Определение. Пусть такое число, что . Тогда мы говорим, что интегрируема на , число есть интеграл по области и обозначаем это так: .

Как и в случае двойного интеграла, выполняются аналогичные свойства 1-6. Можно доказать, что если непрерывна на , то она интегрируема на . Точно также можно убедиться в том, что если точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных поверхностей, лежащих в и разбивающих на кубируемые области, то интегрируема на .

Вычисление тройного интеграла производится по следующему правилу.

Теорема. Пусть задана следующими неравенствами: , . - квадрируемая область на плоскости, - непрерывные. Тогда

Замечание. Если область задана неравенствами , где - непрерывные функции, то

Сформулируем общую теорему о замене переменных.

Теорема. Пусть отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между областями и , причем функции - непрерывно дифференцируемые и ни в одной точке . Пусть - непрерывная на функция. Тогда

Как и для двойного интеграла, теорема остается верна в случае нарушения ее условий на множестве нулевого объема.

Пример. Переход к цилиндрическим координатам. Он осуществляется с помощью функций: .

При этом якобиан равен .

Пример 2. Переход к сферическим координатам осуществляется функциями .

Якобиан преобразования равен (разложение по 3-й строке) (выделим общие множители у столбцов) .

Криволинейные интегралы

1. Криволинейные интегралы первого типа

Рассмотрим спрямляемую (т.е. имеющую длину) кривую AB на плоскости (A, B – точки плоскости). Для простоты, считаем что эта кривая задана параметрически , причем – непрерывно дифференцируемые на отрезке функции такие, что каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой.

Тогда длина кривой выражается формулой .

Под разбиением T кривой AB будем понимать множество точек , лежащих на этой кривой и занумерованных в направлении от A к B. Пусть - длина кривой .

Диаметр d(T) определим как .

Пусть функция определена на кривой AB. Выберем на каждом участке кривой точку и образуем сумму , называемую интегральной.

Определение. Пусть . Если , то величина I называется криволинейным интегралом первого типа по кривой AB и обозначается так: .

Важное замечание. Если бы мы совершали движение по кривой не от A к B,

а от B к A, то в разбиении T с выбранными точками изменилась бы только нумерация отрезков и точек , а сама интегральная сумма не изменилась бы, поскольку в ее определении фигурирует лишь длина участка, которая не зависит от того, в каком направлении проходится участок. Это означает, что .

В этом важнейшее отличие от обычного определенного интеграла, который менял бы знак при изменении направления обхода кривой.

Сформулируем теорему, сводящую новый пока объект - криволинейный интеграл к обычному определенному интегралу.

Теорема. Пусть - непрерывная на кривой AB функция (т.е. - точек кривой таких, что расстояние между меньше ). Пусть кривая AB параметризована так: , где - непрерывные на функции, причем каждому значению параметра соответствует единственная точка кривой. Тогда .

Теорему оставим без доказательства.

Отметим, что изменение направления обхода кривой означает одновременную смену пределов интегрирования и знака величины dt, что не изменяет величину интеграла в правой части этого равенства.

Из свойств криволинейного интеграла отметим следующие 2 остальных:

1. при условии, что существуют и .

2. Если AB, BC - кривые, удовлетворяющие условиям теоремы, то .

Свойство 2 позволяет определить криволинейные интегралы 1-го типа для кусочно-гладких кривых (т.е. кривых, состоящих из конечного числа частей, каждая из которых удовлетворяет условиям теоремы). В частности, можно определить криволинейный интеграл и для замкнутых кривых.

1. Криволинейные интегралы второго типа

Рассмотрим, как и в параграфе 1, кривую AB, которую пока считаем незамкнутой.

Пусть проекция этой кривой на ось x представляет собой отрезок .

Пусть точки дают разбиение кривой AB. Рассмотрим их проекции , лежащие на отрезке и обозначим .

(Отметим, что точки не обязательно упорядочены так: , т.е. не обязательно дают разбиение отрезка , поэтому некоторые могут быть меньше 0!).

Пусть - определена на AB. Пусть - точка, лежащая на кривой между и . Положим .

Определение. Пусть . Если , то говорят, что I - это криволинейный интеграл второго типа .

Точно также, рассматривая проекции на ось y, определим .

Интеграл общего вида определяется, как сумма этих двух интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла 2-го типа проводится в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. При условиях предыдущей теоремы .

Примечание 1.

1. Если кривая L задана явным уравнением , где - непрерывно дифференцируемая функция, то предыдущая формула принимает вид: .

2. Если L задана уравнением , то .

3. Если L - отрезок прямой , то для любой функции P, если L - отрезок прямой , то для любой функции Q.

Примечание 2.

Пусть - угол, составляемый вектором касательной к кривой и положительным направлением оси x. Тогда . Поэтому .

Заметим, что при изменении направления обхода угол изменяется на . При этом , и интеграл в правой части написанного выше равенства меняет свой знак.

Примечание 3. В случае пространственной кривой L: , где - непрерывные на функции, а f - непрерывна на L, то .

Аналогично, для непрерывных на L функций P,Q,R имеем .

Примечание 4. Говорят, что на области задано векторное поле , если каждой точке сопоставлен вектор . Обозначим - радиус-вектор точки и . Тогда (скалярное произведение) . Поэтому . Из физики известно, что эта величина представляет собой работу силы вдоль кривой L.

1. Формула Грина

Эта формула обобщает формулу Ньютона-Лейбница.

Теорема 1. Пусть G - криволинейная трапеция: , где - непрерывные на функции, L - граница области G и направление обхода L выбрано так, что область G остается слева.

Пусть . Тогда .

Знак означает, что контур интегрирования L - замкнутый.

Доказательство. Вычислим .

При каждом фиксированном величина определяется, как производная по y функции от одной переменной y, P(x,y). Поэтому при каждом x применима формула Ньютона-Лейбница, согласно которой . Поэтому .

Разобъем кривую L на 4 участка.

Согласно c) из примечания 1 предыдущего параграфа, . По правилу из a) примечания 1, . Поэтому .

Теорема 2. Пусть G - криволинейная трапеция , где - непрерывные на функции, L - граница G, а направление обхода L выбрано так, что G остается слева.

Пусть .

Тогда .

Доказательство. . Теорема доказана.

Следствие 1. Если область G можно представить как в виде трапеции , где - непрерывно дифференцируемые на функции, так и в виде , где - непрерывно дифференцируемые на функции, L - граница G, причем при ее обходе область G остается слева, то .

Примечание. Области, удовлетворяющие условиям следствия 1 - явление обычное. Например, круг , ограниченный окружностью , можно задать так: , а можно и так: .

Следствие 2. Если область G можно разбить кривыми на конечное число областей, удовлетворяющих условиям следствия 1 и L - граница G, причем направление обхода выбрано так, что область G остается слева, и P и Q удовлетворяют перечисленным выше условиям, то .

Доказательство.

Ограничимся случаем, когда область G разбивается на 2 части , удовлетворяющие условиям следствия 1, кривой . Пусть ограничивает , а ограничивает . Тогда , поскольку - это часть L и кривая , а - остаток L и кривая , но проходимая в противоположном направлении (поэтому интегралы по этим добавленным участкам сократятся).

Замечание. Можно доказать формулу Грина для областей, ограниченных замкнутыми кусочно-гладкими кривыми.

1. Независимость криволинейного интеграла от формы пути интегрирования

Пусть область. Эта область называется односвязной, если вместе с любым замкнутым контуром , лежащем в ограничиваемая контуром область также целиком содержится в .

Пример односвязной области: круг

Пример неодносвязной области: круг с выколотой точкой. содержит выколотую точку, а - нет, следовательно не входит в целиком.

Теорема 1. Пусть - односвязная область, . Условие, что равносильно тому, что всюду в этой области .

Доказательство.

1. . Если всюду в выполнено равенство , то по формуле Грина .

2. . Предположим, что в области есть точка , в которой . Пусть, для определенности, .

Тогда существует окрестность точки , в которой значения больше, чем . Выберем в этой окрестности окружность радиуса и рассмотрим .

По формуле Грина . Это противоречит предположению о том, что должен быть равен 0.

Определение. Пусть - область, , - контур. Будем говорить, что не зависит от формы пути в , если - контуров с началом в точке и концом в точке , .

Теорема 2. Пусть - область. Условие независимости от формы пути в равносильно тому, что для любого замкнутого контура .

Доказательство.

1. ( ). Пусть интеграл не зависит от формы пути и пусть - замкнутый контур в . Выберем на две произвольные точки и и рассмотрим

   соединяющие эти точки части контура , назовем их . При этом состоит из и проходимого в противоположном направлении контура . По условию, . Значит, .

2. ( ). Пусть для любого контура .

А) В случае, если , соединяющие точки не имеют других общих

точек, то, как и в предыдущей части, состоит из и проходимой в противоположном направлении . Поэтому , откуда .

Б) Если имеют конечное число общих точек, кроме и , то можно

применить пункт 2А к каждому полученному контуру, интеграл по которому в связи с предположением равен 0, и поэтому для каждой такой полученной части .

В) Случай, когда кроме и кривые имеют бесконечное множество общих точек, мы оставим без доказательства.

Сопоставляя теорему 2 с теоремой 1, получаем следствие.