Математический анализ

2 семестр

Содержание

Определенный интеграл

1. Интегральные суммы. Определение интеграла

2. Необходимое условие существования интеграла

3. Суммы Дарбу и их свойства

4. Критерий интегрируемости

5. Интегрируемость непрерывной функции, монотонной функции

6. Свойства интеграла

7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

8. Приемы вычисления определенных интегралов

9. Приложения интеграла: площадь плоской фигуры

10. Приложения интеграла: объем тела

11. Приложения интеграла: длина дуги кривой

12. Приложения интеграла: площадь поверхности вращения

13. Несобственные интегралы

Функции нескольких переменных

1. Пространство Rⁿ

2. Функции и отображения. Предел

3. Свойства предела. Непрерывность

4. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

5. Достаточное условие дифференцируемости

6. Дифференциал

7. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

8. Производные высших порядков

9. Дифференциалы высших порядков

10. Формула Тейлора

11. Геометрические приложения: касательная плоскость

12. Геометрические приложения: производная по направлению, градиент

13. Экстремумы функций нескольких переменных

14. Достаточные условия экстремума

15. Неявная функция

16. Условный экстремум

Определенный интеграл

1. Интегральные суммы. Определение интеграла

Определение. Точки задают разбиение отрезка . Для краткости будем обозначать разбиение буквой .

Обозначим .

Определение. Наибольшее из чисел называется диаметром разбиения T и обозначается .

Определение. Если произвольным образом выбрать точки , то получится разбиение T с отмеченными точками . Будкм обозначать набор .

Пусть функция определена на отрезке .

Определение. Величина называется интегральной суммой, соответствующей разбиению T с выбранными точками .

Определение. Пусть существует число такое, что для любого существует , такое, что для и любого выбора точек выполняется неравенство

.

Тогда функция называется интегрируемой на , а число I называется ее интегралом по отрезку и обозначается

.

Примечания.

Это-определение интеграла Римана (Б. Риман (1826-1866)). Существуют другие определения интеграла (интеграл Лебега, интеграл Мак-Шейна, интеграл Курцвейла-Хенстока, интеграл Стилтьеса и др.). Мы будем рассматривать лишь интеграл Римана ввиду относительной простоты его определения, с одной стороны, и его достаточности для приложений, с другой стороны.

Чисто, допуская некоторую вольность языка (в математическом смысле!) говорят, что интеграл – это предел интегральных сумм при стремлении к нулю диаметра разбиения . «Вольность» состоит в том, что у нас имеется определение предела функции одной переменной, а интегральная сумма зависит не только от , но и от самого разбиения T, и от выбора точек . Поэтому говоря в дальнейшем о пределе интегральных сумм мы имеем в виду утверждение, сформулированное в определении интеграла.

Впрочем, этой вольности можно избежать, если рассматривать понятие предела по базе (с этим понятием можно ознакомиться в более развернутых курсах математического анализа).

1. Необходимое условие существования интеграла

Теорема. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на .

Доказательство. Возьмем в определении интеграла и рассмотрим соответствующее ему . Пусть T – любое разбиение, удовлетворяющее условию . Для того, чтобы убедиться в справедливости теоремы, достаточно доказать, что при всех функция ограничена на отрезке , т.е. . Действительно, тогда для имеем при : , т.к. x входит в некоторый отрезок и, значит .

Выберем любое и представим интегральную сумму в виде (1).

Зафиксируем произвольным образом числа выбранные в соответствующих промежутках. При этом первое и третье слагаемые в равенстве (1) примут определенное фиксированное значение. Обозначим сумму этих слагаемых буквой J. Таким образом, при любом (2).

По условию, функция интегрируема, значит , т.е. , или . Откуда, учитывая (2), , , (3).

Левая и правая части неравенств (3) представляют собой величины, не зависящие от . Поэтому неравенства (3) означают, что . Теорема доказана.

1. Суммы Дарбу и их свойства

При исследовании вопроса о существовании интеграла важную роль играют суммы Дарбу (Г. Дарбу (1842-1917)).

По доказанной в §2 теореме ограничена на и, следовательно, для любого разбиения T отрезка она ограничена на всех отрезках , (т.е. множество ее значений на этом отрезке ограничено сверху и снизу). Обозначим - точную верхнюю грань, а - точную нижнюю грань множества значений функции на , .

Определение. Числа и называются соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции для разбиения T на отрезке .

Теорема. Верхняя сумма Дарбу представляет собой точную верхнюю грань, а нижняя сумма Дарбу - точную нижнюю грань множества значений интегральных сумм при заданном разбиении T и всевозможных выборах точек .

Доказательство. Проведем его для верхней суммы Дарбу. Для нижней суммы рассуждения вполне аналогичны.

Во-первых, для любого и для любой точки имеет место неравенство (по определению ). Значит, (1).

Суммируя неравенства (1) по всем получаем . Т.е. - верхняя грань множества по всевозможным выборам .

Осталось доказать, что - точная верхняя грань. Для этого возьмем произвольное . Поскольку - точная верхняя грань множества значений на отрезке , существует точка такая, что и (2).

Суммируя неравенства (2) по получаем, что , т.к. (суммарная длина отрезков, составляющих отрезок , равна длине этого отрезка).

Итак, доказано, что для любого можно так выбрать точки , что , что как раз и означает, что , где верхняя грань взята по всевозможным выборам точек . Теорема доказана.

Замечание. Отметим очевидность неравенства: .

Считая известным понятие площади многоугольника, отметим, что нижняя сумма Дарбу, соответствующая разбиению , представляет собой площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке есть нижняя из 3 ломаных, отмечена жирной линией.

Верхняя сумма Дарбу - это площадь многоугольника, верхняя граница которого - верхняя из 3 ломаных линий, отмечена еще более жирной линией.

Наконец, интегральная сумма, соответствующая выбору точек - это площадь многоугольника, верхняя граница которого на рисунке заключена между описанными выше линиями и изображена простой линией.

Определение. Разбиение отрезка называется продолжением разбиения (или измельчением), если оно получено присоединением к новых точек деления.

(круглыми точками отмечены новые точки деления).

Теорема.

1. Если продолжает , то , (3).

2. Для любых разбиений и имеет место неравенство: (4).

Доказательство. Сначала докажем неравенства (3) в случае, когда получено присоединением к одной новой точки. Пусть эта точка, обозначим ее , попала в интервал . Рассмотрим суммы Дарбу, соответствующие старому разбиению и новому разбиению.

Поскольку остальные отрезки старого разбиения остались без изменения, соответствующие им слагаемые сумм Дарбу не изменятся. Поэтому различие старой и новой суммы Дарбу только в том, что:

Для верхней суммы Дарбу слагаемое заменяется на сумму , где - точная верхняя грань множества значений на , - на ;

Для нижней суммы Дарбу слагаемое заменяется суммой , где - соответствующие точные нижние грани.

Очевидны неравенства: (точная верхняя грань множества значений на части отрезка не превосходит точной верхней грани множества значений на всем отрезке, а точная нижняя грань множества значений на части отрезка не меньше, чем точная нижняя грань множества значений на всем отрезке).

Поэтому , т.к. .

Аналогично, , т.к. .

Итак, первое утверждение теоремы доказано в случае, когда получено из добавлением одной новой точки.

Если же таких новых точек - несколько, то мы можем рассматривать как результат последовательного присоединения по одной точке. При этом, по доказанному выше, при каждом таком присоединении точки верхняя сумма Дарбу не увеличивается. Значит, и в общем случае. Аналогичное рассуждение справедливо и для нижних сумм.

Поэтому первое утверждение теоремы полностью доказано.

Докажем утверждение 2. Неравенство (4) легко следует из первой части теоремы. Действительно, рассмотрим разбиение , которое получается, когда мы берем все точки, входящие в и все точки, входящие в . Тогда - продолжение и . Но тогда . Первое и последнее неравенства следуют из доказанной первой части теоремы, среднее неравенство очевидно.

1. Критерий интегрируемости

Теорема. Для того, чтобы функция была интегрируема на необходимо и достаточно, чтобы

(1)