Лекции, страница 5

Теорема. Если дифференцируема в точке , то для всех существуют .

Таким образом, существование частных производных – необходимое условие дифференцируемости. При этом , при .

Другое необходимое условие дифференцируемости - непрерывность функции, как показывает следующая теорема.

Теорема. Если дифференцируема в точке , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что при (т.к. ). Но это сразу следует из равенства (1), так как .

Однако, в отличие от случая , из существования частных производных не следует даже непрерывность функции в точке и тем более не следует дифференцируемость в точке согласно теореме.

Пример. , . Тогда , так как ( ). Аналогично, . Однако даже не непрерывна в точке .

1. Достаточное условие дифференцируемости

Достаточное условие дифференцируемости дает следующая теорема.

Теорема. Пусть частные производные существуют в окрестности точки и непрерывны в этой точке. Тогда дифференцируема в точке .

Доказательство. Пусть принадлежит рассматриваемой окрестности . При этом все точки , , также принадлежат рассматриваемой окрестности. Приращение функции представим в виде (4) и рассмотрим разности (5), составляющие в сумме приращение (4).

Положим (то есть фиксируем все переменные, кроме ). Тогда рассматриваемая разность (5) имеет вид . Функция по условию дифференцируема на отрезке, соединяющим и . Значит она непрерывна на этом отрезке и можно применить теорему Лагранжа, согласно которой , где .

Но . По условию непрерывности частных производных , где при .

Поэтому каждая из разностей (5) имеет вид , а приращение (4) совпадает с (3) из определения дифференцируемости. Теорема доказана.

Замечание 1. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости функций. Например можно доказать, что функция дифференцируема в точке , но частные производные в этой точке не непрерывны.

Замечание 2. Тем не менее, для функции частные проиводные в точке равны 0, так как и (В остальных точках , и ясно, что эти производные терпят разрыв в точке ). Но приращение не имеет вид , где при . Действительно, полагая и предполагая, что получаем , или , что невозможно, так как при правая часть стремится к 0, а левая нет!

1. Дифференциал

Главную линейную часть приращения , то есть величину называют дифференциалом функции в точке , соответствующим приращению . Он обозначается .

Для независимых переменных обозначают .

Дифференциал - это главная часть приращения, так как остальная часть приращения – бесконечно малая по сравнению с ним. Это - линейная функция от .

Определим (пока формально) вектор . Тогда (скалярное произведение). (Вектор градиента служит обобщением понятия производной функции. Напомним, что ).

Для отображения пространства в , состоящего из дифференцируемых функций, также можно определить дифференциал . При этом . Матрица называется матрицей Якоби отображения .

1. Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала

Допустим, что - дифференцируемая в точке фунция, и , причем - дифференцируемые в точке функции. Положим . Тогда , где при .

В определении дифференцируемости можно доопределить функции в точке , положив . Тогда при (а может быть, и принимает значения ). Но тогда (так как у нас доопределены в точке нулем) и , таким образом, (6).

Рассмотрим теперь случай, когда . Применяя полученное выше правило, получим, в очевидных обозначениях , (7).

Равенства (6) и (7) дают правила вычисления производных сложных функций.

Следствие. Следствием этих правил является инвариантность форм первого дифференциала. Именно, пусть . Тогда .

Это означает, что как в случае независимых переменных , так и в случае зависимых переменных .

1. Производные высших порядков

Если функция обладает в некоторой окрестности точки частной производной , а эта производная имеет в точке частную производную по , то эта производная обозначается . Далее, индуктивным образом, можно определить производные более высокого порядка. Возникает вопрос: всегда ли ? Ответ на него такой: нет, не всегда! Можно показать, что функция имеет неравные производные и . Однако имеет место следущая теорема.

Теорема. Пусть определена в открытой области и пусть в этой области существуют . Пусть и непрерывны в точке . Тогда в этой точке .

Доказательство. Пусть числа такие, что область содержит все точки из прямоугольника со сторонами от до и от до . Пусть . Положим , , тогда .

В промежутке , по условию теоремы, функция имеет производную . И, значит, непрерывна, причем по теореме Лагранжа (вновь по теореме Лагранжа) , где .

С другой стороны, аналогично, получаем , где . Следовательно, устремляя к получем, ввиду непрерывности , . Таким образом, теорема доказана.

Замечание. По аналогии можно доказать следующую теорему.

Теорема. Пусть определена в открытой области и имеет в этой области всевозможные частные производные до -го порядка включительно и смешанные производные -го порядка, причем все эти производные непрерывны в . При этих условиях значение любой -й смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производится последовательное дифференцирование.

Например, и т.п.

1. Дифференциалы высших порядков

Пусть имеет непрерывные производные в области . Тогда (1).

При этом, если - независимые переменные, то можно считать постоянными величинами, на зависящими от . Поэтому .

Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению (2).

Здесь мы воспользовались тем, что . Например, при , при .

Вообще, легко заметить, что используя формальную операторную запись, (3).

Аналогично, полагая , находим: (4) в предположении, что для существуют частные производные до -го порядка включительно.

Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по . Мы не будем подробно останавливаться на этом.

Отметим, что если (т.е. переменные не независимые, а представляют собой функции от других переменных), то , вообще говоря, не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4)) следует внести изменения. Именно, вместо (3) в этом случае верна формула (5). «Добавок» по отношению к (3) получается из-за того (см. вывод (2)), что в нашем случае .

Однако, если (6), то и . Поэтому в случае линейной замены переменных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.

1. Формула Тейлора

Из доказанной в первом семестре теоремы следует, что , (1) при условии существования производной функции в окрестности точки .

Пусть теперь , обладает непрерывными частными производными всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки , принадлежит этой окрестности с отрезком, соединяющим и . Параметрические уравнения этого отрезка имеют вид: , или . Рассмотрим фунукию . Тогда . Согласно формуле (1) при это приращение равно . Осталось заметить, что так как линейно зависит от , и и . Действительно, , и т.д.

1. Геометрические приложения: касательная плоскость

Пусть дифференцируема в точке . Докажем, что существует касательная плоскость к этой поверхности в точке и что она задается уравнением (1).

будем называть плоскость касательной к поверхности в точке если расстояние от точки до этой плоскости есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .

Рассмотрим некоторую плоскость, проходящую через точку : (2).

Из курса аналитической геометрии известно, что расстояние от точки поверхности до плоскости (2) равно (3). (вспомнить про нормальное уравнение плоскости).

Если дифференцируема в точке , то положим в (2) (4) и заметим, что (5), где при . Тогда из (3), (4), (5) следует, что расстояние от рассматриваемой точки до плоскости есть , что представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем .

Обратно, если есть касательная плоскость (2), т.е. где при то, раскрывая модуль, получаем, что где при , т.е. - дифференцируемая в точке функция и , .

Итак: наличие касательной плоскости (2) к поверхности равносильно дифференцируемости в точке . При этом уравнение касательной имеет вид .

Вектор нормали к касательной плоскости называется вектором нормали к поверхности и имеет координаты .

1. Геометрические приложения: производная по направлению, градиент

Пусть мы снова рассматриваем график функции и сечения этой поверхности плоскостями, проходящими через точку плоскости и параллельными оси . В сечениях получаются кривые, проходящие через точку . Проекция такой кривой на плоскость есть прямая линия, проходящая через точку . Будем обозначать направляющий вектор этой прямой через , а точки прямой – буквами . Введем понятие величины отрезка :