Лекции, страница 4

Если поверхность задана параметрически, то, как указывалось в §1, в окрестности любой ее точки ее возможно задать явным уравнением ( или или ).

Предположим, что поверхность, заданная параметрически, представляет собой конечное объединение частей, каждая из которых задана явным уравнением и рассмотрим одну из частей, для которой . Тогда площадь этой части, по доказанному выше, равна . Перейдем в этом интеграле к переменным , учитывая, что якобиан перехода – это как раз определитель , а , и пусть области соответствует область на плоскости . Тогда по теореме о замене переменных .

Легко проверить, что в случае уравнения или получится интеграл такого же вида: .

Объединяя все полученные части, получаем общую площадь , где - вся область изменения параметров .

Отметим, что выражение можно преобразовать к более удобному для вычислений виду.

Числа суть координаты . Поэтому - квадрат модуля вектора . Напомним, что модуль векторного произведения равен ( - угол между ). Значит, . Здесь ; и . Итак, и формула для площади поверхности, заданной параметрически, такова: .

1. Поверхностные интегралы 1-го типа

Пусть - двусторонняя поверхность, имеющая площадь . Рассмотрим разбиение этой поверхности на части с помощью непрерывных кривых. Пусть функция определена во всех точках поверхности . Выберем произвольным образом точки и рассмотрим сумму .

Определение. Пусть . Если , то мы говорим, что есть поверхностный интеграл 1-го типа от функции по поверхности и обозначаем это следующим образом: .

Отметим, что в определении интеграла первого типа сторона поверхности не участвует. Пример задачи, моделью которой служит поверхностный интеграл первого типа – нахождение массы поверхности , поверхностная плотность которой в точке равна .

Для вычисления поверхностного интеграла 1-го типа удобно использовать следующие формулы.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, . Тогда для любой непрерывной на поверхности функции .

Замачание 1. Если поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференцируемая на квадрируемой области функция, то . Аналогично, в случае задания поверхности уравнением при аналогичных условиях на область и функцию .

Теорема 2. Если поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции на . Пусть непрерывна на . Тогда .

Теоремы 1 и 2 мы оставим без доказательства.

Вместо этого приведем пример вычисления поверхностного интеграла 1-го типа.

Задача. Найти , где - граница тела .

Решение. Это тело представляет собой конус:

состоит из боковой поверхности и основания . На боковой поверхности, уравнение которой всюду, кроме точки и и .

Нарушение этой формулы в единственной точке не повлияет на результат, поэтому , где - проекция на плоскость , т.е. - круг .

В интеграле, стоящем в правой части, перейдем к полярным координатам: ( - якобиан преобразования) .

Основание задано уравнением , поэтому и (этот интеграл отличается от вычисленного выше лишь множителем, поэтому подробное вычисление опущено).

Итак, весь интеграл .

1. Поверхностные интегралы 2-го типа

Пусть двусторонняя поверхность. Выберем определенную сторону этой поверхности. Пусть обозначает нормаль, соответствующую выбранной стороне.

Предположим, что задано векторное поле , определенное и непрерывное на .

Определение. Величина называется поверхностным интегралом 2-го типа от векторного поля по выбранной стороне поверхности .

Этот же интеграл часто записывают так: . При этом для выбранной стороны использованы обозначения , .

Для вычисления поверхностного интеграла 2-го типа используются следующие правила.

Теорема 1. Пусть поверхность задана уравнением , где - непрерывно дифференщируемая в области функция, - непрерывная на функция. Тогда если выбрана верхняя сторона , то , а если выбрана нижняя сторона, то .

Аналогично, если задана уравнением , , где - непрерывно дифференцируемая функция на , то , если нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Если же , - непрерывно дифференцируемая на функция, а непрерывна на , то , если выбранная нормаль составляет с осью острый угол и , если нормаль составляет с осью тупой угол.

Теорема сформулирована без доказательства.

Следствие 1. Если поверхность допускает представление как в виде , так и в виде и в виде , то при условиях теоремы 1 , где выбор знака + или – перед соответствующим слагаемым в правой части равенства определяется тем, какой угол составляют нормали к выбранной стороне с соответствующей осью.

Следствие 2. Если представляет собой конечное объединение непересекающихся поверхностей, , каждая из которых удовлетворяет условиям следствия 1, то и для вычисления используется следствие 1.

Теорема 2. Пусть двусторонняя поверхность задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции и .

Тогда для непрерывным на функций и выбранной нормали , где, напоминаем, , , . При этом выбор знака “+” или “-” перед интегралом производится в соответствии с выбором нормали (и, следовательно, стороны) поверхности. К примеру, если указано, что нормаль составляет с осью острый угол, то знак перед интегралом совпадает со знаком .

Теорема 2 также дана без доказательства.

Пример. Приведем пример вычисления поверхностного интеграла 2-го типа , где - внешняя сторона сферы . Обозначим . Из соображений симметрии очевидны равенства , так что . Поверхность состоит из частей и , задаваемых уравнениями (это - верхняя полусфера) и (это уравнение для нижней полусферы ). На внешняя нормаль составляет с осью острый угол, на - тупой.

Поэтому . Аналогично, т.к. на , а нормаль составляет с осью тупой угол, . Значит, . Поэтому .

1. Формула Стокса

Теорема. Пусть - гладкая ориентированная двусторонняя поверхность (т.е. направление нормали выбрано) и - кусочно гладкая кривая, ограничивающая , причем мы считаем направление обхода положительным. Пусть функции - непрерывно дифференцируемые. Тогда .

Замечание 1. Равносильная формулировка: .

Замечание 2. В случае плоской кривой , лежащей на плоскости и функций эта формула совпадает с формулой Грина.

Замечание 3. Формулы в правой части запомнить непросто. Поэтому удобно записать подынтегральное выражение в виде определителя .

Разумеется, это не совсем обычный определитель. Ведь во второй строке его стоят операторы дифференцирования. Поэтому условимся считать, что мы понимаем под этим определителем его формальное разложение по первой строке, причем произведение, например, оператора на функцию есть и т.п.

Доказательство теоремы. Вычислим, например, .

Тогда . К плоской кривой применим формулу Грина:

Далее, , , и, значит, . Поэтому .

Аналогично, , и .

Формула Стокса доказана.

1. Формула Остроградского-Гаусса

Теорема. Пусть - замкнутая кусочно-гладкая поверхность, ограничивающая тело в пространстве. Пусть выбрана внешняя сторона . Пусть - функции, имеющие непрерывные производные на . Тогда . Равносильная формулировка: , где - внешняя нормаль к .

Доказательство. Предположим, что ограничено сверху - графиком функции , снизу - , , а сбоку – цилиндрической поверхностью .

Вычислим , т.к. на внешняя нормаль составляет с осью тупой угол.

Далее, на и можно добавить к сумме слагаемое .