Математический анализ

4 семестр

Содержание

Кратные интегралы

1. Двойной интеграл

2. Свойства двойных интегралов

3. Суммы Дарбу и их свойства

4. Тройные интегралы

Криволинейные интегралы

1. Криволинейные интегралы первого типа

2. Криволинейные интегралы второго типа

3. Формула Грина

4. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования

5. Связь с вопросом о полном дифференциале

Поверхностные интегралы

1. Двусторонние поверхности

2. Площадь двусторонней поверхности

3. Поверхностные интегралы 1-го типа

4. Поверхностные интегралы 2-го типа

5. Формула Стокса

6. Формула Остроградского-Гаусса

Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля

1. Скалярное и векторное поле

2. Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля

3. Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса

4. Соленоидальное поле

5. Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса

Кратные интегралы

1. Двойной интеграл

Мы будем рассматривать функции , определенные на квадрируемом (т.е. имеющем площадь) множестве . Если вспомнить теорию определенного интеграла, то мы начинали ее изложение с понятия разбиения отрезка . По аналогии, определим разбиение квадрируемого множества , как представление множества в виде объединения конечного числа квадрируемых частей, .

(Практически всегда представляет собой криволинейную трапецию или конечное объединение криволинейных трапеций. Можно считать, что и разбиение на части определяется с помощью непрерывных кривых, т.е. все - также криволинейные трапеции или их конечные объединения).

В одномерном случае мы рассматривали длины частей разбиения . В двумерном случае обобщение понятия длины будет площадь . Однако нам потребуется также и понятие диаметра . Эта величина определяется как точная верхняя грань расстояния между точками множества .

(В частности, если - круг, то - это как раз длина диаметра круга в привычном смысле. В общем случае это понятие поясняет рисунок:

Ясно, что если невелик, по и площадь также невелика, поскольку неравенство означает, что содержится в некотором круге радиуса и, значит, имеет площадь не больше, чем . Действительно, возьмем произвольную точку множества в качестве центра этого круга. Т.к. , остальные точки лежат внутри круга.

Однако площадь может быть невелика, а - достаточно велик:

Пример – очень «тонкий» прямоугольник.)

Определим диаметр разбиения как наибольший из диаметров частей этого разбиения.

Далее, как и в одномерном случае, выберем точки (было: ). Пусть имеет координаты . Важную роль в дальнейшем будет играть понятие интегральной суммы . Так же, как в одномерном случае, эта величина имеет простой геометрический смысл. Вспомним, что сумма представляла собой площадь ступенчатой фигуры вида:

(для простоты считаем, что ).

Вспомним также, что объем цилиндра с основанием, имеющим площадь и с высотой равен .

Поэтому интегральная сумма равна объему тела, состоящего из цилиндров с высотой (для простоты считаем, что ) и основаниями - .

Определение. Пусть - ограниченная на квадрируемом множестве функция. Пусть . Если , то будем говорить, что - интегрируемая на функция и .

Замечание. Это определение несколько отличается от одномерного, в котором отсутствовало требование ограниченности функции . Мы тогда доказывали необходимое условие интегрируемости: если интегрируема на , то ограниченна на .

В двумерном случае мы накладывали это требование для того, чтобы избежать ненужных сложностей.

Критерий существования формировался в терминах сумм Дарбу вида , где , т.е. - нижняя грань, а - верхняя грань значений при .

Нижняя сумма Дарбу

Верхняя сумма Дарбу

Аналогично, обозначим, для ограниченной на функции , (эти числа существуют ввиду предполагаемой ограниченности на и, значит, на всех ) и определим суммы Дарбу равенствами . Эти величины представляют собой объемы тел, состоящих из цилиндров с основаниями и высотами, соответственно . Ясно, что при любом выборе .

Вполне аналогично одномерному случаю можно доказать критерий интегрируемости.

Теорема. Ограниченная интегрируема на квадрируемом

(На экзамене ограничиваемся формулировкой).

Из этого критерия следует теорема.

Теорема. Если непрерывна на квадрируемом множестве , то интегрируема на этом множестве.

(На экзамене достаточно формулировки).

1. Свойства двойных интегралов

Свойство 1. Если - интегрируемые на функции, а - числа, то . Иными словами, интеграл – линейный функционал.

Свойство 2. Если - интегрируема на , причем если площадь пересечения равна 0, то .

Свойство 3. Если - интегрируемая на функция и , то .

Свойство 4. Если - интегрируемые на и , то .

Свойство 5. Если - интегрируемая на функция, то - также интегрируемая, причем .

Свойство 6. Если - интегрируемая на функция, причем , где - ограничивающие множество значений числа, то ( - площадь ), т.е. : . Если, кроме того, - непрерывна на , то .

Доказывать эти свойства мы не будем – они вполне аналогичны свойствам обычного интеграла.

Можно доказать, что если - непрерывная на функция, то - интегрируема на .

Свойство 2 позволяет утверждать, что если имеет разрывы на лишь вдоль конечного числа непрерывных линий, разбивающих на квадрируемые области, то - интегрируема на , т.к., по свойству 2, интеграл по есть просто сумма конечного числа интегралов по полученным частям (где - непрерывна и, значит, интегрируема).

1. Вычисление двойных интегралов

Теорема (Фубини). Пусть непрерывна в области , ограниченной сверху графиком функции , снизу - , , а по бокам –

отрезками вертикальных прямых и . Тогда . Без доказательства.

Замечание. Если область можно ограничить так: , то .

Смысл этой теоремы ясен – указан способ сведения нового для нас объекта – двойного интеграла к уже изученным обычным интегралам.

При вычислении интегралов часто бывает удобно сделать замену переменных , где - непрерывны в некоторой области . Впоследствии мы будем часто писать просто вместо и т.п. и, кроме того, говорить при выполнении вышеупомянутых условий, что и - непрерывно дифференцируемые в функции.

Пусть при этом формулы задают взаимно-однозначное отображение областей: . Кроме того, не стремясь к минимальности условий, потребуем, чтобы всюду на области не равнялся 0.

Теорема. При сформулированных выше условиях для непрерывной на функции .

Строгое доказательство этой теоремы потребовало бы значительных усилий из-за обилия технических деталей. Мы изложим здесь схему доказательства. Во-первых, оба интеграла в формулировке теоремы существуют, поскольку - непрерывная функция.

Рассмотрим разбиение области прямыми, параллельными осям . Рассмотрим его часть, имеющую вид прямоугольника с вершинами

При отображении эти точки перейдут, соответственно, в точки

Далее, при

При малых производные , вычисленные в точках , мало отличаются от соответствующих производных, вычисленных в точке , поэтому мало отличаются от и , соответственно, и рассматриваемый четырехугольник представляет собой “почти параллелограмм”.

Площади параллелограмма со сторонами равна модулю определителя , т.е. равна .

Поэтому при преобразовании интегральная сумма близка к интегральной сумме и т.к. соответствующие интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях доказываемого равенства мало отличаются друг от друга, то и интегралы совпадают.

Замечание. Утверждение теоремы сохранится, если условие взаимной однозначности отображения нарушится на множестве нулевой площади.

Пример. Переход к полярным координатам.

Пусть требуется посчитать по области , которая задается в полярных координатах условиями .

Сделаем замену переменных .

При этой замене нарушается взаимная однозначность отображения. Точке соответствует целый отрезок на оси . Однако точка имеет нулевую площадь и теорема справедлива. Осталось вычислить . , . .

Следовательно, .

Полярные координаты бывают очень полезны при вычислениях. Рассмотрим пример. Найти .

Решение. - это несобственный интеграл, и прежде всего следует установить его сходимость. По определению, . Первый из интегралов – собственный, второй – сходится по 1-й теореме о сравнении, т.к. при справедливы неравенства , а , очевидно, сходится.

Обозначим (очевидно, ). Тогда, поскольку обозначение переменной интегрирования можно выбрать произвольным, , где - квадрат, а -

четверти круга, соответственно, радиусов . Т.к. , то по свойствам 2 и 3 двойного интеграла . В интеграле п перейдем к полярным координатам:

. Аналогично, и . При стремлении получаем, что , т.е. .

1. Тройные интегралы

Рассмотрим кубируемую область в трехмерном пространстве . Разбиение на части осуществляется непрерывными поверхностями. Диаметр разбиения определяется аналогично двумерному случаю. Также, по аналогии, можно определить для функции , разбиения области и выбранных точек интегральную сумму , где обозначает объем области .