12Линейная алгебра и аналитическая геометрия (Экзаменационная программа)
Описание файла
Файл "12Линейная алгебра и аналитическая геометрия" внутри архива находится в следующих папках: Экзаменационная программа, BM_2. Документ из архива "Экзаменационная программа", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "12Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
Текст из документа "12Линейная алгебра и аналитическая геометрия"
5
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Краткий конспект лекций. Сливина Н.А.
Лекция 12
Преобразование координат вектора при изменении базиса
Как уже отмечалось, в n-мерном пространстве Rn существует множество различных базисов. Пусть 
и 
— два базиса в Rn. Обозначим 
и 
координаты вектора 
в базисах и (векторы-столбцы!!!), т.е.
, 
,
, 
.
Естественно, существует связь между координатами вектора в разных базисах. Найдем ее. Поскольку векторы 
базиса сами являются векторами из Rn, их можно разложить по базису :
.
Тогда 
, т.е. 
или, что то же самое, 
, 
.
Определение. Матрица 
называется матрицей перехода от базиса к базису , это матрица, столбцами которой являются координаты базисных векторов («новых» базисных векторов) в базисе (в «старом» базисе).
Матрица перехода обратима. Действительно, ее столбцы линейно независимы, поскольку они — координатные столбцы базисных векторов.
Тогда из имеем формулу преобразования координат вектора при изменении базиса: 
.
Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 4). Вектор 
задан своими координатами в базисе 
. Найдем координаты вектора в базисе 
: 
Решение. Используем формулу преобразования координат вектора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса к базису — ее столбцы — координаты векторов 
в базисе 
:
.
Найдем обратную матрицу методом Гаусса-Жордана
и тогда 
.
Проверим: 
Получили заданные в условии координаты вектора в исходном базисе.
Ответ: 
Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса
Пусть и — два базиса в Rn.
Обозначим 
и 
координаты векторов и 
из Rn и матрицу оператора A соответственно в базисах и , а — матрицу перехода от базиса к базису , т.е. 
,
, 
Тогда
откуда имеем формулы преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса: 
.
Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 7). Линейный оператор A, действующий в пространстве R3, задан в в базисе матрицей 
. Найдем матрицу оператора A, в базисе :
Решение. Используем формулу 
преобразования матрицы линейного оператора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса к базису и вычислим обратную к ней (см. предыдущий пример): ,
.
Проверим. Проверить можно так: найти образы новых базисных векторов и записать матрицу в новом базисе.
Можно проверить «случайные» арифметические ошибки:
:
, 
.
Ответ: 
Образ и ядро линейного оператора
Рассмотрим линейный оператор A, действующий из пространства Rn в пространство Rm. Напомним, что множество элементов пространства Rn, которые являются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называют образом оператора A и обозначают Im(A).
Теорема. Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространство пространства Rn.
Доказательство теоремы
Рассмотрим произвольные векторы из образа линейного оператора: 
и 
. Это означает: 
и 
такие, что 
и 
.
A — линейный оператор, следовательно, 
т.е. 
;
для любого числа 
, 
т.е. 
. Теорема доказана.
Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).
Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементов пространства Rn, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A): 
.
Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространство пространства Rn.
Доказательство теоремы
Рассмотрим произвольные векторы ядра линейного оператора: 
и 
. Это означает: 
и 
.
A — линейный оператор, следовательно, 
т.е. 
;
для любого числа , 
т.е. 
. Теорема доказана.
Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается def(A): r=def(A)=dimKer(A).
Для линейного оператора
, действующего из пространства Rn в пространство Rm, справедливы следующие утверждения:
1) ранг оператора равен рангу его матрицы;
2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однородной системы с матрицей A; размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;
столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.
Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора (найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей, на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.
Примеры. Ядро и образ нулевого оператора: поскольку 
то 
ядро и образ тождественного (единичного) оператора: поскольку 
, то 
ядро и образ оператора проектирования пространства Rn на подпространство Rn-1 параллельно вектору 
: поскольку 
, то 
ядро и образ оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол π относительно оси вектора 
: поскольку 
, то 
Пример. Найдем ранг, дефект и базис ядра линейного оператора A, заданного в некотором базисе в R3 матрицей 
.
Решение. Приведем матрицу оператора к ступенчатому виду:
.
Следовательно, 
, 
.
Ядро оператора описывается равенством 
.
Методом Гаусса получили выражение для общего решения: 
или, что то же самое, 
.
Найдем ФСР (базис в пространстве решений однородной системы):
.
Базис в пространстве решений однородной системы — это и есть базис в ядре оператора A, заданного в некотором базисе в R3 матрицей A.
Ответ: 
, 
,
базис в ядре оператора образуют векторы .
