Лекции, страница 5
Описание файла
Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Лекции"
Текст 5 страницы из документа "Лекции"
Далее, если поверхность можно представить в виде объединения поверхностей и цилиндрической поверхности, то ,и, при аналогичных условиях, .
Поэтому, если поверхность удовлетворяет условиям всех трех случаев, то .
Теперь предположим, что состоит из конечного числа тел , разделенных гладкими поверхностями , причем эти тела удовлетворяют сформулированным выше условиям. Для простоты, пусть .
Тогда . Каждый из интегралов преобразуем по формуле Остроградского-Гаусса как , где взяты внешние стороны поверхностей .
Поверхности имеют общую часть , причем их внешние нормали на противоположны и интегралы по от взаимно сократятся, поэтому .
Тем самым, теорема доказана.
Приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов. Элементы теории поля
-
Скалярное и векторное поле
Определение. Скалярное поле на области ( ) представляет собой произвольную функцию , определенную на .
Поверхности уровня скалярного поля – это множества решений уравнения при заданных значениях .
Пример. На географической карте линии уровня (двумерный аналог поверхности уровня) показывают точки, лежащие на одной высоте. Аналогичные примеры – изотермы, изобары и т.д.
Векторное поле на области (или ) – это вектор, координаты которого являются функциями, определенными на .
Примеры представляют собой силовое поле, поле скоростей и т.п.
-
Производная скалярного поля по направлению. Градиент скалярного поля
Во 2-м семестре мы уже рассматривали производную плоского поля (т.е. ) по направлению , . Понятие величины отрезка определяется аналогично и для . Напоминаем: величина отрезка представляет собой его длину со знаком “+”, если векторы и одинаково направлены и длину со знаком “-”, если их направления противоположны. Тогда, по определению, .
Если введена система прямоугольных декартовых координат и вектор задан направляющими косинусами , то при условии дифференцируемости в т. легко вывести формулу: |
, где - градиент скалярного поля в точке .
Разумеется, понятие градиента можно ввести и без использования системы координат: , т.к. - единичный вектор.
Таким образом, , причем равенство наступает при условии . Наибольшее значение по всем выборам , таким образом, есть , а направление градиента – это как раз тот вектор , на котором это наибольшее значение достигается. Итак, направление и модуль вектора определено без использования координат. Это говорит об инвариантности этого понятия и о наличии реальных естественно-научных интерпретаций.
Однако для вычисления градиента удобно его координатное представление. Из него, в частности, легко следуют свойства градиента.
Пример. Найдем , где - модуль радиус-вектора .
По формуле 5 из этого равенства следует:
Мы получили формулу для вычисления гдариента радиальной функции .
Рассмотрим теперь поверхность уровня скалярного поля , т.е. поверхность, задаваемую уравнением . Предположим, что - непрерывно дифференцируемая функция от . Тогда уравнение касательной плоскости в точке , лежащей на этой поверхности, имеет вид .
Координаты вектора градиента представляют собой коэффициенты этого уравнения. Поэтому - нормаль к касательной плоскости в т. и, по определению, нормаль к самой поверхности уровня в этой точке.
-
Поток вектора через поверхность. Дивергенция векторного поля. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса
Пусть - векторное поле, - двусторонняя поверхность. Пусть выбрана сторона, т.е. нормаль . Назовем - потоком вектора через поверхность в указанную сторону.
Тогда для всей воверхности получим . Таким образом, поток представляет собой скорость изменения количества протекающей через жидкости в рассматриваемый момент времени.
Пусть векторное поле задано в выбранной системе координат как . Назовем дивергенцией скалярное поле (при условии, что эти частные производные существуют).
Легко доказать, что:
Вспомним формулировку теоремы Остроградского-Гаусса: , где - непрерывно дифференцируемое векторное поле, - замкнутая поверхность, ограничивающая объем и - вектор внешней нормали.
Левая часть формулы имеет вид , т.е. представляет собой поток через внешнюю сторону , а правую часть можно выразить следующим образом: . Итак, векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса:
При сформулированных выше условиях .
Понятие можно определить независимым от координат способом. Для этого рассмотрим точку , окружим ее шаром радиуса и применим теорему Остроградского-Гаусса: , где - вышеупомянутый шар, а - внешняя сторона ограничивающей его сферы. К правой части применим теорему о среднем (учитывая непрерывность ): , где - близкая к точка. При и мы можем определить дивергенцию равенством: , в правой части которого система координат не фигурирует.
Если считать вектором скорости жидкости, то - это плотность источника.
-
Соленоидальное поле
Определение. - соленоидальное поле, если .
Векторная линия обладает тем свойством, что в любой ее точке вектор касательной к линии совпадает с .
Векторная трубка – это совокупность векторных линий.
Пусть - сечения векторной трубки и - ее боковая поверхность. . Рассмотрим внешнюю нормаль к и применим теорему Остроградского: , в случае соленоидального поля. Итак, . На по определению векторной линии , поэтому или . Изменяя направление нормали на на противоположное получаем, что поток соленоидального поля через поперечные сечения векторных трубок постоянен.
-
Циркуляция, ротор. Векторная формулировка теоремы Стокса
Пусть - контур с заданным направлением обхода, - векторное поле, - единичный вектор касательной к кривой. Определим циркуляцию как интеграл (смысл – работа силы вдоль контура ).
Введем систему координат. Пусть - направляющие косинусы , - координаты .
Тогда и циркуляция представляет собой интеграл .
Для заданного непрерывно-дифференцируемого поля определин ротор (или вихрь) этого поля: .
Легко проверить свойства ротора.
Вспомним теперь теорему Стокса: , где - непрерывно дифференцируемые функции, - кусочно гладкая поверхность, - ее край, причем направление обхода относительно выбраной стороны является положительным.
Вспомним, что , где - направляющие косинусы к выбранной стороне.
При этом правая часть формулы Стокса принимает вид или . Итак, в сделанных выше предположениях теорема Стокса выглядит так: .
Получим определение без использования системы координат. Пусть - точка, - плоскость, в которой лежит окружность радиуса с центром в .
Тогда по теореме о среднем ввиду непрерывности подынтегральной функции. Здесь точка близка к . По теореме Стокса, или |
Ввиду произвольности выбора плоскости, получаем проекцию на произвольную ось . Это определяет и сам вектор.
Можно доказать и обратное. Если область односвязная и векторное поле удовлетворяет условию , то - потенциальное, т.е. существует функция такая, что .
Отметим, что выводы о независимости интеграла от формы пути интегрирования, сделанные для двумерного случая, полностью переносятся и на трехмерный. Полученное там условие и вполне аналогичны.
46