Лекции, страница 6

длине отрезка со знаком «+», если и имеют одинаковые направления;

длине отрезка со знаком «-», если и имеют противоположные направления.

Предположим теперь, что мы рассматриваем некоторую плоскость, на ней фиксируем точку и направление . Пусть для этой точки плоскости определена величина - функция от точки .

Важно отметить, что пока мы не вводим никакой системы координат (точки на плоскости, направления и функции от точек можно определить без системы координат. Например, температуру воздуха в данной точке обычно измеряют термометром, при этом не особенно задумываясь о системе координат в пространстве. Направление тоже часто указывают без всяких координат (например – пальцем (что не служит признаком хорошего воспитания)) и т.д.)

Рассмотрим теперь точки , лежащие на прямой, проходящей через в указанном направлении и соответствующую величину ; Если существует предел этой величины при стремлении к вдоль прямой, то он называется производной в точке по направлению и обозначается . Как мы видим, в определении производной по направлению координаты не участвовали. Однако для получения простой формулы для вычисления этой производной удобно ввести систему координат. Итак, пусть имеет координаты , - координаты , имеет координаты . Тогда, вводя параметризацию , , для прямой, соединяющей с , , получаем: (т.к. мы предположили, что - дифференцируема в ) . При и . Поэтому (1). Аналогично, в случае 3-х переменных (2).

Скалярное произведение в правых частях (1) или (2) можно представить, как (3) (поскольку ), где - угол между и заданым направлением .

Мы видим, что выражение (3) имеет наибольшую величину, когда . Это позволяет определить градиент как вектор, модуль которого равен наибольшей из величин производных по направлению в этой точке. А направление его как раз такое, в котором производная по направлению достигает наибольшей величины. Это определение градиента, в котором не участвуют координаты, позволяет рассматривать его как характеристику функции, не зависящую от наблюдателя.

Установим ряд важных свойств градиента: пусть и имеют все частные производные 1-го порядка. Тогда

1. ;

2. ;

3. ;

4. Если , то ;

5. Если - функция от одной переменной, имеющая производную, то .

Доказательства всех этих свойств вполне аналогичны. Разберем, например, свойство (3). Пусть, для определенности, . Тогда, по правилам дифференцирования, , , и .

Пусть , . Найдем .

Для часто встречающихся в физике радиальных функций согласно свойству (5) получаем: .

1. Экстремумы функций нескольких переменных

Пусть определена в окрестности точки . Будем говорить, что - точка минимума (строгого), если для всех из некоторой проколотой окрестности . Точка - точка максимума, если для всех . Точки минимума а максимума обычно называются точками экстремума.

Теорема. Если - точка экстремума и существует , то .

Доказательство. Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме -ой фиксированы и равны координатам точки , а координата меняется. Тогда функцию можно рассматривать как функцию от одной переменной , имеющую экстремум в точке и дифференцируемую в этой точке.Поэтому производная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, есть . Теорема доказана.

Замечание 1. Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и не существовать.

Пример. , . Эта точка, очевидно, точка минимума, т.к. если хотя бы одно из чисел отлично от 0, величина . Но и , поэтому частные производные в точках и не существуют.

Замечание 2. Если все частные производные в точке экстремума существуют, то все они равны 0 и , а также как функция от .

Замечание 3. В точке экстремума дифференцируемой функции касательная плоскость параллельна плоскости .

1. Достаточные условия экстремума

Сначала мы изложим схему исследования функции на экстремум. Прежде всего, найдем стационарные точки , т.е. такие, что (или ). Затем предполагая, что имеет частные производные до 2-го порядка включительно, непрерывные в стационарных точках, применим в этих точках формулу Тейлора , , , где при (поскольку - точка, близкая к , а производные 2-го порядка непрерывные и ). Таким образом, знак приращения совпадает со знаком 2-го дифференциала. Второй дифференциал есть квадратичная форма от . Если это – положительно определенная форма, то и в точке - минимум. Если отрицательно определенная, то максимум. Если форма неопределенная (т.е. меняет знак), то экстремума нет. Для выяснения вопроса определенности формы можно использовать известный критерий Сильвестра.

Изложенная схема совершенно верна, однако не мешало бы построже доказать, например, что знак 2-го дифференциала совпадает со знаком приращения. Поэтому в случае мы аккуратно докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывные производные 2-го порядка в точке такой, что и . Обозначим , , (при этом ). Если и , то - точка минимума. Если и - то максимума. Если , то экстремума в рассматриваемой точке нет.

Доказательство. По формуле Тейлора , , , т.к. . По непрерывности 2-х производных , , , где при . Поэтому (1), где - постоянные, и при .

Положим , , , где . Тогда (1) можно переписать в виде (2), где при (т.к. ).

1. Пусть сначала . Тогда и . Преобразуем (3). В скобках стоит сумма квадратов, поэтому она неотрицательна. Более того, если , то , , поэтому сумма . Но рассматриваемая сумма есть непрерывная функция от . Поэтому при изменении на отрезке от 0 до она принимает свое наименьшее значение . По доказанному, . Значит, при выражение больше, чем , а при оно меньше, чем . Т.е. (4). С другой стороны, при , поэтому при достаточно малых (5). Из равенства (2) и неравенств (4) и (5) следует, что совпадает со знаком (3), т.е. при и при . Первая часть теоремы доказана.

2. Пусть . Если , то вновь используем преобразование (3). Тогда при получаем, что выражение в скобках , а при выбранном так, что получаем, что выражение в скобках (т.к. , а ). Поэтому выражение (3) меняет знак в окрестности точки . Убеждаясь в том, что как и в первом случае получаем, что приращение меняет знак в окрестности точки и экстремума в этой точке нет (при , где , а при , где ). Если же , то обязательно , иначе вопреки предположению. Тогда . Выберем достаточно близкое к 0 так, чтобы (это можно сделать, т.к. при , а ). Тогда при замене на получаем, что выражение (3), а вместе с ним и приращение, меняет знак и экстремума в точке нет. Теорема доказана.

Замечание. Доказанная теорема имеет простую геометрическую иллюстрацию. При условиях теоремы в окрестности точки экстремума график функции имеет вид «почти» эллиптического параболоида:

1. Неявная функция

Термин «неявная функция» относится к способу задания функциональной зависимости между и и означает, что вместо явной формулы эта зависимость представлена уравнением .

Следует отметить, что уравнение не всегда определяет функцию . Например, уравнение функцию не определяет.

Кроме того, уравнение не всегда позволяет однозначно выразить через . Например, уравнение , задающее окружность на плоскости, определяет при две непрерывные функции и . В этом примере можно, например, дополнительно потребовать, чтобы выполнялось неравенство . Тогда мы получим только .

В общей ситуацц условия, при которых существует единственная функция , задаваемая уравнением дает следующая теорема.

Теорема. Пусть определена и непрерывна вместе с частными производными и в окрестности точки такой, что и . Тогда существуют числа и такие, что на множестве уравнение (1) равносильно уравнению (2), где - непрерывная и дифференцируемая на функция, и .

Замечание. Равносильность (1) и (2) означает, что уравнение (1) однозначно определяет в рассматриваемой области дифференцируемую функцию такую, что , вообще, при .

Доказательство. По условию . Пусть, для определенности, . Ввиду непрерывности , это неравенство выполняется при всех из некоторой окрестности точки .

Таким образом, искомая функция построена. При этом, просто по построению при .