7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа)
Описание файла
Файл "7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст из документа "7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.
Лекции 7-8
Пространство арифметических векторов Rn
Определение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел. Обозначается , числа называются компонентами арифметического вектора.
Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа
Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.
Вектор называется нулевым вектором, а вектор — противоположным вектором для вектора .
Для любых , , из Rn и любых чисел α , β справедливо:
-
, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;
-
, умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.
Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме.
Линейная зависимость и линейная независимость в Rn
Определение. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где коэффициенты линейной комбинации — некоторые числа.
Определение. Говорят, что вектор пространства Rn линейно выражается через векторы , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов , т.е. представить в виде .
Определение. Система векторов из Rn называется линейно независимой если из следует равенство нулю всех коэффициентов , .
Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой.
Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю , что .
Или: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Пример. Исследуем на линейную зависимость векторы из R3.
Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:
Т.е. линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициенты нулевые — векторы линейно независимы.
Пример. Исследуем на линейную зависимость систему векторов из R3.
Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:
Пусть, например, , тогда , т.е. существует нулевая линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами — векторы — линейно зависимы.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций
-
Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.
-
Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов — линейно зависима.
-
Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.
-
Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.
-
Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система — линейно зависима.
Докажем первое из этих утверждений: любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима. Рассмотрим произвольную систему векторов и добавим к ней нулевой вектор: . Тогда : , т.е. равна нулю линейная комбинация с одним ненулевым коэффициентом — векторы линейно зависимы, ч.т.д.
Остальные утверждения доказываются аналогично. Докажите сами.
Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов в Rn
Справедливо следующее утверждение.
Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов). Система векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один вектор системы векторов из Rn линейно выражается через остальные векторы системы.
Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: векторы линейно зависимы. Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .
Векторы линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты линейной комбинации , не все равные нулю, что .
Не умаляя общности, предположим, что именно . Тогда из следует: — вектор линейно выражается через . Необходимость доказана.
Достаточность. Дано: один из векторов системы линейно выражается через остальные. Докажем, что векторы линейно зависимы.
Действительно, не умаляя общности, положим, что вектор линейно выражается через : . Если все , то и векторы линейно зависимы (см. св-во 1). Если же среди есть хоть одно отличное от нуля число, то — имеем нулевую линейную комбинацию, не все коэффициенты которой равны нулю — система векторов линейно зависима. Достаточность доказана. Теорема доказана.
Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции в координатной форме
Определение. Система векторов из Rn образует базис в Rn если:
-
система векторов упорядочена;
-
система векторов линейно независима;
-
любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.
Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов
Образует базис в Rn если любой вектор из Rn может быть представлен в виде .
Определение. Выражение называется разложением вектора в базисе , а числа называются координатами вектора в базисе .
Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов
линейно независима (см. пример с ) и что для любого из Rn система векторов линейно зависима, поскольку любой вектор линейно выражается через : . Т.е. в Rn существует базис, состоящий из n векторов. Базис называется естественным базисом в Rn, и компоненты вектора — его координаты в естественном базисе.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора из Rn разложение вектора в базисе единственно.
Доказательство теоремы. «От противного». Пусть не так. Т.е. векторы образуют базис в Rn , помимо разложения , существует разложение и не все коэффициенты Ci , Bi совпадают.
Тогда , и, следовательно, , откуда .
Но векторы образуют базис, — они линейно независимы, и, следовательно, , т.е. — все коэффициенты разложений соответственно равны — разложения совпадают. Теорема доказана.
Следствие. Координаты вектора в заданном базисе определяются единственным образом.
Теорема. В пространстве Rn существует базис из n векторов.
Действительно, этот базис — естественный базис
Линейные операции в координатной форме
Пусть векторы образуют базис в Rn. Тогда для любых двух векторов и
из Rn однозначно определены разложения , . Тогда из свойств арифметических операций в Rn следует:
Иными словами, координаты суммы векторов в заданном базисе равны сумме соответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число — произведению соответствующих координат вектора на число.
Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис в подпространстве
Определение. Множество L векторов из Rn , такое, что для любых и из L и любого числа α справедливо , называется линейным подпространством в Rn.
Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rn:
Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:
-
если вектор принадлежит линейному подпространству L, то и вектор принадлежит линейному подпространству L;
-
любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.
Действительно, пусть но тогда и , и, следовательно, .
Утверждение. Пространство Rn само является линейным подпространством в Rn.
Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rn и произведение любого вектора из Rn на любое число принадлежат Rn.
Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы. Обозначаем dimL=k.
Нетрудно доказать следующее утверждение.
Теорема. В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.
Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейно независимых векторов , а любая система из k+1 вектора — линейно зависима, но тогда любой вектор линейно выражается через векторы : , т.е. — базис в L.