Проект программы 2-го семестра

Уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода

1. Принцип Даламбера-Лагранжа. Уравнения Лагранжа со множителями (уравнения первого рода).

2. Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные силы. Случай потенциальных сил, лагранжиан. Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода: обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби), циклические координаты и циклические интегралы. Понижение порядка по Раусу (теорема Рауса).

**. Преобразования лагранжиана, сохраняющие уравнения. Калибровка. Явный вид уравнений Лагранжа. Символы Кристоффеля. Кинетическая метрика. Геодезические. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно старших производных.

Вариационные принципы. Симметрии.

3. Поле симметрий. Теорема Нётер.

4. Вариационные принципы. Функционал действия и его вариация. Принцип Гамильтона. Принцип Мопертюи-Якоби. Кинетическая метрика. Область возможности движения. Метрика Якоби. Вариация по Гамильтону и по Мопертюи-Якоби.

Устойчивость положений равновесия. Малые колебания.

5. Положения равновесия натуральных лагранжевых систем. Устойчивость положения равновесия по Ляпунову. Теорема Лагранжа-Дирихле. Обобщение теоремы Лагранжа-Дирихле для систем с гироскопическими силами.

6. Линеаризация уравнений Лагранжа около положения равновесия. Уравнения малых колебаний. Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений. Парность корней характеристического уравнения. Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.

7. Степень неустойчивости. Теорема о гироскопической стабилизации.

8. Влияние диссипативных сил на устойчивость положения равновесия. Диссипативность сил Релея. Теорема Лагранжа-Дирихле при наложении диссипативных сил.

Инвариантная мера

9. Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат. Теорема Лиувилля об инвариантной мере. Построение инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов (Существование инвариантной меры у ограничения системы на инвариантное многообразие.)

10. Интегрируемость в квадратурах. Теорема Якоби о последнем множителе.

11. Теорема Пуанкаре о возвращении.

Динамика твердого тела с ненодвижной точкой

12. Динамика твердого тела с неподвижной точкой. Динамические уравнения Эйлера. Уравнения Пуассона. Первые интегралы уравнений Эйлера-Пуассона.

13. Инвариантная мера уравнений Эйлера-Пуассона и интегрируемость в квадратурах. Дополнительный первый интеграл в трех классических случаях интегрируемости: Эйлера, Лагранжа и Ковалевской.

14. Случай волчка Эйлера. Фазовый портрет уравнений Эйлера. Устойчивость Стационарных вращений. Эллипсоид инерции. Геометрическая интерпретация Пуансо движения волчка Эйлера. Регулярная прецессия в случае Эйлера.

15. Случай Лагранжа. Циклические интегралы. Понижение по Раусу. Фазовый портрет. След оси динамической симметрии на сфере. Регулярная прецессия волчка Лагранжа.

Гамильтонова механика I

16. Преобразование Лежандра, и его свойства. Канонические переменные. Вывод уравнений Гамильтона из уравнений Лагранжа. Уравнения Гамильтона, и их свойства.

17. Циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона. Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема)

18. Принцип Гамильтона в фазовом пространстве. Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре.

19. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям. Еще раз теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.

20. Канонические преобразования. Производящая функция. Производящая функция тождественного преобразования. Невырожденность преобразований (разрешимость).

21. Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы.

22. Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.

Гамильтонова механика II

23. Инвариантная форма уравнений Гамильтона. Симплектическое многообразие. Формулировка теоремы Дарбу. Гамильтоново векторное поле.

24. Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Алгебры Ли. Примеры. Связь коммутатора функций и гамильтоновых векторных полей. Теорема Пуассона о первых интегралах.

25. Теорема Лиувилля о вполне интегрируемых системах. Формулировка и схема доказательства. Лагранжевы многообразия. Переменные действие-угол. Переменные действие-угол для систем с одной степенью свободы. Переменные действие-угол для гармонического осциллятора.