Лекции, страница 3

Пусть теперь - плоская фигура. Рассмотрим множество многоугольников, целиком лежащих в , и множество многоугольников, содержащих .

Так как множество ограничено сверху (любым числом ), а множество ограничено снизу (любым числом ). Поэтому существуют величины и .

Определение. Множество называется имеющим площадь (квадрируемым), если . При этом общее значение этих величин называется .

Теорема.

Пусть представляет собой фигуру, ограниченную снизу осью , сверху – графиком , где – непрерывная функция на , с боков – вертикальными прямыми и . Тогда имеет площадь, и .

Доказательство. Взяв произвольное разбиение отрезка , рассмотрим нижнюю и верхнюю суммы Дарбу, соответствующие этому разбиению.

Они представляют собой, соответственно, площади содержащегося в и содержащего многоугольников.

Т.к. непрерывная функция, она интегрируема на и поэтому и теорема доказана.

Следствие. Площадь криволинейной трапеции

в предположении непрерывности и вычисляется по формуле .

Доказательство. Т.к. и непрерывны на , они ограничены на этом отрезке. Поэтому существует число такое, что .

Тогда площадь рассматриваемой фигуры есть разность площадей криволинейных трапеций и она есть , что и требовалось доказать.

Важное замечание. Если рассмотреть квадрируемые фигуры и квадрируемые фигуры то выполняется неравенство . При этом, если эти числа равны, то - тоже квадрируемая фигура и (1).

Действительно, взяв любое и фигуры и такие, что (что можно сделать ввиду (1)), выберем многоугольники и так, чтобы мы получим, что и , а это означает, что - квадрируемая фигура.

Теорема. (Площадь в полярных координатах).

Пусть фигура представляет собой часть угла: , ограниченную графиком , - непрерывная на функция. Тогда .

Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка и соответствующие ему нижнюю и верхнюю суммы Дарбу для интеграла из формулировки теоремы. По известной из школьного курса формулы для площади кругового сектора, эти суммы представляют собой площади фигур .

При измельчении разбиения эти суммы ( и , где , ) стремятся к общему значению: , которое и равно искомой величине площади, согласно предыдущему замечанию, поскольку и - квадрируемые фигуры.

1. Приложения интеграла: объем тела

Определение объема можно дать вполне аналогичным определению площади образом. Именно, считая известным понятие объема многогранника, рассмотреть множество объемов содержащихся в данном теле многогранников и множество объемов содержащих данное тело многогранников. Если точная верхняя грань первого из рассматриваемых множеств равно точной нижней грани второго, то тело называется кубируемым, или имеющим объем, равный общему значению этих точных граней.

Теорема. Если представляет собой прямой цилиндр высоты , в основании которого лежит квадрируемая фигура с площадью , то - кубируема, причем .

Доказательство. Пусть . Рассмотрим многоугольники такие, что .

Построим содержащийся в и содержащий многогранники высотой , в основании которых лежат, соответственно, и . Тогда объемы этих многогранников отличаются на . Ввиду произвольности , теорема доказана.

Теорема. Пусть - пространственное тело, а оси расположены так, что любое сечение, перпендикулярное оси этого тела представляет собой квадрируемую фигуру с площадью , причем для любых проекция одного из сечений на плоскость целиком содержится в проекции другого сечения. Тогда - кубируемое тело, и .

Доказательство. Для произвольного разбиения отрезка суммы Дарбу представляют собой объемы тел, содержащихся внутри (нижняя сумма Дарбу) и содержащих (верхняя сумма Дарбу). Поскольку интегрируема, при измельчении разбиения разность между верхней и нижней суммой Дарбу стремится к нулю. Это означает, что имеет объем, причем .

Следствие. Объем тела, полученного вращением вокруг оси графика функции равен .

Доказательство. Площадь круга радиуса равна .

1. Приложения интеграла: длина дуги кривой

Пусть незамкнутая, не имеющая точек самопересечения кривая задана параметрическим уравнением , причем непрерывны на .

П
усть имеет координаты . . Рассмотрим ломаные линии, соединяющие выбранные вышеуказанным способом точки.

Определение. Если существует предел длины ломаной при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной, то этот предел называется длиной дуги кривой (а кривая называется спрямляемой или имеющей длину).

Теорема. При сформулированных выше условиях (т.е. если кривая – незамкнутая и без точек самопересечения, причем ее параметризация задается непрерывно дифференцируемыми функциями от ) кривая имеет длину .

Доказательство. Рассмотрим вписанную ломаную и соответствующие ей точки деления отрезка . Длина ломаной равна (под знаком суммы стоит длина -го звена).

П
рименим к каждой из разностей и теорему Лагранжа, согласно которой , , где точки и лежат на интервале . Поэтому длина вышеупомянутой ломаной есть (1). Эта величина напоминает соответствующую интегральную сумму (2) (различие только в том, что в (1) стоят точки , в (2) – только ).

Требуется доказать, что при стремлении к 0 максимальной длины звена ломаной линии разность реличин и стремится к 0.

Можно доказать (но мы это оставим без строгого доказательства), что стремление к 0 максимальной длины звена ломаной эквивалентно стремлению к 0 диаметров соответствующих разбиений отрезка .

Итак, будем доказывать, что при . Для этого заметим, что (3).

Последний переход сделан на основании элементарного неравенства , т.к. , .

По условию, функция непрерывна на , следовательно, по теореме Кантора, - равномерно непрерывна на , поэтому разбиения с условием . Тогда .

Поскольку интегральные суммы стремятся к при , существует предел длины ломаных, причем этот предел равен указанному интегралу и теорема доказана.

Следствие 1. Если кривая задана явным уравнением , то формула принимает вид .

Доказательство. Сводим к предыдущему случаю: .

Следствие 2. Если кривая задана полярным уравнением , , то .

Доказательство. Положим , . Тогда , , , и можно применить формулу из доказанной теоремы.

Примечание. В случае трехмерной кривой , , где - непрерывно дифференцируемые функции, .

1. Приложения интеграла: площадь поверхности вращения

Пусть , – незамкнутая кривая, – непрерывные функции. Вращаем кривую вокруг оси . При этом получается поверхность вращения. Не входя в детали определения площади поверхности в общем случае – это будет сделано в курсе 4-го семестра, и считая, что площадь поверхности вращения существует и обладает свойством аддитивности, укажем формулу для ее вычисления: . Действительно, считая поверхность вращения малого участка кривой вокруг оси близкой к части поверхности усеченного конуса с основаниями и длиной образующей (как и в теореме о длине дуги), получим, что . Суммируя и переходя к пределу при , получаем требуемое.

1. Несобственные интегралы

Предположим, что для всех существует . Если существует , то этот предел называется несобственным интегралом от до и обозначается (1). Говорят еще, что интеграл (1) сходится.

Аналогично, пусть для всех , существует . Если существует , то этот предел называется несобственным интегралом от до и обозначается (2).

Отметим, что если просто интегрируема на отрезке , то ввиду непрерывности интеграла с переменным верхнем пределом понятие несобственного интеграла совпадает с обычным интегралом. Но бывает и так, что в обычном смысле интеграл не существует, а в несобственном - существует.

Выясним, когда сходится , (3). Известно, что . Поэтому при , т.к. при . При и при , т.к. . То есть интеграл (3) сходится при и расходится при остальных значениях .

Аналогичные рассуждения проведем для (4). При это – обычный интеграл. При это интеграл не может существовать в собственном смысле, так как не ограничена в окрестности . Далее при , а при имеем . Значит, интеграл (4) сходится при .