13Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа)
Описание файла
Файл "13Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "13Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст из документа "13Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
6
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.
Лекция 13
Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Определение собственного значения и собственного вектора линейного оператора
Определение. Пусть A — линейный оператор, действующий в линейном пространстве Rn. Число называется собственным значением, а ненулевой вектор из Rn — соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением. .
Примеры.
1. Нулевой оператор : , т.е. — собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
2. Тождественный (единичный) оператор I: — т.е. собственное значение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
3. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на подпространство R2 параллельно вектору : , , т.е. — собственное значение оператора, проектирования, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы R3, третья координата которых равна нулю: .
Пусть A— матрица оператора в некотором базисе в Rn.
Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением или, что то же самое, :
, . Здесь — единичный оператор.
По теореме о связи координат образа и прообраза имеем: , где E — единичная матрица, а — нулевой вектор Rn .
Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы . Ненулевое решение однородной системы (система нетривиально совместна), существует тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю: . Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы — как решения соответствующих однородных систем.
Легко видеть, что определитель — многочлен n-й степени относительно .
Определение. Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен — характеристическим многочленом оператора.
Примеры.
-
Нулевой оператор : , матрица нулевого оператора — нулевая матрица соответствующего порядка, т.е. т.е. — единственное собственное значение нулевого оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
-
Тождественный (единичный) оператор I: матрица тождественного оператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е. т.е. — единственное собственное значение тождественного оператора, а соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства Rn.
-
Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 на подпространство R2 параллельно вектору : , тогда матрица тождественного оператора — единичная матрица соответствующего порядка, т.е. т.е. и — собственные значения оператора.
Найдем соответствующие собственные векторы.
Пусть , тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения системы т.е.
— собственный вектор оператора, отвечающий собственному значению и, следовательно, все векторы вида — собственные векторы оператора, отвечающие собственному значению .
Теперь положим , тогда соответствующие собственные векторы — ненулевые решения системы т.е.
— линейно независимые векторы, которые являются собственными векторами оператора, отвечающими собственному значению и, следовательно, все векторы вида — собственные векторы оператора, отвечающие собственному значению .
-
. Оператор U поворота пространства R2 на угол φ относительно начала координат против часовой стрелки:
Характеристическое уравнение имеет единственный корень при и при , . Если , , и т.е. соответствующие собственные векторы — все ненулевые векторы пространства R2.
При — оператор поворота не имеет собственных векторов.
И, наконец, при и , , оператор поворота совпадает с тождественным оператором, собственные значения и собственные векторы которого вычислены выше.
Однако, все приведенные выше рассуждения относились к матрице оператора, записанной в некотором определенном базисе в пространстве Rn. А поскольку в пространстве Rn существует много различных базисов, то может возникнуть впечатление, что собственные значения зависят от выбранного базиса. Докажем, что это не так.
Пусть и — два базиса в Rn, а — матрица перехода от базиса к базису , т.е. . Тогда
т.е. характеристическое уравнение инвариантно, не зависит от базиса и его корни — собственные значения оператора — не зависят от базиса.
Пример (ТР Линейная алгебра, задача 9). Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей .
Решение. Запишем характеристическое уравнение:
Собственные значения оператора , .
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению :
, — собственному значению отвечают два линейно независимых собственных вектора и .
Найдем собственный вектор, отвечающий собственному значению :
, — собственному значению отвечает собственный вектор .
Ответ: собственные значения оператора: , ; соответствующие собственные векторы: , , .
Свойства собственных векторов
Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:
-
характеристический многочлен оператора, действующего в Rn является многочленом n-й степени относительно ;
-
линейный оператор, действующий в Rn, имеет не более n различных собственных значений;
-
собственные векторы оператора определяются с точностью до постоянного сомножителя; поэтому принять вычислять собственные векторы единичной длины — орты собственных векторов;
докажем, что если — собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению , то для любого отличного от нуля числа вектор ( )— собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению : ;
-
корни характеристического многочлена не зависят от базиса;
-
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.
Докажем линейную независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.
Пусть — собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению , а — собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению , : и .
Предположим, что векторы и линейно зависимы. Это означает, что один из них линейно выражается через другой: существует такое число , что . Тогда:
Собственный базис линейного оператора. Матрица линейного оператора в собственном базисе
Если линейный оператор, действующий в Rn, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в Rn.
Действительно, ведь мы доказали, что они линейно независимы.
Определение. Базис, составленный из собственных векторов линейного оператора называют собственным базисом оператора.
Если — собственный базис оператора A, то, поскольку то матрица оператора в этом базисе — диагональная матрица с собственными значениями на диагонали.
Пример. Найти матрицу оператора из предыдущего примера в собственном базисе. Оператор в предыдущем примере задан в некотором базисе матрицей .
Решение. В предыдущем примере найдены собственные значения
, и соответствующие собственные векторы оператора —
Собственные векторы оператора образуют базис в R3. Далее.
Первый способ
Второй способ
Запишем матрицу перехода от исходного базиса — к собственному базису : . Тогда .
Решения, полученные обоими способами совпали.