3-4Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа), страница 2
Описание файла
Файл "3-4Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "3-4Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст 2 страницы из документа "3-4Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Параметрические уравнения прямой. Вернемся к каноническим уравнениям прямой: 
. Обозначим 
. Переменная t принимает все значения из 
.
Тогда координаты точки 
, принадлежащей прямой, удовлетворяют системе уравнений
— параметрические уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным направляющим вектором. Здесь 
Заметим, что при t =0 получим координаты точки 
.
Связь различных видов уравнений прямой.
Общие уравнения прямой — система двух линейных уравнений первой степени относительно трех неизвестных.
Как записать общие уравнения прямой, если известны ее канонические уравнения?
Цепочка равенств эквивалентна системе
а это — система двух линейных уравнений первой степени относительно трех неизвестных, т.е. общие уравнения прямой.
Как записать общие уравнения прямой, если известны ее параметрические уравнения?
а это — система двух линейных уравнений первой степени относительно трех неизвестных, т.е. общие уравнения прямой.
Система эквивалентна системе 
а это — система двух линейных уравнений первой степени относительно трех неизвестных, т.е. общие уравнения прямой.
Как записать канонические уравнения прямой, если известны ее общие уравнения?
Для того чтобы записать канонические уравнения прямой, нужно найти направляющий вектор прямой и точку на прямой.
Если прямая задана общими уравнениями 
, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей: 
и 
, т.е. направляющий вектор прямой можно вычислить как векторное произведение нормальных векторов: 
,
. Координаты точки на прямой можно найти как одно из множества решений системы .
Когда точка и направляющий вектор найдены, можно записать канонические уравнения прямой.
Задача (Типовой расчет!). Записать канонические уравнения прямой 
Направляющий вектор прямой ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей: 
и 
, т.е. направляющий вектор прямой можно вычислить как векторное произведение нормальных векторов: 
. Координаты точки на прямой можно найти как одно из множества решений системы
Положим 
. Тогда 
, т.е. точка (-3,0,0) лежит на искомой прямой. Теперь можно записать канонические уравнения прямой, проходящей через точку (-3,0,0) с направляющим вектором 
:
или, что то же самое, 
.
Ответ. Канонические уравнения прямой .
Взаимное расположение прямой и плоскости
Параллельность прямой и плоскости. Прямая параллельна плоскости 
тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой 
ортогонален нормальному вектору плоскости 
:
.
Прямая параллельна плоскости тогда и только тогда когда нормальные векторы 
, 
и компланарны:
.
Пересечение прямой и плоскости. Если прямая и плоскость не параллельны, то они пересекаются. Точка пересечения прямой и плоскости — решение системы
Точка пересечения прямой и плоскости — решение системы 
Задача (Типовой расчет!). Найти точку пересечения прямой 
и плоскости 
.
Решение. Запишем уравнения прямой в параметрической форме
и найдем точку пересечения прямой и плоскости как решение системы 
Имеем: 
Проверим:
, 
. Верно.
Ответ. Точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты (10, 4, -3).
Задача (Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке 
относительно плоскости 
.
Решение.
Точка, симметричная данной относительно плоскости, лежит на перпендикуляре к плоскости и удалена от плоскости на такое же расстояние, что и заданная точка.
Запишем параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M перпендикулярно плоскости . Направляющий вектор прямой — нормальный вектор плоскости 
.
Параметрические уравнения прямой: 
Найдем точку M0 пересечения этой прямой и плоскости: 
Точка 
— середина отрезка 
, где 
— искомая симметричная точка. Тогда 
и 
.
Ответ. Симметричная точка — 
.
Задача (Типовой расчет!). Найти точку, симметричную точке относительно прямой 
Решение.
Точка, симметричная данной точке относительно прямой, лежит на плоскости, перпендикулярной прямой и удалена от прямой на такое же расстояние, что и заданная точка.
Запишем уравнение плоскости, проходящей через точку M перпендикулярно прямой
Нормальный вектор плоскости — направляющий вектор прямой 
. Уравнение плоскости: 
, 
.
Найдем точку M0 пересечения этой прямой и плоскости: 
Точка — середина отрезка , где — искомая симметричная точка. Тогда 
и 
.
Ответ. Симметричная точка — 
.
Взаимное расположение прямых
Параллельность прямых. Прямая 
параллельна прямой 
тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны: 
.
Расстояние от точки до прямой.
Из рисунка видно, что расстояние d от точки до прямой равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и 
как на сторонах; 
— точка на прямой.
Тогда 
.
Расстояние между двумя непараллельными прямыми. Расстояние d между двумя непараллельными прямыми и , 
, равно проекции вектора 
на общий перпендикуляр прямых.
Общий перпендикуляр прямых коллинеарен векторному произведению их направляющих векторов: 
. А поскольку 
, 
и 
, то 
. Здесь , 
— точки на прямых, 
и 
— направляющие векторы прямых.
Задача. Найти расстояние между ребрами AC и SB тетраэдра ABCS:
A(1,0,0), B(1,3,0), C(2,7,0), S(1,1,1).
Решение. Направляющий вектор прямой, проходящей через вершины A и C — 
. Направляющий вектор прямой, проходящей через вершины S и B — 
. Тогда расстояние d между ребрами AC и SB вычисляется по формуле 
; 
, 
, 
, 
.
