Часто бывает важно установить не само значение интеграла, а только сходится он или нет. Для этого используются признаки сходимости. Особенно простой вид они имеют для неотрицательных функций. Это связано с тем, что для неотрицательной интеграл есть неубывающая функция от . Поэтому, используя теорему Вейерштрасса о пределе монотонной ограниченной функции получаем, что сходимость такого интеграла равносильна ограниченности всех , в совокупности. (Здесь используется как для обозначения , так и для обозначения бесконечно удаленной точки).

Это соображение позволяет доказать важные теоремы сравнения.

Теорема 1. Пусть определены и интегрируемы в обычном смысле на любом , где (а – либо бесконечно удаленная точка, либо ). Пусть при выполняется неравенство . Тогда если сходится , то сходится и .

Доказательство. Во-первых, заметим, что сходимость интеграла равносильна сходимости интеграла , поскольку эти величины отличаются лишь постоянным слагаемым .

Далее, , или . По доказаному выше, сходимость равносильна ограниченности величины . Значит, . Но тогда и , то есть ограничена и, значит, сходится.

Примечание. Эта теорема равносильна такой: при выполнении остальных условий теоремы, если расходится, то расходится и .

Действительно, если бы сходился, то по теореме 1, сходился бы и .

Теорема 2. Пусть при и пусть , где , как обычно, определены и интегрируемы в в обычном смысле на любом , где . Тогда либо оба интеграла сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Очевидно, что (т.к. то что следует из свойств предела, и по условию). Тогда для , используя определение предела, получаем, что существует окрестность точки такая, что в ней или или, так как , . Далее, если сходится , то, по первой теореме, сходится и, значит, . Если сходится , то сходится и, значит, . Теорема доказана.

Пример. Доказать, что интеграл сходится.

Доказательство. , значит, и . Кроме того, . (Использовали, что при ). Поэтому применима 2-я теорема сравнения и сходимость доказана.

Перейдем к несобственным интегралам от функций, меняющих свой знак.

Определение. называется абсолютно сходящимся, если сходится (и, разумеется, если существует для любого ).

Легко видеть, что абсолютно сходящийся интеграл – сходится, что следует из критерия Коши существования предела функции, применимый к и . Именно: дано, что . Но тогда по свойствам собственного интеграла и, значит, выполнен критерий Коши для .

Вместе с тем, существуют сходящиеся интегралы такие, что расходится. Такие интегралы называются условно сходящимися. Примером служит . Первое слагаемое – это собственный интеграл. Второй интеграл, по определению, равен . Так как , а и - сходится, то рассматриваемый интеграл сходится.

С другой стороны, если бы сходился , то из неравенства следовало бы, что – сходится. Но это не так, поскольку и . Причем первый из интегралов расходится, а второй - сходится, что можно доказать аналогично доказательству сходимости .

Отметим, что понятие несобственного интеграла позволяет обобщить понятие площади на случай неограниченных фигур.

Функции нескольких переменных

1. Пространство Rⁿ

Напомним, что арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек , . Это - векторное пространство с операциями

.

Более того, это - евклидово пространство со скалярным произведением . Следовательно, определена норма вектора , и расстояние между и , (1)

При и эта формула становится очевидной формулой для расстояния, поэтому общую формулу (1) для расстояния можно рассматривать как естественное обобщение известных формул на случай -мерного пространства.

В курсе линейной алгебры было доказано:

1. , ;

2. ;

3. .

Свойство 3 называется неравенством треугольника.

Определение. Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называется метрическим пространством, а - метрикой (или расстоянием).

Итак, - метрическое пространство с расстоянием (1).

Определение. -окрестностью точки называется множество точек таких, что . Обозначим ее .

Определение. Пусть . Тогда называется внутренней точкой этого множества, если .

Определение. - открытое множество, если все его точки - внутренние.

Примеры: интервал, круг без границы.

Определение. Пусть . Точка называется предельной точкой , если .

Определение. называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок, круг с границей.

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т.е. .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.

Определение. Множество называется компактным, если из любой бесконечной системы открытых множеств такой, что можно выбрать конечное число так, что .

Иными словами, из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Теорема. компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т.е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).

1. Функции и отображения. Предел

Определение. Функция сопоставляет элементам множества (называемого областью определения) числа .

Определение. Отображение сопоставляет элементам множества элементы .

Таким образом, функция – это частный случай отображения .

Задать отображение – это все равно, что задать функций .

Примеры.

1. - функция двух переменных, паре сопоставляет число .

2. Отображение .

3. Вектор-функция . Винтовая линия.

Пусть , , , - предельная точка области определения .

.

«Конкретизируя» окрестности, это определение в метрических пространствах , или, для . Или (1).

Теорема. , .

Доказательство.

. Поскольку , из (1) следует, что при . Но это как раз и означает, что .

. Пусть - фиксировано. Выберем так, чтобы при выполнялось неравенство . Взяв получаем, что при .

1. Свойства предела. Непрерывность

Определение. Отображение непрерывно в точке , если .

Согласно сказанному выше, непрерывность отображения равносильна непрерывности всех функций .

Так же, как и в случае одной переменной, справедлива следующая теорема.

Теорема. Если , то

, , и если , то .

Следствие. Сумма, разность, произведение и частное (при ) непрерывных функций и являются непрерывными функциями.

Теорема. Если непрерывно в точке , , отображение непрерывно в точке , то отображение непрерывно в точке .

Доказательство. Для всякой окрестности существует такая, что . Но . Эта окрестность - искомая, т.к. .

Теорема. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Если , , то .

Доказательство. Достаточно доказать, что если , то и . Действительно, взяв получаем по определению непрерывности окрестность .

Теорема. Непрерывный образ компактного множества есть компактное множество. (без доказательства).

Замечание. Эта теорема непосредственно обобщает теоремы 1 семестра о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений.

Теорема. Непрерывный образ связного множества (т.е. множества, любые 2 точки которого можно соединить кривой, целиком лежащей внутри этого множества) есть связное множество. (без доказательства).

Замечание. Эта теорема обобщает теорему 1 семестра о том, что непрерывная на отрезке фунуция принимает все свои промежуточные значения.

Теорема. (Теорема Кантора). Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем, т.е. .

1. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные

Пусть определена в некоторой окрестности точки , - точка из этой окрестности.

Определение. Величина называется приращением функции в точке , соответствующим приращению аргумента .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если существуют такие постоянные числа и функции при , что (1).

Часто обозначают и . Тогда (1) перепишем в виде , .

При наше определение (1) совпадает с известным из материала 1-го семестра определением дифференцируемости . Для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. В случае нескольких переменных ситуация несколько сложнее.

Сначала введем в рассмотрение величину . Она представляет собой приращение функции при фиксированных значениях всех переменных, кроме -той.

Пусть дифференцируема в точке . Тогда для любого равенство (1) дает при (2).

Поскольку при фиксированных значениях , равносильно тому, что , равенство (2) означает, что функция от одной переменной .

дифференцируема в точке и, значит, существует называемый, по определению, частной производной функции по переменной в точке .

Мы только что, тем самым, доказали теорему: