6Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа)
Описание файла
Файл "6Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "6Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст из документа "6Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.
Лекция 6. МАТРИЦЫ
Матрицы. Основные понятия. Виды матриц. Равенство матриц
Вспомним определения и обозначения из предыдущей лекции.
Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей.
Будем обозначать матрицы заглавными буквами — A, элементы матриц — , столбцы матрицы — , а строки — , транспонированная матрица — .
Некоторые часто встречающиеся виды матриц имеют собственные названия:
квадратная матрица, , матрица, у которой одинаковое число строк и столбцов;
матрица-строка, , матрица, у которой одна строка;
матрица-столбец, , матрица, у которой один столбец;
диагональная матрица, квадратная матрица, у которой все внедиагональные элементы раны нулю;
единичная матрица, диагональная матрица, у которой все диагональные элементы — единицы нулю;
нулевая матрица, , матрица, все элементы которой — нули;
верхняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже диагонали — нули;
нижняя треугольная матрица, , квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные выше диагонали — нули.
В дальнейшем важную роль будет играть ступенчатая матрица: ,
т.е. существует такое число r, , что для всех , и для всех при . Важно понимать, то у ступенчатой матрицы первые r диагональных элементов отличны от нуля: .
Пример. Ступенчатые матрицы:
Определение. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковую размерность и равные соответственные элементы:
Линейные операции с матрицами. Линейными операциями называются операции сложения и умножения на число.
Определение. Суммой двух матриц одинаковой размерности называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых: .
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента на число: .
Для операций сложения и умножения матрицы на число справедливо:
-
A+B = B+A,
-
A+(B+C) = (A+B)+C,
-
α(A+B) = αA+αB,
-
α(βA) = (αβ)A,
-
(α+β)A=αA+βA,
-
1·A=A,
-
0·A= .
Здесь A, B, C — произвольные матрицы одинаковой размерности, — нулевая матрица той же размерности (читается «тэта»), и — произвольные числа.
Умножение матриц
Операция умножения матрицы на матрицу определяется более сложным образом.
Определение. Пусть заданы две матрицы A и B, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Если
то произведением матриц A и B называется матрица
, элементы которой вычисляются по формуле
, ; произведение матриц A и B обозначается AB: C=AB.
Пример.
Для произведения матриц соответствующих порядков справедливо:
-
A·B ≠ B·A,
-
(A + B) · C = A·C + B·C,
-
C·(A + B) = C·A + C·B,
-
α(A·B) = (αA) ·B,
-
(A·B) ·C = A·(B·C),
-
(AB)T = B TA T,
-
AE=EA=A, A— квадратная матрица, E — единичная матрица соответствующей размерности.
Если AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными.
Непосредственным вычислением легко проверить основное свойство единичной матрицы
Обратная матрица
Определение. Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A, удовлетворяющая соотношениям A·X=X·A=E, то матрица A называется обратимой, а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A-1.
Здесь E — единичная матрица соответствующей размерности.Т.е. A·A-1= A-1·A=E.
Пример.
Теорема о существовании обратной матрицы. Если , то матрицаA обратима и
Здесь — алгебраическое дополнение элемента матрицы A.
Доказательство теоремы. Докажем, что для матрицы (транспонировали матрицу из алгебраических дополнений) справедливо: .
Если , то — сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на их алгебраические дополнения. Если же Если , то — сумма произведений элементов i-й строки матрицы A на алгебраические дополнения другой ( j-й строки, ). Отсюда следует, что диагональные ( ) элементы матрицы равны единице, а внедиагональные ( ) — равны нулю, т.е. .
Равенство доказывается совершенно аналогично. Докажите самостоятельно.
Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы).
Для того, чтобы матрица A была обратима, необходимо и достаточно, чтобы .
Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: матрица A обратима. Докажем, что . Действительно, поскольку A — обратима, то и , и, следовательно, . Отсюда, в частности, следует, что окажем, что .
Достаточность. Дано: . Но тогда обратимость матрицы A следует из теоремы о существовании обратной матрицы. Теорема доказана.
Теорема о единственности обратной матрицы. Обратная матрица единственна.
Доказательство. Докажем «от противного». Пусть это не так, и пусть и , . Из определения обратной матрицы следует: , .
Тогда из ассоциативности умножения матриц и свойств единичной матрицы следует: Выполним некоторые вычисления: , т.е. . Противоречие с предположением доказывает утверждение теоремы.
Аналогичными вычислениями можно доказать следующие свойства обратной матрицы:
Действительно:
совершенно аналогично, , т.е. .
Нетрудно также доказать, что матрица, обратная к диагональной матрице — диагональная, обратная к треугольной — треугольная, обратная к симметричной матрице — симметрична. Докажите эти утверждения самостоятельно.
Ниже приведен порядок операций при вычислении обратной матрицы.
составим матрицу из алгебраических дополнений:
; транспонируем полученную матрицу: ;
разделив каждый элемент последней матрицы на , получим обратную матрицу:
Проверим:
Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
A — матрица системы, B — правая часть, X — матрица-столбец неизвестных.
Тогда:
тогда и только тогда, когда для элементов матрицы X справедливы равенства рассмотренной системы. Т.е. система эквивалентна матричному уравнению A·X = B, в том смысле, что если числа являются решением рассмотренной системы, то соответствующая матрица X является решением матричного уравнения; и наоборот, если матрица X является решением матричного уравнения, то ее элементы являются решением рассмотренной системы.
Матричные уравнения. Рассмотрим матричное уравнение A·X = B.
Если m=n и матрица A обратима, то
т.е. получили выражение для решения системы матричного уравнения
A·X = B. Ясно, что по этой формуле можно вычислить решение системы n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных (см. запись системы в матричной форме).
Аналогично, если соответствующие матрицы обратимы, имеем:
X·A = B, X = B·A-1,
A·X·B = C, X = A-1·C· B-1,
A·X+B = 0, A·X = - B, X = - A-1·B.
Пример. Решим матричное уравнение :
Формулы Крамера. Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных
Обозначим: — определитель матрицы системы, и — определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой j-го столбца столбцом правых частей.
Если определитель матрицы системы отличен от нуля, , то решение системы
Докажем это утверждение. Пусть .
Обозначим и покажем, что Вычислим
Вычислим определитель разложением по первому столбцу, определитель — по второму, …, — по n-му:
, поскольку определитель отличается от только j-м столбцом.
Тогда
поскольку
Т.е. Формулы Крамера доказаны.
Замечание. Нетрудно, показать, что выражения и — две формы записи одного и того же равенства.
Действительно,
Пример. Решим по формулам Крамера систему:
Элементарные преобразования матриц
Помимо операций с матрицами определены операции с элементами матриц, операции со столбцами и строками матрицы — так называемые элементарные преобразования матриц.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:
-
перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы;
-
умножение любой строки (столбца) на произвольное, отличное от нуля, число;
-
сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.
-
к элементарным преобразованиям иногда относят и операцию транспонирования матрицы.
Приведение матрицы к ступенчатому виду Гауссовым исключением
Утверждение. Любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.
Это утверждение на лекции доказано.
Пример. Приведем к ступенчатой форме матрицу .
Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют Гауссовым исключением или методом Гаусса.