Лекционный курс в ворде, страница 7

Если составляющие x и y –ДСВ, то (x, y)-Дискретная двумерная случайная величина (ДДСВ),если x и y –НСВ, то (x, y)-Непрерывная двумерная случайная величина (НДСВ).

Рассмотрим закон задания ДДСВ. Этот закон задается в виде таблицы с

(1)

p_ij= p(X= x_i, Y= y_i)

{X= x_i, Y= y_i }_{I=1..n ,j=1..m} – совокупность этих событий образуют полную группу попарно несовместных событий.

- для любой таблицы ДДСВ

Из таблицы (1) можно получить законы распределения составляющих.

Действительно,

пример 1:

Случайная величина (x, y) задана таблицей:

0.2

0.3

0.3

0.2
0.8 0.2

Исходя из таблицы найти вероятность того, что

p(y=x)=0.3+0.05=0.35

p(y<x)=0.1+0.25+0.1+0.05=0.5

p(y>x)=0.15

Двумерную случайную величину можно задавать функцией распределения. Введем понятие F(x, y),как

F(x, y)= p(X<x, Y<y)

Дадим этому определению геометрическое толкование

Пусть (x, y) случайная точка на плоскости, тогда F(x, y)-это вероятность попадания случайной точки в заштрихованную область.

Для ДДСВ, заданной таблицей

F(x, y)=

x_k < x

y_l < y

табл.1

табл.2

Свойства функции распределения

1. F(x, y) [0,1]

2. F(x, y) не убывающая функция

x ₁ < x₂

y=y

F(x₁,y) ≤ F(x_1, y)

3. F(x,y)→0,

когда либо x→-∞ ,либо y→-∞ ,

либо x,y→-∞

т.к событие {x<-∞,y<-∞ -невозможно.

4.F(x,y) →1,

когда {x→+∞, y→+∞ ,

т.к событие {x<+∞,y<+∞ -достоверно

5. Из закона распределения системы можно получить закон распределения каждой из составляющих.

x→+∞, то x<+∞ -достоверно

F(x,y)= F₂ (y)

y→+∞

F(x,y)= F₁ (x)

По таблице 2 найдем законы распределения каждой составляющей

F₁ (x)=

F₂ (y)=

П.3 Задача о вероятности попадания СВ в некоторую область

Задача 1.

Рассмотрим вертикальную полосу

Вычислим вероятность следующего события:

P(x₁≤X≤x₂ ,Y<y)=P(X< x₂ ,Y<y)- P(X< x₁ ,Y<y)=F(x₂ ,y)- F(x₁ ,y)

Задача 2.

Рассмотрим горизонтальную полосу

P(X<x, y₁≤Y≤y₂ )= F(x,y₂ )- F(x,y₁ )

Задача 3.

Рассмотрим вероятность попадания СВ в прямоугольник

P(x,y ABCD)= P_BC – P_AD = F(x₂,y₂ )- F(x₁,y₂ )- [F(x₂,y₁ )- F(x₁,y₁ )]

пример 2:

Дана двумерная СВ распределенная по закону:

F(x,y)=

Используя задачу 3,найдем вероятность

§3.Двумерная плотность вероятности. Условный закон распределения

П.1 Двумерная плотность и её свойства

Пусть x, y-непрерывная СВ. Рассмотрим на плоскости прямоугольник

и обозначим через P_∆x,∆y вероятность попадания данной величины в данный прямоугольник. Разделим эту вероятность на площадь прямоугольника и перейдем к пределу:

Нетрудно увидеть, что это записано . Эту функцию называют плотностью вероятности двумерной случайной величины.

(1)

Отметим основные её свойства:

1.

для любого x,y ,т.к она определяется через предел отношения вероятности к площади. Вероятность неотрицательна, площадь неотрицательна, следовательно, функция не может быть отрицательной.

2. Исходя из определения -вероятность попадания СВ в малый прямоугольник, тогда вероятность попадания в некоторую область D

определяется как

3. Установим связь между и F(x,y)

Помимо формулы (1) можно показать, что F(x,y)= (2)

Док-во:

Формула (2) определяет собою вероятность попадания случайной точки в область бесконечного квадрата с правой вершиной x,y.

4. Нормировка

Имеет место равенство

(3) =1,

которое означает достоверность события:

5. Геометрическая интерпретация

Исходя, из определения функции она может быть изображена некоторой поверхностью

П.2 Отыскание законов распределения для составляющих двумерной СВ

Пусть x,y-ДНСВ

F(x,y), тогда

F(x,y)=

F₁(x)=

анологично

F₂(y)=

И плотности вероятностей:

пример 1:

ДДСВ распределена равномерно в круге единичного радиуса

Найти: , F(x,y), F₁(x), F₂(y), ,

=

F(x,y)=

F(x,y)=0

x≤-1

y≤-1

F(x,y)=1,если

F₁(x)=

||

F₁(x)=

Возникает задача: можно ли, зная законы распределения составляющих найти закон распределения системы.

Введем понятие условных законов распределения составляющих

φ(x/y)

φ(y/x)

они вводятся аналогично условным вероятностям

φ(x,y)= φ ₁(x)* φ(y/x)

φ(y/x)=

φ(x/y)=

§4.Зависимые и независимые СВ

СВ X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависят от закона распределения каждой из них, т.е их условные законы совпадают с безусловными.

φ(x/y)= φ ₁(x)

φ(y/x)= φ ₂(y)

φ(x,y)= φ ₁(x)* φ ₂(y)

Можно сформулировать условие независимости.

Для того что бы X и Y были независимыми, необходимо и достаточно разделение переменных в их законах.

Тогда,

F(x,y)= F ₁(x)* F ₂(y)

В предыдущем примере плотность

φ(x,y)= во внутренних точках круга

φ ₁(x)* φ ₂(y)=

т.е X и Y зависимые переменные, для независимых величин переменные х и у разделяются

пример 1:

Составить закон распределения двумерной случайной величины

{P (X=x_i ,Y=y_i )}

*

Определим по аналогии с условными законами непрерывной случайной величины

Составим условный закон распределения

P(X/y=2)

P(Y/x=2)

Используя формулы(*)

Замечание: для условных законов распределения сумма вероятностей так же равна нулю

§5.Числовые характеристики двумерной случайной величины

Двумерная СВ так же характеризуют начальный и центральный моменты