Проект программы 1-го семестра

Кинематика точки

1. Скорость и ускорение при движении точки по окружности и по кривой. Их проекции на касательную и главную нормаль, Выражение кривизны и кручения пространственной кривой через скорость и ускорение..

Кинематика твердого тела

2. Твердое тело. Мгновенная угловая скорость при его движении. Формулы Пуассона. Распределение скоростей в твердом теле, формула Эйлера. Распределение ускорений в твердом теле, формула Ривальса.

3. Мгновенная ось винта при движении твердого тела. Мгновенный центр скоростей при плоско-параллельном движении. Качение без проскальзывания.

Относительное движение

4. Абсолютная, относительная, переносная скорости точки. Теорема о сложении скоростей в относительном движении

5. Абсолютное, относительное, переносное, кориолисово ускорение точки. Теорема о сложении ускорений в относительном движении

6. Сложение угловых скоростей в относительном движении твердого тела. Углы Эйлера. Выражение угловой скорости твердого тела через них (кинематические формулы Эйлера).

Ньютонова механика

7. Ньютонова механика. Принцип детерминизма. Принцип относительности Галилея и следствия из него. Третий закон Ньютона, внутренние и внешние силы. Вывод формулы для гравитационной силы из законов Кеплера. Закон всемирного тяготения.

Учение о связях

8. Учение о связях. Голономные (геометрические) связи, конфигурационное пространство, обобщенные координаты, число степеней свободы системы. Неголономные (неинтегрируемые) связи. Неголономность конька Чаплыгина. Стационарные связи. Виртуальные (?возможные) и действительные перемещения.

9. Аксиома освобождения от связей. Реакции связей. Элементарная работа. Идеальные связи. Принцип Даламбера-Лагранжа. Идеальность связей твердого тела. Идеальность связей качения без проскальзывания.

Общие теоремы динамики для систем со связями

10. Динамические характеристики механической системы: Импульс, центр масс, кинетический момент. Кинетическая энергия, кинетическая метрика.

12. Общие теоремы динамики для систем со связями - теорема об изменении импульса. Закон сохранения импульса. Теорема об изменении импульса для свободной системы материальных точек.

13. Общие теоремы динамики для систем со связями - теорема об изменении кинетического момента. Закон сохранения кинетического момента. Теорема об изменении кинетического момента для свободной системы материальных точек.

14. Общие теоремы динамики для систем со связями - теорема об изменении кинетической энергии. Работа сил. Потенциальные силы. Закон сохранения энергии. Теорема об изменении кинетической энергии для свободной системы материальных точек.

Общие теоремы динамики в относительном движении

15. Оси Кенига. Формулы Кенига для кинетического момента и кинетической энергии системы. Теоремы Кенига об изменении кинетического момента и кинетической энергии системы.

Динамика и статика свободного твердого тела

16. Оператор инерции твердого тела с неподвижной точкой, его изменение при переходе к другой системе координат. Тензор инерции и его свойства: симметричность положительная определенность, неравенство треугольника для главных значений. Главные оси инерции, Эллипсоид инерции. Вычисление кинетического момента и кинетической энергии твердого тела с неподвижной точкой. Момент инерции относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера.

17. Уравнения движения свободного твердого тела. Условия равновесия твердого тела под действием внешних сил и моментов, эквивалентные системы сил.

Динамика материальной точки

18. Движение точки по прямой под действием силы, зависящей только от положения. Потенциальность сил. Закон сохранения энергии. Фазовый портрет. Формула для периода колебаний.

19. Линеаризация уравнений движения в окрестности положения равноыесия. Малые колебания, Асимптотика периода колебаний в окрестности точки невырожденного минимума потенциальной энергии.

20. Асимптотика периода колебаний при приближении к сепаратрисе.

Небесная механика

21. Задача Кеплера. Вывод законов Кеплера из закона всемирного притяжения. Первые интегралы задачи Кеплера: энергии, площадей и Лапласа. Классификация движений в задаче Кеплера: эллиптическое, параболическое, гиперболическое. Задача двух тел и ее сведение к Задаче Кеплера.

**. Квадратуры в задаче Кеплера. Уравнение Кеплера. Эксцентрическая аномалия. Истинная аномалия и ее связь с эксцентрической аномалией.

22. Движение точки в центральном поле сил. Первые интегралы: энергии и площадей. Вид области возможного движения. Сведение к квадратурам. Апсидальный угол. Апсидальный угол в задаче двух тел.

23. Задача n тел. Ее первые интегралы: энергии и кинетического момента. Устойчивость по Якоби. Теорема Якоби о необходимом условии устойчивости.

Силы инерции

24. Силы инерции. Ограниченная плоская круговая задача трех тел. Уравнения движения. Интеграл Якоби. Относительные положения равновесия. Коллинеарные точки либрации Эйлера. Точки либрации Лагранжа. Области Хилла.

25. Равновесие точки на поверхности Земли. Вес. Ускорение свободного падения. Местная вертикаль. Астрономическая широта. Падение точки в пустоте (у поверхности Земли).

29. Маятник Фуко.