе практических задач измерения, но геометрическая форма

задачи обычно является только средством для того, чтобы поставить алгебраический вопрос. Предыдущий пример показывает, как задача относительно площади квадрата приводит к нетривиальной алгебраической проблеме, и этот пример не составляет исключения. Тексты показывают, что вавилонская геометрия семитского периода располагала формулами для площадей простых прямолинейных фигур и для объемов простых тел, хотя объем усеченной пирамиды еще не был найден. Так называемая теорема Пифагора была известна не только для частных случаев, но и в полной общности. Основной чертой этой геометрии был все же ее алгебраический характер. Это в равной мере относится и ко всем позднейшим текстам, особенно к текстам третьего периода, от которого до нас дошло немалое их число,— эпохи нововавилонской, персидской и эпохи Селевкидов (примерно от 600 г. до н. э. до 300 г. н. э.). Тексты этого последнего периода обнаруживают значительное влияние вавилонской астрономии, которая в это время приобретает характер настоящей науки, что сказывается в тщательном анализе различных эфемерид. Вычислительная техника математических текстов становится еще более совершенной; алгебра справляется с задачами на уравнения, для которых требуется значительное вычислительное искусство. От эпохи Селевкидов дошли вычисления, которые доведены до семнадцатого шестидесятичного знака. Столь сложные вычислительные работы уже нельзя связывать с вычислением налогов или измерением — стимулом для них были астрономические задачи или просто любовь к вычислениям.

Многое в этой вычислительной арифметике выполнялось с помощью таблиц, в наборе которых есть и простые таблицы для умножения, и таблицы обратных величин, квадратных и кубических корней. В одной из таблиц имеется ряд чисел вида п³ + п², которым, повидимому, пользовались для решения кубических уравнений вида х³ + х² = а. В них содержатся некоторые превосходные приближения: √2≈ дается 1 5/12 (√2≈1.4142, 1 5/12≈ 1.4167)¹), для 2/√2≈0.7071 дается 17/24≈0.7083. Видимо, квадратные корпи определялись по формуле

') Neugebauer О. Exact Sciences in Antiquity // Univ. of Pennsylvania Bicentennial Conference, Studies in Civilization, Philadelphia, 1941.— P. 13—29.

наподобие следующей:

Что касается значения , в большинстве случаев таблички обходятся библейским =3. Есть указания на то, что применялись и лучшие приближения, дававшие для  значение 3 1/8 ¹).

Уравнение х³+х^г=а появляется в задаче, в которой требуется решить систему уравнений xyz + ху = 1 + 1/6, y=2/3 x, z=12x, что сводится к уравнению

(12x)³+(12x)²=252

или, согласно таблицам, 12х = 6.

В клинописных текстах есть задачи и на сложные проценты. Например, ставится вопрос, за какое время удвоится сумма денег, ссуженная под 20 (годовых) процентов. Это приводит к уравнению(1 1/5)^x=2, которое решается так: сначала замечают, что 3 < х < 4, а затем применяют линейную интерполяцию. В наших обозначениях

что дает для х значение 4 года минус (2, 33, 20) месяцев.

Повидимому, одной из особых причин, вызвавших развитие алгебры примерно около 2000 г. до н. э., было то, что новые семитские правители Вавилона использовали прежнее шумерийское письмо. Это письмо, как и иероглифы, было набором идеограмм — каждый знак обозначал отдельное понятие. Семита воспользовались им для фонетической записи слов своего языка и вместе с тем применяли некоторые знаки в их прежнем значении. Следовательно, эти знаки попрежнему выражали понятия, но произносились иначе. Такие идеограммы были вполне пригодны для алгебраического языка, подобно нашим современным знакам +, —, ..., которые в действительности тоже идеограммы. В вавилонских школак администраторов этот алгебраический язык стал частью учебной программы на много поколений и, хотя власть

') Bruins Е. М, Rutten M. Textes mathematiques de .— Paris, 1961,— P, 18,